4.7. METODA PRZEMIESZCZEC
. ZAPIS MACIERZOWY
Algorytm rozwiązania dowolnych schematów statycznych za pomocą metody przemieszczeń
można zapisać w postaci macierzowej. Wynika to przede wszystkim z jednolitego układu
podstawowego metody polegającego na blokowaniu obrotów i przemieszczeń wszystkich
węzłów swobodnych. Podejmowano także próby zautomatyzowania obliczeń za pomocą
metody sił, ale brak możliwości unifikacji budowania schematu podstawowego utrudnia, a
nawet uniemożliwia stworzenie podobnego algorytmu. Metoda przemieszczeń stała się więc
metodą powszechnie wykorzystywaną w programach komputerowych. Obliczenia polegają
na zestawieniu z danych problemu kilku macierzy wyjściowych, a następnie wykonaniu na
nich ściśle określonych działań macierzowych prowadzących do końcowego rozwiązania.
Możliwe jest utworzenie różnych wariantów obliczeń. W programach komputerowych
stosowane są algorytmy, w których elementy macierzy wyjściowych wyrażają się wprost
przez dane liczbowe opisujące schemat konstrukcji. W niniejszym rozdziale zostaną jedynie
zasygnalizowane podstawowe pojęcia i wzory umożliwiające zrozumienie zasady
wykorzystania zapisów macierzowych w obliczeniach. Tak jak w przypadku standardowej
metody przemieszczeń rozważania zostaną ograniczone do analizy układów pozbawionych
przegubów wewnętrznych.
Przed omówieniem algorytmu obliczeń zostaną przedstawione wzory umożliwiające
wyznaczenie sił przywęzłowych w przypadku pręta obustronnie utwierdzonego (Rys. 4.1a).
Należy zauważyć, że zwrot momentów podporowych przyjęto identycznie jak w
bezpośrednim ujęciu metody przemieszczeń, natomiast zwroty sił poprzecznych są zgodne
ze zwrotem osi y. Tak jak w przypadku standardowych obliczeń  ręcznych pominięty będzie
wpływ sił podłużnych, a więc nie zostaną uwzględnione przemieszczenia poziome węzłów i
oraz k. W komputerowej wersji metody przemieszczeń wpływ ten jest brany pod uwagę, gdyż
w efekcie uzyskuje się bardziej zwarty i jednolity algorytm rozwiązania. Dalsza analiza
zostanie ograniczona do rozwiązań najprostszych przypadków, łatwych do porównania z
obliczeniami  ręcznymi .
b) d)
a)
6EJ
6EJ 6EJ
6EJ
-
-
Mik
l2
l2 l2
Ćk k
EJ l2
i
x
Ći j
vk Mki vi=1
vk=1
vi
12EJ
12EJ
-
Vik Vki - 12EJ
12EJ
l3
l3
l3
y
l3
e)
4EJ
c)
2EJ
2EJ
Ćk=1
l
4EJ
l
l
l
6EJ
6EJ
-
Ći=1
6EJ
l2
6EJ l2
-
l2
l2
Rys. 4.1. Siły węzłowe w pręcie obustronnie utwierdzonym
Obliczenia wszystkich potrzebnych danych wyjściowych zazwyczaj wykonuje się w
identyczny sposób jak w p. 4.6, a więc wykorzystując równanie różniczkowe czwartego
rzędu. Na Rys. 4.1 przedstawiono siły węzłowe od jednostkowego przemieszczenia i obrotu
węzła i (Rys. 4.1b i c) oraz k (Rys. 4.1d i e). Konwencja znaków przemieszczeń i sił
węzłowych wynika z przyjętego lokalnego, związanego z elementem j układu osi xy
(Rys. 4.1a). W wyniku równoczesnego działania wszystkich przemieszczeń węzłów i oraz k,
siły przywęzłowe wyznacza się korzystając z zasady superpozycji:
229
12 6 12 6
Ą#
Vi = EJ vi + Ći - vk + Ćk ń#
ó#Ś#
l3 l2 l3 l2 Ą#
Ł#
6 4 6 2
Ą#
Mi = EJ vi + Ći - vk + Ćk ń#
2
ó#l l l2 l Ą#
Ł#Ś#
(0.1)
12 6 12 6
Ą#
Vk = EJ vi - Ći + vk - Ćk ń#
ó#- l3 l2 l3 l2 Ą#
Ł#Ś#
6 2 6 4
Ą#
Mk = EJ vi + Ći - vk + Ćk ń#
2
ó#l l l2 l Ą#
Ł#Ś#
Te same siły przywęzłowe, w zapisie macierzowym, przy uwzględnieniu dodatkowo
0
zadanego obciążenia czynnego wywołującego reakcje Vi0 , Mi0 , Vk0 i Mk mają następującą
postać:
12 6 12 6
Ą#ń#
-
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą#
Vi ó# 6 4 6 2 Ą# vi Ą# ń#
Ą# ń# Ą# ń# Vio
ó#Ą#
- ó#Ć Ą#
ó# Ą#
ó#Ą#
Mi ó#M o Ą#
l2 l l2 l i
i
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
= EJ + (0.2)
Ą#
ó# Ą# ó# Ą#Vko
Vk ó# 6 12 6 vk ó# Ą#
ó#-12 Ą#
- -
ó# Ą#
ó# Ą#
ó#
l3 l2 l3 l2 Ą# ó# Ą# ó# o Ą#
Ł#Mk Ś# Ł#Ćk Ś#
Ł#Mk Ś#
ó#Ą#
6 2 6 4
ó#Ą#
-
Ł# l2 l l2 l Ś#
Reakcje podporowe z Rys. 4.1b, c, d i e są odpowiednio zapisane w kolejnych kolumnach
macierzy z równania (4.47). W tym miejscu warto przypomnieć, że iloczyn macierzy polega
na mnożeniu kolejnych elementów wierszy pierwszej macierzy przez elementy kolumny
macierzy drugiej. Działanie to można łatwo prześledzić porównując związki (4.46) i (4.47).
Związek (4.47) można zapisać w następujący ogólny sposób:
S = K Dj + So (0.3)
j j j
gdzie pogrubionymi literami oznaczono macierze i wektory: S oznacza wektor sił
j
węzłowych elementu j, K jest tzw. macierzą sztywności elementu j, D wektorem
j j
przemieszczeń węzłów elementu j, a So wektorem sił węzłowych od obciążenia
j
zewnętrznego.
Pierwszy człon związku (4.48) lub (4.47) przedstawia wpływ obrotów i przemieszczeń
węzłów na siły przywęzłowe, a więc są to odpowiednio dostosowane do zapisu
macierzowego wzory transformacyjne z Tabl. 4.6. Drugi człon równań (4.48) lub (4.47)
o o
opisuje reakcje Vi o , Vko oraz momenty przywęzłowe M , M od sił obciążających pręt.
i k
Odpowiadają one momentom wyjściowym standardowej metody przemieszczeń (Tabl. 4.4 i
4.5).
Dla każdego wyodrębnionego elementu j konstrukcji, na podstawie równania (4.47)
można zdefiniować wektor przemieszczeń D , zapisać macierz sztywności K i obliczyć
j j
wektor So .
j
230
 Przykład 4.14.
Wyznaczyć siły wewnętrzne w ramie przedstawionej na Rys. 4.2a za pomocą zapisu
macierzowego metody przemieszczeń.
a) b) c)
20 kN/m
40 kN
2 3
3
2 x
B x
C 2EJ
2 2
y
2
2 m 1 X
EJ
1
A
1
Y
4 m
1
y
Rys. 4.2. Rama geometrycznie niewyznaczalna (opis w tekście)
Obliczenia układu przedstawionego na Rys. 4.2a rozpoczynamy od wprowadzenia
numeracji węzłów i elementów (Rys. 4.2b).
Następnie przyjmujemy globalny układ osi, a więc układ związany z całym schematem
konstrukcji, oznaczony dużymi literami XY (Rys. 4.2b). Ponadto dla każdego pręta
wprowadzamy lokalny układ osi, oznaczony małymi literami xy, o początku w dowolnie
wybranym węz
le elementu (Rys. 4.2c). Zwróćmy uwagę, że lokalne układy mają taką samą
skrętność (w tym przypadku zgodna z ruchem wskazówek zegara), jak układ globalny XY.
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, dla prętów 1 i 2 możemy zapisać wektory
przemieszczeń D1 i D2 , odpowiadające wektorowi D ze związku (4.48):
j
T
D1 = v12 Ć12 v21 Ć21
{}
(0.4)
T
D2 = v23 Ć23 v32 Ć32
{}
gdzie litera T oznacza transpozycje.
Zwróćmy uwagę, że dla każdego pręta przyjęliśmy komplet przemieszczeń, pomijając
wpływ warunków brzegowych (węzeł 1 i 3) oraz brak przemieszczenia pionowego węzła 2.
Kolejnym krokiem obliczeniowym będzie zapisanie globalnych przemieszczeń węzłów
swobodnych " . W ogólnym przypadku jest to wektor, w skład którego wchodzą wszystkie
nieznane przemieszczenia i obroty węzłów. Dla schematu statycznego z Rys. 4.2a wektor "
będzie miał następującą postać (Rys. 4.3a):
T
" = u1 v1 Ć1 u2 Ć2
[]
a) b)
c)
u1 Ć2 u2 u
2
3
Ć2
Ć1 Ć1
v1
Ć1 Ć1
1
Rys. 4.3a) Przemieszczenia i obroty węzłów, b) niezależne przemieszczenia, c) układ
podstawowy
W rozwiązaniu pomijamy wpływ sił podłużnych (przyjmujemy, że pręty są nieściśliwe),
zatem u1 = u2 = u oraz v1 = 0 i wektor " zredukuje się do trzech niezależnych przemieszczeń
(Rys. 4.3b) wg wzoru
T
" = u Ć1 Ć2 (0.5)
[ ]
Wektor " odpowiada schematowi podstawowemu przedstawionemu na Rys. 4.3c.
Zgodnie z klasyczną wersją metody przemieszczeń, blokada węzła 3 (podpora przegubowo-
231
przesuwna), z uwagi na obrót, nie jest konieczna. Jednak dzięki przyjęciu Ć2 jako
niewiadomej metody, uzyskuje się bardziej zwarty algorytm rozwiązania.
Wektorowi globalnych przemieszczeń " odpowiada wektor związanych z nimi
obciążeń węzłowych R . Układ jest obciążony jedynie siłą poziomą w węz
le 2, zatem
odpowiadającą kierunkowi przemieszczenia u1 (Rys. 4.2a). Wektor R będzie miał więc
następująca postać:
R = P 0 0T (0.6)
{ }
W kolejnym kroku obliczeniowym, wykorzystując (4.47), wyznaczymy macierze
sztywności prętów K1 i K2 . Podstawiając dane z Rys. 4.2a otrzymamy:
3 3 3 3 3 3 3 3
Ą#ń# Ą# ń#
- -
ó#Ą# ó# Ą#
2 2 2 2 8 4 8 4
ó#Ą# ó# Ą#
33 33
ó#Ą# ó# Ą#
2 - 1 2 - 1
ó#Ą# ó# Ą#
22 44
K1 = EJ , K2 = EJ (0.7)
ó# ó#
ó#- 3 3 3 3Ą# ó#- 3 3 3 3Ą#
Ą# Ą#
- - - -
ó#Ą# ó# Ą#
2 2 2 2 8 4 8 4
ó#Ą# ó# Ą#
33 33
ó#Ą# ó# Ą#
1 - 2 1 - 2
ó#Ą# ó# Ą#
Ł# 22 Ś# 4 Ś#
Ł# 4
o
Następnie zapiszemy wektory sił węzłowych S1 i So od obciążenia prętów. Zgodnie z
2
Tabl. 4.4 oraz Rys. 4.4, siły węzłowe od obciążeń prętów będą miały następujące wartości:
Ą# -40
ń#
ó#
0
Ą# ń#
ó#- 80Ą#
Ą#
ó#0Ą#
o ó# 3 Ą#
ó# Ą#
S1 = , So = (0.8)
2
ó# Ą#
ó# Ą#
0 -40
ó# Ą#
ó# Ą#
80
ó# Ą#
Ł#0Ś#
ó# Ą#
Ł# 3 Ś#
20 kN/m
80
-
80
3
0
2
3
0 -40 -40
1
0
0
Rys. 4.4. Siły węzłowe w elementach ramy
Dla każdego elementu j (j = 1, 2) utworzymy ponadto podwektor przemieszczeń
węzłowych D odpowiadający globalnemu przemieszczeniu układu " . Należy także
j
zbudować macierz transformacji A wiążącą odpowiednio wektory D z D :
j j j
Dj = A Dj (0.9)
j
Dla prętów z Rys. 4.2b wyznaczymy następujące zależności:
v12 0 00
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą# ó#00Ą#
0 u
Ą# ń#
ó#Ć12 Ą# ó# Ą# ó# Ą#
D1 = A1D1 �! = = (0.10)
ó#Ć Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
v21 u 10
Ł# 1 Ś#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó#Ś#
Ł#Ć21 Ś# Ł#Ć1Ś# Ł#01Ą#
232
v23 0 00
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą# ó#10Ą#
Ć1
Ą# ń#
ó#Ć23 Ą# ó#Ć1 Ą# ó# Ą#
D2 = A2D2 �! = = (0.11)
ó#Ć Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
v32 0 00
Ł# 2 Ś#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó#Ś#
Ł#Ć32 Ś# Ł#Ć2 Ś# Ł#01Ą#
Z analizy powyższych związków wynika, że za pomocą wektorów D oraz macierzy A
j j
definiuje się przemieszczenia poszczególnych węzłów elementów. Tak więc, dla elementu 1
można zapisać następujące warunki brzegowe: v12 = 0 , Ć12 = 0 , v21 = u , Ć21 = Ć1 , a dla
elementu 2: v23 = 0 , Ć23 = Ć1 , v32 = 0 , Ć32 = Ć2 .
Ostatnim działaniem przygotowującym obliczenia macierzowe jest utworzenie tzw.
wektorów alokacji t , które identyfikują numery wierszy w globalnym wektorze
j
przemieszczeń układu " z wektorami D :
j
u 12
Ć1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
D1 = �! t1 = , D2 = �! t2 = (0.12)
ó#Ć Ą# ó#2Ą# ó#Ć Ą# ó#3Ą#
Ł# 1Ś# Ł# Ś# Ł# 2 Ś# Ł# Ś#
Przykładowo pierwszy element wektora t2 oznacza, że kąt obrotu Ć1 (pierwsza składowa
wektora D2 ) występuje na drugiej pozycji w wektorze " .
Dalsze obliczenia będą polegały na standardowych działaniach na utworzonych
macierzach. Nim je wykonamy, podsumujmy przedstawione powyżej działania w formie
ogólnego algorytmu obliczeń. Do wyznaczania sił wewnętrznych w dowolnym układzie
prętowym niezbędne są następujące działania:
1. Dyskretyzacja schematu konstrukcji: numeracja węzłów i prętów.
2. Wprowadzenie globalnego układu współrzędnych XY oraz lokalnych układów xy
związanych z każdym elementem j.
3. Przyjęcie niewiadomych geometrycznych definiujących wektor " .
4. Określenie wektora obciążeń węzłowych R bezpośrednio związanego z wektorem " .
5. Dla każdego elementu j kolejno:
5a) obliczenie i zapisanie lokalnej macierzy sztywności K związanej z wektorami D i S
j j j
(4.47),
5b) obliczenie wektora sił węzłowych So wywołanych obciążeniem pręta,
j
5c) zdefiniowanie podwektora D w globalnym wektorze niewiadomych " oraz budowa
j
macierzy A transformującej wektor D do podwektora D ,
j j j
5d) zapisanie macierzy alokacji t przyporządkowującej elementy podwektora D
j j
odpowiednim pozycjom w wektorze przemieszczeń układu " .
5e) obliczenie macierzy sztywności K oraz wektorów sił węzłowych So związanych z
j j
wektorem D :
j
K = ATK A , So = ATSo (0.13)
j j j j j j j
6. Budowa globalnej macierzy sztywności K oraz globalnego wektora sił węzłowych od
obciążeń prętów Ro . Wymiary tych macierzy odpowiadają wymiarowi wektora " . W
obliczeniach stosujemy zasadę agregacji sterowanej wektorami alokacji t :
j
K = , Ro = (0.14)
"K j "S j
j j
7. Obliczenie wektora prawej strony układu równań:
P = R - Ro (0.15)
233
8. Rozwiązanie układu równań:
K" = P �! " = K-1P (0.16)
9. W celu wyznaczenia sił wewnętrznych dla każdego elementu j:
9a) wybranie z wektora " podwektora D wg wektorów alokacji t ,
j j
9b) obliczenie wektora przemieszczeń D w układzie lokalnym elementu j:
j
Dj = A Dj (0.17)
j
9c) obliczenie sił przywęzłowych:
S = K Dj + So (0.18)
j j j
10. Narysowanie wykresu sił wewnętrznych.
Pominiemy wyprowadzenie wzorów występujących w powyższym algorytmie. Czytelnik
z łatwością znajdzie odpowiedni materiał w obszernej literaturze dotyczącej metod
komputerowych w mechanice budowli, np. [Chmielewski, 1996].
Pierwsze kilka kroków algorytmu, od punktu 1) do punkty 5d) już wykonaliśmy. Punkty
te wymagały szczegółowej analizy układu i obliczeń  ręcznych . Pozostałe kroki rozwiązania
polegają na wykonaniu  mechanicznych działań na macierzach, które można przeprowadzić
za pomocą wielu dostępnych programów komputerowych lub dla prostych schematów nawet
za pomocą kalkulatora z działaniami macierzowymi. Wzory (4.58) oraz (4.60)� (4.63) są
standardowymi działaniami na macierzach. Jedynie agregacja globalnych wektorów K i Ro
(wzór 4.59) wymagają wyjaśnienia. Wykonajmy kolejne kroki algorytmu, od punktu 5e do 10.
Macierze sztywności prętów K1 i K otrzymamy przeprowadzając następujące mnożenie
2
macierzowe:
3 3 3 3
Ą#ń#
-
ó#Ą#
2 2 2 2
ó#Ą#
00
Ą# ń#
33 3 3
Ą# ń#
ó#Ą#
2 - 1 -
ó#00Ą#
ó#
0010 ó#Ą#
Ą# ń#
22 2 2Ą#
T
ó# Ą#
K1 = A1 K1A1 = EJ = EJ (0.19)
ó# Ą#
ó#
ó#0001Ą#
Ł# Ś#
ó#- 3 3 3 3Ą# ó#10Ą# ó# 3 2 Ą#
Ą#
- -ó# Ą#
ó#Ą#
2 2 2 2 Ł# 2 Ś#
ó#Ś#
Ł#01Ą# ó#- Ą#
ó#Ą#
33
ó#Ą#
1 - 2
ó#Ą#
Ł# 22 Ś#
3 3 3 3
Ą#ń#
-
ó#Ą#
8 4 8 4
ó#Ą#
00
Ą# ń#
33
ó#Ą#
2 - 1
ó#10Ą#
0100 ó#Ą# 2 1
Ą# ń# Ą# ń#
44
ó# Ą#
K2 = AT K2A2 = EJ = EJ (0.20)
ó#
2 ó#0001Ą# ó#
Ł# Ś#
ó#- 3 3 3 3Ą# ó#00Ą# Ł# 1 2Ą#
Ą#
- -ó# Ą# Ś#
ó#Ą#
8 4 8 4
ó#Ś#
Ł#01Ą#
ó#Ą#
33
ó#Ą#
1 - 2
ó#Ą#
Ł# 44 Ś#
W podobny sposób obliczymy wektory So :
j
Ą# -40
ń#
ó#
0
Ą# ń#
ó#- 80Ą# Ą# 80ń#
Ą#
ó#0Ą#
ó#- Ą#
0010 0 0100
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# 3 Ą# 3
o T o o
ó# Ą#
S1 = A1 S1 = = , S2 = ATSo = = (0.21)
ó# Ą#
ó#0001Ą# ó#0Ą# 2 2 ó#0001Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
0 -40 80
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# 3 Ś#
80
ó# Ą#
Ł#0Ś#
ó# Ą#
Ł# 3 Ś#
234
Następnie budujemy globalną macierz sztywności K wykonując agregację macierzy K1
(4.64) i K (4.65) według wektorów alokacji t1 i t2 (4.57). Numery wektorów alokacji
2
przypisujemy odpowiednim wierszom i kolumnom lokalnych macierzy sztywności K :
j
1 2
3 3
Ą# ń# 2 3
1
1 1 2 2
2
Ą# ń# Ą# ń#
k11 k12 ó# 2 - k11 k12 2 1
Ą# ń#
2Ą#
K1 = EJ = EJ , K2 = EJ = EJ (0.22)
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#1 2Ą# 3
1 1 2 2
3
k22 k22
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# Ł# Ś#
Ł#k21 Ś# 2 Ł#k21 Ś#
ó#- 2 Ą#
Ł# 2 Ś#
Zgodnie z tą numeracją kolejno dodajemy odpowiednie elementy lokalnych macierzy
sztywności K1 i K2 do globalnej macierzy sztywności K . Wymiar macierzy K odpowiada
wymiarowi wektora " zdefiniowanego w (4.50) i wynosi 3� 3 :
3 3 3 3
Ą#
- 0ń# Ą# - 0ń#
ó#
1 1 2 2Ą# ó# Ą#
2 2
Ą#ń#
k11 k12 0
ó# Ą# ó# Ą#
ó#Ą# 33
1 1 2 2 ó# ó#
K = K1 + K2 = EJ k22 + k11 k12 Ą# = EJ 2 + 2 1Ą# = EJ 4 1Ą# (0.23)
21
ó#k
ó#- Ą# ó#- Ą#
22
2 2
ó#
0 k21 k22 Ą# ó#
Ł#Ś#
0 1 2Ą# ó# 0 1 2Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
j
W powyższym wzorze przez kik oznaczono element kik z macierzy sztywności K elementu j.
j
Specyficzne sumowanie macierzy wykonane w równaniu (4.68) nazywamy agregacją.
W podobny sposób, wykorzystując wektory alokacji t1 i t2 , wykonujemy agregację
wektora Ro :
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#
0 0
1
Ą# ń#
s11 ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
o o 1 2
ó#0 80Ą# ó#- 80Ą#
Ro = S1 + S2 = + s11 Ą# = - = (0.24)
ó#s22 ó# 3 Ą# ó# 3 Ą#
2
ó# Ą#
s22
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś#
80 80
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# 3 Ś# Ł# 3 Ś#
Następnie obliczamy wektor prawych stron P :
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#
0 40
40
Ą# ń#ó# Ą# ó# Ą#
80
ó# Ą#ó#- 80Ą# ó# Ą#
P = R - Ro = 0 - = (0.25)
ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#
3 3
ó# Ą#ó# Ą# ó#
0
Ł# Ś#
80
ó# Ą# ó#- 80Ą#
Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# 3 Ś# Ł# 3 Ś#
W ten sposób zbudowaliśmy wszystkie potrzebne macierze pozwalające na rozwiązanie
układu równań:
7 1 1
Ą#ń#
Ą# ń#
200
Ą# ń#
ó#6 2 - ó# Ą#
4Ą# 40 ó# Ą#
ó#Ą#
ó# Ą# 3
ó# Ą#
1 1 1 1 80 1
ó#Ą#
ó# Ą#
K" =P �! " =K-1P = - = 40 (0.26)
ó# Ą#
ó#
Ą#
EJ 2 2 4Ą# ó# 3 EJ
ó# Ą#
ó#Ą# 100
ó# Ą#
ó#- Ą#
ó#- 1 1 5 Ą#
ó#- 80 Ą#
-
ó# Ą#
3
Ł# Ś#
ó#Ą# ó# Ą#
4 4 8 3 Ś#
Ł#
Ł#Ś#
gdzie macierz K-1 jest odwrotna do macierzy K .
235
Zgodnie z przedstawionym algorytmem, w celu wyznaczenia sił wewnętrznych dla
elementów 1 i 2 należy wykonać kilka działań. Najpierw wybieramy z wektora " (4.71)
podwektory D1 i D2 wg wektorów alokacji t1 i t2 (4.57):
200 40
Ą# ń# Ą# ń#
11
ó# Ą# ó# Ą#
D1 = , D2 = (0.27)
3
ó# Ą# ó#-100 Ą#
EJ EJ
40
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł# 3 Ś#
Następnie obliczamy wektory przemieszczeń D1 i D2 elementów w układach lokalnych,
wykorzystując następujące zależności:
00
Ą# ń# Ą# ń#
00 00
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#
200 0 40 40
Ą# ń# Ą# ń#
ó#00Ą# ó#10Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
11 1 1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
D1 = A1D1 = = , D2 = A2D2 = = (0.28)
3 ó# Ą# ó# Ą#
200 0
ó# Ą# ó#-100Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
10 EJ EJ 00 EJ EJ
ó# Ą# ó# Ą#
40
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# Ł# Ś# 3 Ł# 3 Ś#
ó# Ą#
ó# Ą# ó#-100Ą#
ó#Ś# ó#Ś#
Ł#01Ą# Ł#01Ą#
40
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł# 3 Ś#
Wyznaczenie wektorów sił przywęzłowych S1 i S2 wykonujemy na podstawie równania
(4.63):
3 3 3 3
Ą#ń#
-
ó#Ą#
2 2 2 2
0
Ą# ń#
ó#Ą#
0
Ą# ń# Ą#-40
ń#
33ó# Ą#
ó#Ą#
0
2 - 1
ó#0Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
1
o 22ó# Ą#
ó# Ą# ó#-60Ą#
S1 = K1D1 + S1 = EJ + = (0.29)
ó# Ą#
200
ó#
ó#- 3 3 3 3Ą# EJ ó# 3 Ą# ó#0Ą# ó# 40 Ą#
Ą#
- -
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
ó#Ą#
2 2 2 2
ó# ó#-20Ś#
Ą#
Ł#0Ą# Ł#
Ś#
40
ó# Ą#
ó#Ą# Ł# Ś#
33
ó#Ą#
1 - 2
ó#Ą#
Ł# 22 Ś#
3 3 3 3
Ą#ń#
-
ó#Ą#ń#
Ą# -40
8 4 8 4
0
Ą# ń#
ó#Ą#
ó#
33ó# Ą# Ą#-35
ó#Ą#Ą# ń#
ó#- 80Ą#
2 - 1 40
ó# Ą#
ó#Ą# 20
1
ó# 3 Ą#
44ó# Ą# ó# Ą#
S2 = K2D2 + So = EJ + = (0.30)
ó# Ą#
2 ó# 0
ó# Ą#
ó#-45
Ą#
-40
ó# Ą#
ó#- 3 3 3 3Ą# EJ
Ą#
- - ó# Ą#
ó# Ą#
ó#-100Ą#
ó#Ą#
8 4 8 4
80 0
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś#
ó# Ą#
ó#Ą# Ł# 3 Ś#
ó# Ą#
33
Ł# 3 Ś#
ó#Ą#
1 - 2
ó#Ą#
Ł# 44 Ś#
Wykresy sił wewnętrznych rysujemy podobnie jak w przypadku standardowych obliczeń
 ręcznych . Przywęzłowe siły poprzeczne uzyskaliśmy bezpośrednio z rozwiązania  ich
wartości można odczytać z wektorów S1 (4.74) i S2 (4.75). Gdybyśmy w algorytmie
rozwiązania uwzględnili siły podłużne, ich wartości także uzyskalibyśmy w sposób
automatyczny, czyli wykonując standardowe działania macierzowe. Jednakże z powodu
zastosowania uproszczonego algorytmu obliczeń, siły podłużne należy wyznaczyć tak jak w
przypadku obliczeń  ręcznych analizując równowagę sił w węz
le 2. Nie opisując szczegółów
tych obliczeń, na Rys. 4.5 przedstawiono ostateczne wykresy sił wewnętrznych.
35
20
20
45
50,6
M V [kN] [kN]
[kN�"m] N
60 35
40
Rys. 4.5. Wykresy sił wewnętrznych
236