n
MAT URY KATOWICE BIELSKO-BIAA
A
EGZAMIN DOJRZAA
OÅšCI z matematyki
Maturzysto, sprawdz
, jak napisałeś
9
Zadanie 1. (1a, 1b  10 pkt., 1c  2 pkt.) b) x2  2mx + 2m2  m  2 = 0
bocznymi tego ostrosłupa jest równy 
16
"*#0 (1)
Å„Å‚
Dana jest funkcja f(x) = x2  2mx + 2m2  m  2.
a) Oblicz objÄ™tość i pole powierzchni caÅ‚kowitej ostrosÅ‚upa. òÅ‚
a) Dla m = 1 podaj postać kanoniczną funkcji f. Wykres funkcji f prze-
-1)2 + (x2 -1)2 d" 4
(2)
b) Wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od jego ściany ół(x1
kształcono symetrycznie względem początku układu współrzędnych
bocznej.
otrzymując wykres funkcji g. Podaj zbiór wartości funkcji g oraz wy- (1)
- 4m2 + 4m + 8*#0
Zadanie 5. (10 pkt.)
znacz największą i najmniejszą jej wartość
Ze zbioru {-2, -1, 0, 1, 2} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie
m "(-1; 2)
liczby x i y. Niech A, B, C będą następującymi zdarzeniami:
w przedziale - 2 2, 3
A  iloczyn wylosowanych liczb nie jest liczbÄ… ujemnÄ…,
(2)
b) Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=0 ma różne
(x1 -1)2 + (x2 -1)2 d" 4
B  liczby x i y spełniają warunek x d" y +1
d"
pierwiastki x1,x2 spełniające warunek (x1 1)2 + (x2 1)2 4?
c) Wyznacz wszystkie liczby całkowite m, dla których f(m) jest
(x1 + x2 )2 - 2x1x2 - 2(x1 + x2 ) d" 2
C  punkt o współrzędnych (x,y) należy do trójkąta o wierzchołkach
kwadratem liczby całkowitej.
K = (0,  4), L = (2, 2), M = ( 2,2). Oblicz prawdopodobieństwo
x1 + x2 = 2m
zdarzeń: A, B, C A B
Zadanie 2. (10 pkt.)
x1 Å" x2 = 2m2 - m - 2
Punkty A = (1,2) i C = (3,4) są przeciwległymi wierzchołkami rombu
ODPOWIEDZI
ABCD. Wierzchołek B rombu należy do prostej o równaniu x  3y 
m e" 1
1 = 0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu. Oblicz ZADANIE 1.
pole rombu ABCD oraz długość promienia okręgu opisanego na f(x) = x2  2mx + 2m2  m  2
m "(-1,2) '" m e" 1 Ô! m ")#1,2)
trójkącie ABC. a) dla m = 1; f(x) = x2  2 x  1 postać kanoniczna: f(x) = (x-1)2  2
c) f(m) = m2  m  2
Zadanie 3. (10 pkt.)
m2  m  2 = a2; gdzie m,
a "C
Ciąg (an) określony jest wzorem an=n2 + n. Zbadaj na podstawie
definicji monotoniczność ciągu (an).
a) Wyrazy drugi i trzeci ciągu (an) są odpowiednio równe trzeciemu
m2 - m - 2 - a2 = 0
i drugiemu wyrazowi ciągu geometrycznego (bn). W  wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g, W = ( 1,2).
-1" - 2 2; 3
" = 4a2 + 9
a
2
?
Który wyraz ciągu (bn) jest równy liczbie zatem funkcja g przyjmuje w danym przedziale wartość największą
" > 0
dla każdego
a "C
a3 + 2a1
2 dla x =  1
b) Wyrazy czwarty i piąty ciągu (an) są odpowiednio równe
g( 2 2 ) = 4 2 - 7
trzynastemu i osiemnastemu wyrazowi ciÄ…gu arytmetycznego (cn).
Wyznacz wszystkie wyrazu ciągu (cn) , które spełniają warunek
g( 3) = -2 - 2 3
2 2
c2 n  cn+3 < 36
g(-2 2 )*#g( 3)
1- 4a2 + 9 1+ 4a2 + 9
m1 = , m2 =
Zadanie 4. (10 pkt.) więc wartością najmniejszą funkcji g w podanym przedziale jest
2 2
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędz
boczna ma
- 2 - 2 3
długość 10, a kosinus kąta między sąsiednimi ścianami
GAZETA WYBORCZA KATOWICE n BIELSKO-BIAA
A Czwartek 13 maja 2004 www.gazeta.pl/katowice
8 KAL, BBL
U
n
KATOWICE BIELSKO-BIAA
A MAT URY
Jeżeli
m1,m2 "C
to istnieje takie, że 4a2+9=c2 an+1 - an = 2n + 2
c "C
"SOC
Z tw. Pitagorasa dla
2
4a  c2 =  9
H = 28 = 2 7
(2a c)(2a+c)= 9
Ponieważ a i c są liczbami całkowitymi, to (2a c) i (2a+c) też są zatem (an) jest ciągiem rosnącym
288 7
całkowite.
V = [j3]
a) (bn)  ciÄ…g geometryczny
3
Å„Å‚2a - c = -1 - c = 1
Å„Å‚2a Pc= 336 [j2]
b3 = a2 = 6
òÅ‚2a + c = 9 lub òÅ‚2a + c = -9
b2 = a3 = 12
ół ół
b)
b3 1
q = =
b2 2
Å„Å‚2a - c = 3
Å„Å‚2a - c = -3
lub
òÅ‚2a + c = -3 lub òÅ‚2a + c = 3
b1 = 24
ół ół
n-1
1
bn = 24 Å"ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Å„Å‚2a - c = 9
Å„Å‚2a - c = -9
2
lub íÅ‚ Å‚Å‚
lub
òÅ‚2a + c = -1 òÅ‚2a + c = 1
a2 3
ół ół
=
a3 + 2a1 8
Po rozwiązaniu układów równań otrzymujemy, że dla n-1
1 3
spełnione są warunki zadania.
24 Å"ëÅ‚ öÅ‚ =
m "{- 2,-1,2,3} ìÅ‚ ÷Å‚
2 8
íÅ‚ Å‚Å‚
n = 7
ZADANIE 2. b) (cn)  ciÄ…g arytmetyczny
c13 = a4 = 20
A(1,2) C (3,4) romb ABCD
1 1
c18 = a5 = 30
B " l : x - 3y -1 = 0 Ò! B = (x; x - )
3 3
c18 - c13 = 5r
"SOS1 ~ "SS2S3
r = 2
c1 = -4 8 2 7
=
6 2x
cn= 2n - 6
2 2 3 7
(c2 n) -(cn+3) < 36
x =
4
c2n = 4n - 6
ZADANIE 5.
cn+3 = 2n
{ 2,  1, 0, 1, 2}
&! = {(x, y): x, y "{- 2,-1,0,1,2}}
12n2 - 48n < 0
n(n - 4) < 0 '" n " N \ {}
0
&! = 25
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, więc
n "{,2,3}
1
korzystamy z definicji klasycznej prawdopodobieństwa.
c1 = -4; c2 = -2; c3 = 0
A = {(x, y); x Å" y e" 0 '" x, y "{- 2,-1,0,1,2}}
S  środek
AC
ZADANIE 4.
A = 17
17
c = 10 P(A) =
25
9
B = {(x, y): x d" y +1'" x, y "{- 2,-1,0,1,2}}
cosÄ… = -
16
B = 19
19
P(B) =
25
K = (0,-4), L = (2,2), M = ( 2,2)
pr ML : y = 2
x = 4
pr KL : y= 3x  4
y = 1 B = (4,1)
pr KM : y =  3x  4
D = T (C), BA = [- 3,1]

C = {(x, y): x, y "{- 2,-1,0,1,2}'" y d" 2 '" y e" 3x - 4 '" y e" -3x - 4}
BA
D=(0,5) a)
1
,
Pole rombu ABCD V = Pp Å" H
Pc = Pp + Pb
3
C = 15
AC Å" BD
15 3
PABCD =
z tw. cosinusów dla "BED
P(C) = =
2
25 5
A')"B = {(- 2,1);(- 2,2);(-1,1);(-1,2)}
AC = 2 2
9
öÅ‚
a2 = b2ëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚ A')"B = 4
16
BD = 4 2 íÅ‚ Å‚Å‚
4
5
(P(A')"B)) =
a = b a>0, b>0
PABCD = 8[j2]
25
4
R  promień okręgu opisanego na trójkącie ABC
BARBARA CZUCZEA
O, BOŻENA SPYRA,
DANUTA SZCZEREKIII LO W KATOWICACH
AB Å" AC Å" BC
R =
4P"ABC
1
P"ABC = PABCD = 4
Å„Å‚
2
5
a = b
ôÅ‚
5 2 4
ôÅ‚
R =
ôÅ‚1 1
4
ah = cb
òÅ‚
ôÅ‚2 2
ZADANIE 3.
ôÅ‚
a2
h = c2
ôÅ‚ -
an = n2 + n
4
ół
a = 12
an+1 = n2 + 3n + 2
h = 8
an+1
badamy znak różnicy - an
www.gazeta.pl/katowice Czwartek 13 maja 2004 GAZETA WYBORCZA KATOWICE n BIELSKO-BIAA
A
KAL, BBL 7