Spis treści:
Strona:
1. Wyznaczenie wykresów M, T dla podanej belki od obciążenia czynnego.
1.1 Schemat obciążenia. 3.
1.2 Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności. 3.
1.3 Układ podstawowy. 3.
1.4 Równanie trzech momentów. 3.
1.5 Wyznaczenie wyrazów wolnych. 5.
1.6 Wyznaczenie nadliczbowych układu równań. 11.
1.7 Wyznaczenie reakcji podporowych. 12.
1.8 Kontrola statyczna obliczonych reakcji podporowych. 13.
1.9 Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych. 13.
1.9.1Siły tnące i momenty zginające. 13, 14.
1.10 Wykresy sił wewnętrznych. 15.
2. Wyznaczenie wykresów M, T dla podanej belki od wpływu temperatury.
2.1 Schemat obciążenia. 16.
2.2 Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności. 16.
2.3 Przyjęcie przekroju. 16.
2.4 Układ podstawowy. 17.
2.5 Równanie trzech momentów. 17.
2.6 Wyznaczenie wyrazów wolnych. 18.
2.7 Wyznaczenie nadliczbowych układu równań. 18.
2.8 Wyznaczenie reakcji podporowych. 19.
2.9 Kontrola statyczna obliczonych reakcji podporowych. 19.
2.10 Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych. 20.
2.10.1Siły tnące. 20.
2.10.2 Momenty zginajÄ…ce. 20.
2.11 Wykresy sił wewnętrznych. 21.
3. Wyznaczenie wykresów M, T dla podanej belki od osiadania podpór.
3.1 Schemat obciążenia. 22.
3.2 Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności. 22.
3.3 Przyjęcie przekroju. 22.
3.4 Układ podstawowy. 23.
3.5 Równanie trzech momentów. 23.
3.6 Wyznaczenie wyrazów wolnych. 24.
3.7 Wyznaczenie nadliczbowych układu równań. 24.
3.8 Wyznaczenie reakcji podporowych. 25.
3.9 Kontrola statyczna obliczonych reakcji podporowych. 25.
3.10 Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych. 26.
2.10.1Siły tnące. 26.
2.10.2 Momenty zginajÄ…ce. 26.
3.11 Wykresy sił wewnętrznych. 27.
1
4. Dla podanej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach.
4.1 Schemat obciążenia. 28.
4.2 Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności. 28.
4.3 Oznaczenia. 29.
4.4 Przyjęcie układu podstawowego. 29.
4.5 Układ równań kanonicznych. 29.
4.6 Wyznaczenie reakcji i sił normalnych od obciążenia zewnętrznego. 30.
4.7 Wyznaczenie reakcji i sił normalnych od nadliczbowej X . 33.
4.8 Wyznaczenie reakcji i sił normalnych od nadliczbowej X . 36.
4.9 Wyznaczenie reakcji podporowych z zasady superpozycji. 39.
4.10 Obliczenie siły w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej korzystając z
zasady superpozycji. 40.
4.11Wykresy sił normalnych. 41.
4.12 Przeprowadzenie sprawdzenia w wybranym węzle. 42.
2
Zadanie nr 1.
1. Wyznaczenie wykresów M, T dla podanej belki ciągłej od obciążenia czynnego.
1.1 Schemat obciążenia.
1.2 Wyznaczam stopień statycznej niewyznaczalności (SSN).
n = r - 3
= - =
Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
1.3 Układ podstawowy.
1.4 Równanie trzech momentów.
2
+ 2 + 2 + 2 =
2
+ 2 + 2 + 2 =
2
+ 2 + 2 + 2 =
3
gdzie:
" momenty skupione:
X = 0
X = -P " 0,4l = -5 " 2 = -10 kNm
I
l2 = l =
I
" Ic- porównawczy moment bezwładności:
I = I
" wyraz wolny:
N = -6EI (Ćl + Ć )
" długości porównawcze:
l 2 = 0
I
l = 5 m; l2 = l " = 5 m
I
I
l = 7,5 m; l2 = l " = 2,5 m
3I
" Po dokonaniu podstawienia do równania trzech momentów, otrzymuję:
2X " 5 + X " 5 = N
( )
5 " X + 2X 5 + 2,5 + X " 2,5 = N
10 " X + 5X = N
5X + 15X - 10 " 2,5 = N
4
1.5 Wyznaczenie wyrazów wolnych.
a) Sposób I
" wyznaczenie N1P, ze wzoru N1P=-6EI(ĆL+ĆP)
1 1
Ć
= 0
Przęsło fikcyjne , dlatego długość przęsła jest
równa 0, dlatego reakcje podporowe oraz wykresy
momentów również są zerowe.
Ć = 0
Ć
= 0
Reakcje podporowe:
Reakcje podporowe:
M = 0
M = 0
l
R " l + 1 = 0
R " l - q " l " = 0
2
1
ql
R = -
R =
l
2
M = 0
M = 0
R " l - 1 = 0
l
R " l - q " l " = 0
1
2
R =
ql
l
R =
2
5
M M 1 5 125 kNm
Ć = ds = 4 " 0,5 " 6,25 =
EI EI 6 12EI
" Po podstawieniu wyliczonych ugięć na podporach, wyznaczam wyraz wolny:
125 kNm
N = -6EI Ć l + Ć = -6EI 0 + = -62,5 kNm
12EI
" wyznaczenie N2P, ze wzoru N21P=-6EI(ĆL+ĆP
1 1
6
Ć
= 0
Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
M = 0 M = 0
l
R " l - 1 = 0
R " l - q " l " = 0
1
2
R =
ql
l
R =
2
M = 0
M = 0
R " l + 1 = 0
l
1
R " l - q " l " = 0
R = -
2
l
ql
R =
2
M M 1 5 125 kNm
Ć = ds = 4 " 0,5 " 6,25 =
EI EI 6 12EI
7
Ć
Reakcje podporowe:
Reakcje podporowe:
M = 0
M = 0
l
R " l - 1 = 0
R " l - q " l " = 0
2
1
ql
R =
R = l
l
M = 0
M = 0
R " l + 1 = 0
R " l - q " 0,5 " l " l = 0
1
q " l " l
R = -
R =
l
2l
8
Reakcje podporowe:
M = 0
R " l + M = 0
M
R = -
l
M = 0
R " l - M = 0
M
R =
l
9
3,75
10,031 " 0,5 + 4 " 0,75 " 8,53 +
6
M M 1
2,25
Ć = ds =
10,031 " 0,5 " 2 + 7,61 " 0,2 " 2 + 10,031 " 2 + 7,61 " 0,5
EI EI
6
1,5
2 " 1,61 " 0,2
6
8,79 kNm
=
EI
" Po podstawieniu wyliczonych ugięć na podporach, wyznaczam wyraz wolny:
125 kNm 8,79 kNm 19,21kNm
( )
N = -6EI Ć + Ć = -6EI + = -6EI "
12EI EI EI
= -115,26 kNm
b) Sposób II
" wyznaczenie N
ql l 2
N = -
4
gdzie:
l2 = l = 5 m
kN
q = 2
m
" "
= - = - ,
10
" wyznaczenie N
q l l2
( )
N = - - l " l2 " q " ¾ - ¾ " d¾ - (-M) " l2 " (3 " ¾ - 1)
4
gdzie:
1,5
¾ = = 0,2
7,5
3,75
Ä… = = 0,5
7,5
7,5
² = = 1
7,5
,
( )
= - , - ( , ) " " " " - + , " , - =
= - , - , " " - - + - , =
= - ,
1.6 Wyznaczam nadliczbowe układu równań.
10 " X + 5X = N
5X + 15X - 10 " 2,5 = N
" Podstawiam wyliczone wyrazy wolne.
10m " X + 5m " X = -62,5 kNm
5m " X + 15m " X = 25 kNm - 115,26 kNm
" Po wykonaniu kolejnych działań, otrzymałem:
= - ,
= - ,
11
1.7 Wyznaczenie reakcji podporowych.
Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
Reakcje podporowe:
M = 0 M = 0
M = 0
R " 0 - X1 = 0 R " 5 + X1 - X2 - q " 5 " 2,5 = 0
R " 7,5 + X2 - q " 3,75 " 5,625 - M + P " 2 = 0
=
5R = -X1 + X2 + q " 5 " 2,5
7,5R = -42,91
5R = 24,17 /: 5
= ,
= ,
M = 0
M = 0
M = 0
R " 0 + X1 = 0
R " 5 + X2 - X1 - q " 5 " 2,5 = 0
R " 7,5 - X2 - q " 3,75 " 1,875 + M - P " 9,5 = 0
=
5R = X1 - X2 + q " 5 " 2,5 7,5R = 61,78
5R = 25,83 /: 5
= ,
= ,
= + = , = + = ,
1.8 Kontrola statyczna obliczonych reakcji podporowych.
Y=0
R1+ R2+R3-q·8,75-P=0
4,834+10,886+6,779-17,5-5=0
0=0
M3=0
R1·12,5-R2·7,5-q·8,75·4,375-M+P·2-X1=0
4,834·12,5-10,886·7,5-2·8,75·4,375-6+5·2-3,89=0
-7,5 " 10 H" 0 = 0
12
1.9 Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych.
1.9.1 Siły tnące i momenty zginające.
Przedział 1; x "< 0; 5 >
( )
T x = R - q " x
( )
T x = 0 m = R = 4,834 kN
( )
T x = 5 m = R - q " x = -5,166 kN
( )
T x = 0 = 0 x = 2,417 kN
x
( )
M x = R " x + X - q " x "
2
( )
M x = 0m = X = -3,89 kNm
5
( )
M x = 5 m = R " 5 + X - q " 5 " = -4,72 kNm
2
2,417
( )
M x = 2,417 = R " 2,417 + X - q " 2,417 " = 1,95 kNm
2
Przedział 2; x "< 5 ; 8,75m >
( ) - q " x + R
x = R
( )
x = 5 m = R - q " x + R = 5,72 kN
( )
x = 8,75 m = R - q " 8,75 + R = -1,78 kN
( )
T x = 0 = 0 x = 7,86 m
x
( )
M x = R " x + X - q " x " +R " (x - 5)
2
5
( ) ( )
M x = 5m = R " 5 + X - q " 5 " +R " 5 - 5 = 4,72 kNm
2
8,75
( ) ( )
M x = 8,75m = R " 8,75 + X - q " 8,75 " +R " 8,75 - 5 = 2,67 kNm
2
7,86
( ) ( )
M x = 7,86m = R " 7,86 + X - q " 7,86 " +R " 7,86 - 5 = 3,45 kNm
2
Przedział 3; x2 "< 0 ; 2m >
( )
T x = P = 5 kN
( )
M x = -P " x = -10kNm
( )
M x = 0 m = 0
( )
M x = 2m = -10 kNm
13
Przedział 4; x2 "< 2; 3,5m >
( )
T x2 = P + R = -1,78 kN
( )
M x2 = -P " x + R " (x - 2)
( )
M x = 2 m = -P " 2 + R " (2 - 2) = -10 kNm
( )
M x = 3,5 m = -P " 3,5 + R " (3,5 - 2) = -7,34 kNm
Przedział 5; x2 "< 3,5 ; 5,75 >
( )
T x2 = P + R = -1,78 kN
( )
M x2 = -P " x + R " (x - 2) + M
( ) ( )
M x = 3,5m = -P " 3,5 + R " 3,5 - 2 + M = -1,34 kNm
( ) ( )
M x = 5,75m = -P " 5,75 + R " 5,75 - 2 + M = 2,67 kNm
14
1.10 Wykresy sił wewnętrznych.
15
2. Wyznaczenie wykresów M, T dla podanej belki ciągłej od wpływu
temperatury.
2.1 Schemat obciążenia.
2.2 Wyznaczam stopień statycznej niewyznaczalności (SSN).
n = r - 3
= - =
Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
2.3 Przyjmuję belkę wykonaną ze stali o następujących parametrach:
a) Przekrój IPE 200:
" E = 205 GPa = 205 " 10
" I = 1940 " 10 m
" EI = 3977 kNm
" Ä… = 1,2 " 10 !
" h = 0,2 m
)
" "t = 18! - (-17! = 35!
b) Przekrój IPE 270:
" E = 205 GPa = 205 " 10
" I = 5790 " 10 m
" EI = 11869,5 kNm
" Ä… = 1,2 " 10 !
" h = 0,27 m
)
" "t = 14! - (-17! = 31!
Powyższe dane zostały odczytane z Tablic do projektowania konstrukcji
metalowych , autorstwa Władysława Boguckiego oraz Mikołaja Żyburtowicza.
16
2.4 Układ podstawowy.
2.5 Równanie trzech momentów.
2
+ 2 + 2 + 2 =
2
+ 2 + 2 + 2 =
2
+ 2 + 2 + 2 =
gdzie:
" momenty skupione:
X = 0
X = 0
" Ic- porównawczy moment bezwładności
I = I
" wyraz wolny:
" "
= - +
" długości porównawcze:
= =
l 2 = 0
I
l = 5 m; l2 = l " = 5 m
I
I
l = 7,5 m; l2 = l " = 2,5
3I
17
" Po dokonaniu podstawienia do równania trzech momentów, otrzymuję:
2X " 5 + X " 5 = N
5 " X + 2X 5 + 2,5 = N
10X + 5X = N
5X + 15X = N
2.6 Wyznaczenie wyrazów wolnych.
" "
= - +
"
N = -3EIÄ…
!
" "
N = -3EIÄ… +
! !
" Po podstawieniu powyższych danych, otrzymuję:
! "
= - " " , " = - ,
! ,
! " ! " ,
= - " " , " + = - ,
! , ,
2.7 Wyznaczam nadliczbowe układu równań.
10X + 5X = N
5X + 15X = N
" Podstawiam wyliczone wyrazy wolne.
10X + 5X = -125,28
5X + 15X = -248,56
" Po wykonaniu kolejnych działań, otrzymałem:
= - ,
= - ,
18
2.8 Wyznaczenie reakcji podporowych.
Reakcje podporowe: Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
M = 0 M = 0 M = 0
R " 0 - X1 = 0
R " 5 + X1 - X1 = 0 R " 7,5 + X2 = 0
R = 0
5R = -X1 + X2 7,5R = -X2
5R = -9,79 /: 5 7,5R = 14,88 /: 7,5
= - , = ,
M = 0
M = 0 M = 0
R " 0 + X1 = 0
R = 0
R " 7,5 - X2 = 0
R " 5 - X1 + X2 = 0
7,5R = X2
5R = X1 - X2
7,5R = -14,88 /: 7,5
5R = 9,79 /: 5
R = - ,
= ,
= = - , = + = ,
2.9 Kontrola statyczna obliczonych reakcji podporowych.
Y=0
R1+ R2+R3=0
-1,958+3,942-1,984=0
0=0
M3=0
R1·12,5-R2·7,5+X1=0
-1,958·12,5+3,942·7,5-5,09=0
0 = 0
19
2.10 Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych.
2.20.1 Siły tnące.
Przedział 1 - 2; x "< 0,5 >
( )
x = R = -1,958 kN
Przedział 2 - 3; x "< 0; 7,5 >
( )
x = R = 1,984 kN
Przedział 3 - 4; x "< 0; 2 >
( )
x = R + R = 1,984 - 1,984 = 0
2.10.2 Momenty zginajÄ…ce.
Przedział 1 - 2; x "< 0,5 >
( )
x = R " x + X
( ) (-5,09 = -5,09 kNm
x = 0 = R " x + X = -1,958 " 0 + )
( ) (-5,09 - 14,88 kNm
x = 5 = R " x + X = -1,958 " 5 + )
Przedział 2 - 3; x "< 0; 7,5 >
( )
x = R " x + X
( ) (-14,88 = -14,88 kNm
x = 0 = R " x + X = 1,984 " 0 + )
( ) (-14,88 = 0
x = 7,5 = R " x + X = 1,984 " 7,5 + )
Przedział 3 - 4; x "< 0; 2 >
( ) ( )
x = R " x + 7,5 + R " x + X
( ) ( ) (-14,88 = 0
x = 0 = R " x + 7,5 + R " x + X = 1,984 " 7,5 - 1,984 " 0 + )
( ) ( ) (-14,88 = 0
x = R " x + 7,5 + R " x + X = 1,984 " 9,5 - 1,984 " 2 + )
20
2.11 Wykresy sił wewnętrznych.
21
3. Wyznaczenie wykresów M, T dla podanej belki ciągłej od osiadania podpór.
3.1 Schemat obciążenia.
3.2 Wyznaczam stopień statycznej niewyznaczalności (SSN).
n = r - 3
= - =
Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
3.3 Przyjmuję belkę wykonaną ze stali o następujących parametrach:
c) Przekrój IPE 200:
" = = "
" I = 1940 " 10 m
" EI = 3977 kNm
" " = 6 cm = 0,06 m
" Przekrój IPE 270:
" E = 205 GPa = 205 " 10
" I = 5790 " 10 m
" EI = 11869,5 kNm
" " = 4 cm = 0,04 m
Powyższe dane zostały odczytane z Tablic do projektowania konstrukcji
metalowych , autorstwa Władysława Boguckiego oraz Mikołaja Żyburtowicza.
22
3.4 Układ podstawowy.
3.5 Równanie trzech momentów.
2
+ 2 + 2 + 2 =
2
+ 2 + 2 + 2 =
2
+ 2 + 2 + 2 =
gdzie:
" momenty skupione:
X = 0
X = 0
" Ic- porównawczy moment bezwładności
I = I
" długości porównawcze:
= =
l 2 = 0
I
l = 5 m; l2 = l " = 5 m
I
I
l = 7,5 m; l2 = l " = 2,5 m
3I
23
" Po dokonaniu podstawienia do równania trzech momentów, otrzymuję:
2X " 5 + X " 5 = N
5 " X + 2 " X 5 + 2,5 = N
10 " X + 5 " X = N
5 " X + 15 " X = N
3.6 Wyznaczenie wyrazów wolnych.
= +
gdzie:
" "
= - - " + +
= "
W rozważanym zadaniu podpory nie doznają obrotu, zatem wzór upraszcza się do postaci:
" "
= - - " + +
1 " " "
N " = -6EI -" " + = -6EI - +
" 1 1 " " "
N " = -6EI - " + = -6EI - -
" Po podstawieniu powyższych danych, otrzymuję:
, ,
= - " " - + = ,
,
= - " " - , + = ,
,
3.7 Wyznaczam nadliczbowe układu równań.
10 " X + 5 " X = N
5 " X + 15 " X = N
" Podstawiam wyliczone wyrazy wolne.
10m " X + 5m " X = 95,45 kNm
5m " X + 15m " X = 31,82 kNm
" Po wykonaniu kolejnych działań, otrzymałem:
= ,
= - ,
24
3.8 Wyznaczenie reakcji podporowych.
Reakcje Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
podporowe:
M = 0 M = 0
M = 0
R " 5 + X - X = 0 R " 7,5 + X = 0
R " 0 - X = 0 5R = -X + X 7,5R = -X
R = 0
5R = -11,44 /: 5 7,5R = 1,27 /: 7,5
= - , = ,
M = 0
M = 0 M = 0
R " 0 + X = 0
R " 5 - X + X = 0 R " 7,5 - X = 0
R = 0 7,5R = X
5R = X - X
7,5R = -1,27 /: 7,5
5R = 11,44 /: 5
= - ,
= ,
= = - , = + = ,
3.9 Kontrola statyczna obliczonych reakcji podporowych.
Y=0
R1+ R2+R3=0
-2,288+2,457-0,169=0
0=0
M3=0
R1·12,5-R2·7,5+X1=0
-2,288·12,5+2,457·7,5+10,17=0
-2,5 " 10 H" 0 = 0
25
3.10 Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych.
3.10.1 Siły tnące.
Przedział 1 - 2; x "< 0,5 >
( )
x = RP = -2,288 kN
1
Przedział 2 - 3; x "< 0; 7,5 >
( )
x = RP = 0,169 kN
2
Przedział 3 - 4; x "< 0; 2 >
( )
x = RP + R3 = 0,169 - 0,169 = 0
2
3.10.2 Momenty zginajÄ…ce.
( )
x = R " x + X
( )
x = 0 = R " x + X = -2,288 " 0 + 10,17 = 10,17 kNm
( )
x = 5 = R " x + X = -2,288 " 5 + 10,17 - 1,27 kNm
Przedział 2 - 3; x "< 0; 7,5 >
( )
x = R " x + X
( ) (-1,27 = -1,27 kNm
x = 0 = R " x + X = 0,169 " 0 + )
( ) (-1,27 = 0
x = 7,5 = R " x + X = 0,169 " 7,5 + )
Przedział 3 - 4; x "< 0; 2 >
( ) ( )
x = R " x + 7,5 + R " x + X
( ) ( ) (-1,27 = 0
x = 0 = R " x + 7,5 + R " x + X = 0,169 " 7,5 - 0,169 " 0 + )
( ) ( ) (-1,27 = 0
x = R " x + 7,5 + R " x3 + X2 = 0,169 " 9,5 - 0,169 " 2 + )
26
3.11 Wykresy sił wewnętrznych.
27
Zadanie nr 2.
4. Dla podanej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach. Przeprowadzić
kontrolę statyczną reakcji i sił w wybranym węzle uzyskanego rozwiązania.
4.1 Schemat obciążenia.
4.2 Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności kratownicy.
n = r + p - 2w
gdzie:
rp- liczba składowych reakcji podporowych danej kratownicy
p- liczba prętów znajdujących się w kratownicy
w- liczba węzłów
= + - " =
Kratownica jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna(jednokrotnie wewnętrznie
oraz jednokrotnie zewnętrznie).
28
4.3 Oznaczenia.
" Schemat oznaczenia prętów oraz węzłów w kratownicy.
4.4 Przyjęcie układu podstawowego statycznie wyznaczalnego, geometrycznie
niezmiennego.
4.5 Układ równań kanonicznych.
´ X + ´ X + ´ = 0
´ X + ´ X + ´ = 0
29
4.6 Wyznaczenie reakcji podporowych oraz sił normalnych w układzie
podstawowym od obciążenia zewnętrznego.
" Reakcje podporowe.
Reakcje podporowe: Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
M = 0 M = 0 X = 0
R " 2a - P " a - P " 2a + P " 2 = 0
R " 2a - P " a - P " 2a = 0 H + P = 0
H = -12 kN
2a " R = P " a + P " 2a - P " 2a
2a " R = P " a + P " 2a
R = 6,5 kN
R = 19,5 kN
SPRAWDZENIE:
Y = 0
R + R - P - P = 0
19,5 + 6,5 - 15 - 11 = 0
0 = 0
30
" Wartości sił normalnych.
Węzeł A
= 0
( )
+ sin 45° = 0
1
= -27,577
1
= 0
= 19,5
( )
+ cos 45° = 0
Węzeł B
= 0
+ = 0
= -6,5
= 12
= 0
- = 0
Węzeł 1
= 0
( )
cos 45° + - = 0
= 10,607
= 0
= 7,5
( )
- + sin 45° = 0
Węzeł 2
= 0
( )
- cos 45° = 0
1
= -19,5
1
= 0
= -12
( )
- + sin 45° = 0
Węzeł 4
= 0
= 16,971
( )
cos 45° + = 0
= 0
= 0
( )
+ sin 45° + = 0
31
Węzeł 5
= 0
- = 0
= 0
= 0
= -11
+ = 0
Węzeł 6
= 0
= 0
( )
cos 45° + = 0
Węzeł 3 (sprawdzenie)
= 0
0 = 0
( ) ( ) ( )
+ cos 45° + cos 45° - cos 45° = 0
= 0
0 = 0
( ) ( ) ( )
+ sin 45° + sin 45° - - cos 45°
= 0
" Wykres sił normalnych.
32
4.7 Wyznaczenie reakcji podporowych oraz sił normalnych w układzie
podstawowym od nadliczbowej X1=1.
" Reakcje podporowe.
Reakcje podporowe: Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
M = 0 M = 0 X = 0
R " 2a - X " 2a = 0 R " 2a + X " 2a = 0 H + X = 0
2a " R = X " 2a 2a " R = -X " 2a
R = 1 R = -1 H = -1
SPRAWDZENIE:
Y = 0
R + R = 0
0 = 0
33
" Wyznaczenie sił normalnych.
Węzeł A
= 0
( )
+ sin 45° = 0
1
= -1,414 -
1
= 0
= 1 -
( )
+ cos 45° = 0
Węzeł B
= 0
+ = 0
= 1 -
= 0
= 1 -
- = 0
Węzeł 1
= 0
= 0 -
( )
cos 45° + - = 0
= 0 -
= 0
( )
- + sin 45° = 0
Węzeł 2
= 0
= -1 -
1
( )
- cos 45° = 0
1
= -1 -
= 0
( )
- + sin 45° = 0
Węzeł 4
= 0
( )
cos 45° + = 0
= 1,414 -
= -1 -
= 0
( )
+ sin 45° + = 0
34
Węzeł 5
= 0
- = 0
= 0 = -1 -
= 0
Węzeł 6
= 0
= 0 -
( )
cos 45° + + = 0
Węzeł 3 (sprawdzenie)
= 0
( ) ( ) ( )
+ cos 45° + cos 45° - cos 45°
0 = 0
= 0
= 0
0 = 0
( ) ( )
+ sin 45° + sin 45° -
( )
- cos 45° = 0
" Wykres sił normalnych.
35
4.8 Wyznaczenie reakcji podporowych oraz sił normalnych w układzie
podstawowym od nadliczbowej X2=1.
" Reakcje podporowe.
Reakcje podporowe: Reakcje podporowe: Reakcje podporowe:
M = 0 M = 0 X = 0
R = 0 R = 0 H = 0
" Wyznaczenie sił normalnych.
Zaznaczam na układzie podstawowym od nadliczbowej X2 zgodnie z zasadami pręty zerowe, co
znacznie uprości wyznaczenie sił normalnych.
36
Węzeł B
= 0
( )
- + cos 45° = 0
= -0,707 -
= 0
= -0,707 -
( )
+ + sin 45° = 0
Węzeł 1
= 0
( )
cos 45° + - = 0
= 1 -
= 0
= -0,707 -
( )
+ sin 45° = 0
Węzeł 2
= 0
= -0,707 -
1
( )
+ cos 45° = 0
Węzeł 3 (sprawdzenie)
0 = 0
= 0
( )
+ cos 45° = 0
0 = 0
= 0
( )
+ cos 45° = 0
" Wykres sił normalnych.
37
" Obliczanie współczynników układu równań kanonicznych metody sił.
´ X + ´ X + ´ = 0
´ X + ´ X + ´ = 0
gdzie:
= =
l Np N1 N2 N1 "N1 N2"N2 N1"N2 N1"Np N2"Np
Pręt
[m] [kN] [-] [-] [m] [m] [m] [kNm] [kNm]
D1 2,8 19,5 1 0 2,8 0 0 54,6 0
D2 2,8 12 1 -0,707 2,8 1,4 -1,98 33,6 -23,755
G1 2,8 -19,5 -1 -0,707 2,8 1,4 1,98 54,6 38,602
G2 2,8 0 -1 0 2,8 0 0 0 0
G3 2,8 0 -1 0 2,8 0 0 0 0
K1 3,96 -27,577 -1,414 0 7,916 0 0 154,416 0
K2 3,96 10,607 0 1 0 3,96 0 0 42,004
K3 3,96 0 0 -1 0 3,96 0 0 0
K4 3,96 16,971 1,414 0 7,916 0 0 95,028 0
K5 3,96 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 2,8 7,5 0 -0,707 0 1,4 0 0 14,848
S2 2,8 -6,5 1 -0,707 2,8 1,4 -1,98 -18,2 12,869
S3 2,8 -12 -1 0 2,8 0 0 33,6 0
S4 2,8 -11 0 0 0 0 0 0 0
35,44 13,52 -1,98 407,64 84,57
StÄ…d
= 35,44
= = -1,98
= 13,52
= 407,64
= 84,57
38
" Rozwiązanie układu równań.
´ X + ´ X + ´ = 0
´ X + ´ X + ´ = 0
" Podstawiam wyliczone współczynniki równania.
35,44 " X - 1,98 " X + 407,64 = 0
-1,98 " X + 13,52 " X + 54,87 = 0
" Po wykonaniu kolejnych działań, otrzymałem:
= - ,
= - ,
4.9Wyznaczenie reakcji podporowych na podstawie zasady superpozycji.
)
RA=R(P)+R(1)·X1+R(2) = 19,5 + 1 " (-11,83 = 7,67 kN
A A A
(1)
RB=R(P)+RB ·X1+R(2)·X2=6,5+(-1) " ( - 11,83) = 18,33 [kN]
B B
(1)
HB=H(P)+HB ·X1+H(2)·X2= -12 + (-1) " ( - 11,83) = -0,17 [kN]
B B
(1)
)
RC=R(P)+RC ·X1+R(2)·X2=1 " (-11,83 = -11,83[kN]
C C
39
Kontrola statyczna:
X= 0 Y= 0 MB=0
HB + RC - P2 = 0 RA + RB - P1 - P3 = 0 RA " 5,6 - P1 " 2,8 - " 5,6
0,17 + 11,83 - 12 = 0 7,67 + 18,33 - 15-11 = 0 - " 5,6 = 0
0 = 0 0 = 0 7,67 " 5,6 - 15 " 2,8 - 12 " 5,6
+ 11,83 " 5,6 = 0
0 = 0
4.10 Obliczenie siły w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej korzystając
z zasady superpozycji.
= + " + "
pręt Np [kN] N1 [-] N2 [-] X1 [kN] X2 [kN] N [kN]
D1 19,5 1 0 7,67
D2 12 1 -0,707 4,32
G1 -19,5 -1 -0,707 -3,52
G2 0 -1 0 11,83
G3 0 -1 0 11,83
K1 -27,577 -1,414 0 -10,85
K2 10,607 0 1 4,74
-11,83 -5,87
K3 0 0 -1 -5,87
K4 16,971 1,414 0 0,24
K5 0 0 0 0
S1 7,5 0 -0,707 11,65
S2 -6,5 1 -0,707 -14,18
S3 -12 -1 0 -0,17
S4 -11
-11 0 0
40
4.11Wykres sił normalnych.
41
4.12 Przeprowadzenie sprawdzenia w węzle nr 3.
= 0
( ) ( ) ( )
+ cos 45° + cos 45° - cos 45° = 0
( ) ( )
-3,52 + 0,24 cos 45° + 4,74 cos 45° = 0
-1,3 " 10 H" 0 = 0
= 0
( ) ( )
+ sin 45° - - cos 45° = 0
( ) ( )
11 + 0,24 sin 45° - 14,18 + 4,74 cos 45° = 0
0,03 H" 0 = 0
42
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Projekt pracy aparat ortodontyczny ruchomyProjekt mgifprojekt z budownictwa energooszczednego nr 3prasa dwukolumnowa projekt4 projektyCuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)Projektowanie robót budowlanych w obiektach zabytkowychPROJEKT FUNDAMENTOWANIE 22012 Projektywięcej podobnych podstron