MES dla zadań dwuwymiarowych
METODY OBLICZENIOWE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
(1)
PÅ‚aski stan naprężenia (Ãz = 0)
5
Wektor intensywności sił
objętościowych
1
Wektor funkcji przemieszczeń
f = {fx, fy }
u = {u(x, y), v(x, y)}
6
Macierz związków konstytutywnych
2
Wektor odkształceń
îÅ‚ Å‚Å‚
1 ½ 0
E
µ = {µx, µy , Å‚xy }
ðÅ‚ ûÅ‚
D = ½ 1 0
(3×3) 1 - ½2
1-½
0 0
2
3
Wektor naprężeń
7
Macierz operatorów różniczkowych
à = {Ãx, Ãy , Äxy }
îÅ‚ Å‚Å‚
"
4
Wektor intensywności sił 0
ïÅ‚ śł
"x
ïÅ‚ śł
powierzchniowych
ïÅ‚ śł
"
ïÅ‚ śł
L = 0
ïÅ‚ śł
(3×2) "y
ïÅ‚ śł
t = {tx, ty }
ðÅ‚ ûÅ‚
" "
"y "x
(2)
PÅ‚aski stan naprężenia (Ãz = 0)
Ae, he  pole powierzchni i grubość ES
1
Macierz sztywności

ye
ke = Be TDeBehedAe
Ae
2
Wektor obciążenia elementu

pe = Ne TfehedAe Ae
xe
Ae
3
Wektor sił brzegowych
“e

pe = Ne Ttehed“e
b
“e
(3)
Tarczowe elementy skończone
Element trójwęzłowy
4
Funkcje kształtu
ye q6
ue(x, y) = Ne(x, y)qe
q5
îÅ‚ Å‚Å‚
k
q1
ïÅ‚ śł
q2
ïÅ‚ śł
q2 e
ïÅ‚ śł
Nie 0 Nje 0 Nk 0 q3
xe
q1 e Ne = , qe =ïÅ‚ śł
e
0 Nie 0 Nje 0 Nk (6×1 ïÅ‚ q4 śł
q4 (2×6
i
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
q3
q5
q6
j
Ni (xe, ye) Nj(xe, ye) Nk(xe, ye)
k
i
1
1
k k
ye ye ye
i i
j
xe xe 1 xe
j j
e
Nie = aixe + bi ye + ci , Nje = ajxe + bjye + cj, Nk = akxe + bkye + ck
(4)
Tarczowe elementy skończone
Element trójwęzłowy. Macierz funkcji kształtu
Ni (xe, ye) Nj(xe, ye) Nk(xe, ye)
k
i
1
1
k k
ye ye ye
i i
j
xe xe 1 xe
j j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
xie yie 1 ai 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
xje yje 1 bi ûÅ‚ = 0 ai , bi , ci Nie = ajx + biy + ci
e e
xk yk 1 ci 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
xie yie 1 aj 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
xje yje 1 bj ûÅ‚ = 1 aj, bj, cj Nje = ajx + bjy + cj
e e
xk yk 1 cj 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
xie yie 1 ak 0
e
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
xje yje 1 bk ûÅ‚ = 0 ak, bk, , ck Nk = akx + bky + ck
e
xk yk 1 ck 1
(5)
Tarczowe elementy skończone
Element trójwęzłowy. Macierz pochodnych funkcji kształtu
îÅ‚ Å‚Å‚
"
0
ïÅ‚ śł
"x
ïÅ‚ śł
e
"
ïÅ‚ śł
Nie 0 Nje 0 Nk 0
ïÅ‚ śł
0
Be = L Ne =
e
ïÅ‚ śł
"y
0 Nie 0 Nje 0 Nk
(3×6) (3×1)(3×6)
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
" "
"y "x
îÅ‚ Å‚Å‚
e
"Nie "Nje "Nk
0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ "x "x "x śł
e
ïÅ‚
"Nje
"Nie "Nk śł
ïÅ‚ śł
0 0 0
= ïÅ‚ śł
"y "y "y
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ "Nje "Nje e e
"Nie "Nie "Nk "Nk ûÅ‚
"y "x "y "x "y "x
(6)
Przykład
Statyka tarczy
3 kN/m 3 kN/m
E = 18 GPa
½ = 0.25
h = 0.2 m
4 m
Y
Q2 Q4
Q2 Q4
Q3
Q3 2
1
Q1
Q1
nr. elem. nr. węzł. elem.
1
2
1 1 3 2
2 4 2 3
Q5
Q5 Q7 X
3 4
Q6
Q6 Q8
(7)
2 m
Przykład
Statyka tarczy cd.
Macierz związków konstytutywnych
îÅ‚ Å‚Å‚
18 · 106 1 0.25 0
ðÅ‚ ûÅ‚
D = 0.25 1 0 kPa
1 - 0.252
1-0.25
0 0
2
îÅ‚ Å‚Å‚
19.2 4.8 0
ðÅ‚ ûÅ‚
D = 4.8 19.2 0 · 106 kPa
0 0 7.2
Y Dyskretyzacja
Q2 Q4
Q3 2
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(8)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Funkcje kształtu Element 2
Funkcje kształtu Element 1
topologia : 4 - 2 - 3
topologia : 1 - 3 - 2
1 1
1 1 1
2
N1 (x(1), y(1)) = - x(1) + y(1)
N4 (x(2), y(2)) = x(2) - y(2),
4 2
4 2
1
1 1
2
N3 (x(1), y(1)) = - y(1) + 1,
N2 (x(2), y(2)) = y(2)
2
2
1
1 1
2
N2 (x(1), y(1)) = x(1),
N3 (x(2), y(2)) = - x(2) + 1,
4
4
Y Dyskretyzacja

Q2 Q4
1 1 1
N1 0 N3 0 N2 0
Q3 2
1
N1 =
1 1 1
0 N1 0 N3 0 N2
Q1

1
2 2 2
2
N4 0 N2 0 N3 0
N2 =
2 2 2
Q5 Q7 X
0 N4 0 N2 0 N3
3
3 4
Q6 Q8
(9)
Przykład
Statyka tarczy cd.

2 4
Macierz Ke = Be TDBeh dx(e)dy(e)  Element 1
0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
(1) (1) (1)
"N1 "N3 "N2
0 0 0
ïÅ‚ śł
"x "x "x
(1) (1) (1)
ïÅ‚ śł
"N1 "N3 e "N2
ïÅ‚ śł
0 0 0
B1(x(1), y(1)) =
ïÅ‚ śł
"y "y "y
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
"N1 "N1 "N3 "N3 "N2 "N2
"y "x "y "x "y "x
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
- 0 0 0 0
4 4
1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
= 0 0 - 0 0
2 2
Y Dyskretyzacja 1 1 1 1
- - 0 0
2 4 2 4
Q2 Q4
îÅ‚ Å‚Å‚
Q3 2 240 -120 -144 48 -96 72
1
-120 420 72 -384 48 -36
Q1
ïÅ‚ śł
-144 72 144 0 0 -72
ïÅ‚ śł· 104
K1 =
1
48
ðÅ‚ -384 0 384 -48 0
ûÅ‚
2
-96 48 0 -48 96 0
Q5 Q7 X
72 -36 -72 0 0 36
3
3 4
Q6 Q8
(10)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Macierz K  Element 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
0 0 0 - 0
4 4
ïÅ‚ śł
1 1
B2 = 0 - 0 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
1 1 1 1
- 0 0 -
2 4 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚
240 -120 -144 48 -96 72
-120 420 72 -384 48 -36
2 4
ïÅ‚ śł
T -144 72 144 0 0 -72
ïÅ‚ śł· 104
K2 = B2 DB2h dx(2)dy(2) =
48
ðÅ‚ -384 0 384 -48 0
ûÅ‚
0 0
-96 48 0 -48 96 0
72 -36 -72 0 0 36
Y Dyskretyzacja
Q2 Q4
Q3 2
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(11)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Wektor Pb  Element 1

T T T
P1 = N1 td“ + N1 td“+ N1 td“
b
“1 “1 “1
31 32 12
wspólna krawędz

równowaga sił
wzdłuż linii 3-2
t1 = -t2
32 23
Y Dyskretyzacja
Q2 Q4
Q3 2
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(12)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Wektor Pb  Element 1

T T
P1 = “1 N1 t + N1 td“
b 31
“1 “1
31 12

2 4
T tx T tx = 0
= N1(x(1) = 0, y = y(1)) dy(1)+ N1(x = x(1), y(1) =2) dx(1)
ty ty = -3
0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1
R1 - x + 1 0
4
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
R2 0 - x + 1
4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
4
0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ 0 0 śł 0
+
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł dx =
0 0 0 -3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 1 ûÅ‚
R5 x 0
4
1
Y Dyskretyzacja
R6 0 x
4
Q2 Q4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Q3 2
1
R1 0
Q1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ -6
śł
R2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1
0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2
+
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Q5 Q7 X
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
R5 0
3
3 4
Q6 Q8 R6 -6
(13)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Agregacja - Macierz sztywności układu:
K = A Ke, dla e = 1, 2
e
îÅ‚ Å‚Å‚
240 -120 -96 72 -144 48 0 0
-120 420 48 -36 72 -384 0 0
ïÅ‚ śł
-96 48 240 0 0 -120 -144 72
ïÅ‚ śł
72 -36 0 420 -120 0 48 -384
ïÅ‚ śł
K = · 104
ïÅ‚ -144 72 0 -120 240 0 -96 48 śł
(8×8)
ðÅ‚ -384 -120 0 0 420 72 -36
ûÅ‚
48
0 0 -144 48 -96 72 240 -120
0 0 72 -384 48 -36 -120 420
Y Dyskretyzacja
Q2 Q4
Q3 2
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(14)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Agregacja - Wektor obciążenia
Pb = A Pe, dla e = 1, 2, P = 0
b
e
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 R1
-6 R2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-6 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Pb = +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 R5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 R6
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0
0 0
Y Dyskretyzacja
Q2 Q4
Q3 2
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(15)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Układ równań MES: KQ = P + Pb
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
240 -120 -96 72 -144 48 0 0 0 R1
-120 420 48 -36 72 -384 0 0 -6 R2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-96 48 240 0 0 -120 -144 72 Q3 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
72 -36 0 420 -120 0 48 -384 Q4 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
K = · 104 = +
0 R5
ïÅ‚ -144 72 0 -120 240 0 -96 48 śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(8×8)
ðÅ‚ -384 -120 0 0 420 72 -36
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -6 R6
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
48
0 0 -144 48 -96 72 240 -120 Q7 0 0
0 0 72 -384 48 -36 -120 420 Q8 0 0
RozwiÄ…zanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 -12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Y Dyskretyzacja
2.5 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Q2 Q4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-13.3 0
Q3 2 ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1
Q = · 10-6 m R = kN
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 12
Q1 ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-2.5 0
Q5 Q7 X
-13.3 0
3
3 4
Q6 Q8
(16)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Powrót do elementu: Element 1
Q1 = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 2.5, -13.3} · 10-6
µ1 = B1 Q1

6.25
µ1 = 0.0 · 10-7
-32.5
Ã1 = D µ1

-12.0
Y Dyskretyzacja
Ã1 = 3.0 kPa
Q2 Q4
Q3 2 -23.4
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(17)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Powrót do elementu: Element 2
Q2 = {-2.5, 13.3, 2.5, -1.3, 0.0, 0.0, } · 10-6
µ2 = B2 Q2

6.25
µ2 = 0.0 · 10-7
8.25
Ã2 = D µ2

12.0
Y Dyskretyzacja
Ã2 = 3.0 kPa
Q2 Q4
Q3 2 6.0
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(18)
Przykład
Statyka tarczy cd.
Obliczenie przemieszczeń ux, uy w punkcie A(x,y), dla x=1m, y=1m
îÅ‚ Å‚Å‚
0.0
ïÅ‚ śł
0.0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ux 0.25 0 0.5 0 0.25 0 0.0
= N1(1, 1) Q1 = ·ïÅ‚ śł·10-6 =
ïÅ‚ śł
uy 0 0.25 0 0.5 0 0.25 0.0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2.5
-13.3

6.25
Y Dyskretyzacja
= · 10-7m
Q2 Q4
-33.25
Q3 2
1
Q1
1
2
Q5 Q7 X
3
3 4
Q6 Q8
(19)