Wyznacznik macierzy
Uwaga
Wyznacznik definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych:
a11, a12, ,a1n
�łłł
�ła , a22, ,a2n śł
21
�łśł
A= - macierz A
�łśł

�łśł
, an2, ,ann �ł
�łan1
a11, a12, ,a1n
a21, a22, ,a2n
det A = - wyznacznik macierzy A

an1, an2, ,ann
Wyznacznik macierzy A to wyznacznik n wektorów, które stanowią
kolumny tej macierzy.
Czyli:
detA= �(�)a1�(1) �" ... �"an�(n)
"
�"Sn
Własności wyznacznika macierzy:
1) Wyznacznik macierzy to liczba przyporządkowana macierzy (różne
macierze mogą mieć ten sam wyznacznik).
1
�ł -1 1 -1
łł
A == 5
detA=
�ł2 3 śł
2 3
�ł �ł
1 0 0 1 0 0
�łłł
�ł0
B = 5 0śł detB= 0 5 0 = 5
�łśł
�łśł
�ł0 0 1�ł 0 0 1
2) Wyznacznik macierzy AT jest równy wyznacznikowi macierzy A.
detAT=detA
3) Możemy dodać wyznaczniki tego samego stopnia z dwóch macierzy
nie licząc ich. Można to zrobić �! macierze różnią się dokładnie
jednym wierszem (dokładnie jedną kolumną).
Wówczas:
a11 a1i +b1i a1n a11 a1i a1n a11 b1i a1n
a21 a2i +b2i a2n a21 a2i a2n a21 b2i a2n
=+

an1 ani +bni ann an1 ani ann an1 bni ann
det (x1,x2,...,xi +xi',...,xn ) = det (x1,x2,...,xi,...,xn )+ det (x1,x2,...,xi',...,xn )
4) Aby pomnożyć wyznacznik przez liczbę (nie licząc go) mnożymy
1 wiersz (albo 1 kolumnę) wyznacznika przez tą liczbę.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 6 Część 10  Wyznaczniki macierzy
a11 a1i a1n ąa11 ąa1i ąa1n
a21 a2i a2n a21 a2i a2n
ą =

an1 ani ann an1 ani ann
5) Jeżeli kolumny (albo wiersze) (jako wektory) są liniowo zależne to
wyznacznik jest równy 0.
6) Zamiana kolejności kolumn albo wierszy powoduje odpowiednią
zmianę znaku wyznacznika.
7) Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do wiersza (albo kolumny)
dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (albo kolumn).
8) Można uzasadnić, że dla macierzy An�n i Bn�n zachodzi:
det(A �" B)=detA �" detB
9) Z: An�n  nieosobliwa
1
T: detA `" 0 '" detA-1=
det A
Def 1.
a11 a1i a1n
a21 a2i a2n
det A= - wyznacznik macierzy A

an1 ani ann
Podwyznacznikiem macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej
z macierzy A przez skreślenie w tej macierzy pewnej liczby wierszy i tej
samej ilości kolumn.
Def 2.
Minorem Mij macierzy A przynależnym elementowi aij nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i  tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
Def 3.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy minor Mij
pomnożony przez (-1)i+j, czyli Aij=(-1)i+jMij.
Twierdzenie 1 (Laplace a)
Z: An�n=[aij]  macierz
T: Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów
dowolnie wybranego wiersza (albo kolumny) przez ich dopełnienia
algebraiczne.
detA = a1j�"A1j+a2j�"A2j+...+anj�"Anj
(jest to rozwinięcie względem j-tejkolumny)
detA = ai1�"Ai1+ai2�"Ai2+& +ain�"Ain
(jest to rozwinięcie względem i-tego wiersza)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 6 Część 10  Wyznaczniki macierzy
Przykład 1
1 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0
= 0�"(-1)1+3 �" 0 0 1 +1�"(-1)2+3 �" 0 0 1 +
0 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 0 1 1 0
+1�"(-1)3+3 �" 0 1 0 + 0�"(-1)4+3 �" 0 1 0 = 0 -1+1+ 0 = 0
1 0 1 0 0 1
Przykład 2
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a22 0 0 0 0
a21 a22 0 0 0 a32 a33 0 0 0 a32 a33 0 0 0
0 = a11(-1)1+1 0 = a11(-1)1+1 �"a22(-1)1+1 0
ai1 aii 0ai1 aii 0 ai1 aii 0
an1 an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
= a11 �"a22 �"...�"ann
W szczególności dla macierzy diagonalnej:
a11 0 0 0 0
0 a22 0 0 0
0 0 = a11 �"a22 �"...�"ann
0 0 aii 0
0 0 0 ann
Przykład 3
Rozwiązać równanie:
x 1 1 1
1 x 1 1
= 0
1 1 x 1
1 1 1 x
Liczymy wyznacznik:
x 1 1 1 x-1 0 0 1 1 0 0 1
1 x 1 1 0 x-1 0 1 0 1 0 1
== (x-1)3 = (x-1)3 �"(x+3)
1 1 x 1 0 0 x-1 1 0 0 1 1
1 1 1 x 1-x 1-x 1-x x -1 -1 -1 x+3
Podstawiając do równania otrzymujemy:
(x-1)3(x+3)=0 �! x=1(" x=-3
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 6 Część 10  Wyznaczniki macierzy
Twierdzenie 2
Z: Am�n, det A `" 0
1
T: A  jest macierzą nieosobliwą i A-1= �"(AD)T
detA
Gdzie AD jest macierzą dopełnień algebraicznych wszystkich elementów
macierzy A
A11 A1n
�łłł
�łśł
AD =
�łśł
�łśł
Ann �ł
�łAn1
Wniosek: An�n  jest macierzą nieosobliwą �! det A `" 0.
Przykład 4
1 0 -1
�łłł
�ł-1 śł
A= 1 0
�łśł
�łśł
0 1 1
�ł�ł
1 0 -1
detA= -1 1 0 = 1+1 = 2 - macierz jest nieosobliwa
0 1 1
A11 A12 A13
�łłł
�łA
AD = A22 A23 śł
21
�łśł
�łśł
A32 A33 �ł
�łA31
1 0 0 -1
A11 = (-1)1+1 =1 A21 = (-1)2+1 = -1
1 1 1 1
-1 0 1 -1
A12 = (-1)1+2 = 1 A22 = (-1)2+2 =1
0 1 0 1
-1 1 1 0
A13 = (-1)1+3 = -1 A23 = (-1)2+3 = -1
0 1 0 1
0 -1
A31 = (-1)3+1 = 1
1 0
1 -1
A32 = (-1)3+2 =1
-1 0
1 0
A33 = (-1)3+3 =1
-1 1
Czyli:
1 1 -1 1
�łłł �ł -1 1
łł
�ł �ł
AD = 1 -1śł (AD)T = 1 1 1śł
�ł-1 śł �ł śł
�ł-1 -1 1
�ł-1 -1 1�ł
śł
�łśł �ł
�ł
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 6 Część 10  Wyznaczniki macierzy
1 1 1
�ł - łł
2 2 2
�łśł
11 1 1
A-1= (AD )T =
22 2 2
�łśł
1 1 1
�ł- - śł
�ł 2 2 2 �ł
Uwaga
Lepiej jest stosować metodę macierzy odwrotnej jako macierzy
odwzorowania odwrotnego.
Czyli:
1 0 -1 x1 y1
�łłł �ł łł �ł łł
�ł-1 1 0 śł �łx śł �ły śł
�" =
1 2
�łśł �ł śł �ł śł
�łśł �ł śł �ł śł
0 1 1
�ł�ł �łx1�ł �ły3 �ł
x1 -x3 = y1
ńł
�ł-x + x2 = y2
�ł
1
�ł
x2 + x3 = y3
ół
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
1 1 1
1 1 1
x1 =- y1 - y2 + y3
�ł - łł
2 2 2
2 2 2
�ł śł
1 1 1 1 1 1
x2 = y1+ y2 + y3 Czyli: A-1 =
2 2 2 2 2 2
�ł śł
1 1 1
1 1 1
�ł- - śł
x3 =- y1 - y2 + y3
�ł 2 2 2 �ł
2 2 2
Def 4.
a11 a12 a1m
�łłł
�ła a22 a2m śł
�łśł
Z: An�m =21 - macierz
�łśł

�łśł
anm �ł
�łan1
Podwyznacznikiem (minorem) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
utworzonej z macierzy A przez skreślenie w niej pewnej liczby wierszy
(i kolumn) w taki sposób aby otrzymana macierz była kwadratowa.
det Bk�k  minor stopnia k wyjęty z macierzy A.
Np.
1 2 -1 4 6
�łłł
�ł-1
A= 0 2 -1 3śł
�łśł
�łśł
5 1 -1 4 1�ł
�ł
1 2 -1
-1 0 2 - minor stopnia 3 wyjęty z macierzy A
5 1 -1
Twierdzenie 5
Z: An�m  macierz
T: Rząd macierzy A jest równy największemu ze stopni minorów
niezerowych.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 6 Część 10  Wyznaczniki macierzy
Poniższy przykład pokazuje, że na ogół nie warto stosować tego
twierdzenia.
Przykład 5
Policzyć rząd macierzy.
2 6 -1 4 3
�łłł
�ł1 4 2 -1 0śł
�łśł
A=
�ł -2 -5 6 3
śł
0
�ł3 10 1 3 3śł
�ł�ł
2 6 -1 4 3 1 4 2 -1 0 1 4 2 -1 0
�łłł �łłł �łłł
�ł1 4 2 -1 0śł �ł0 -2 -5 6 3śł �ł0 -2 -5 6 3śł
�łśł �łśł �łśł
rzA=rz = rz = rz = 2
�ł -2 -5 6 3 0 -2 -5 6 3 0 0 0 0 0
śł �łśł �łśł
0
�ł3 10 1 3 3śł �ł0 -2 -5 6 3śł �ł0 0 0 0 0śł
�ł�ł �ł�ł �ł�ł
Czyli rzA = 2. Co oznacza, że wszystkie minory stopnia 4 oraz stopnia 3 są
równe 0.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 6 Część 10  Wyznaczniki macierzy