Szeregi potęgowe: odpowiedzi, rozwiązania, wskazówki
Uwaga: Przez D oznaczono zbiór tych x " R, dla których rozważany szereg potęgowy jest zbieżny.
Zadanie 1

1
1.1 D = [-5, 5] 1.2 D = [-2, 0] 1.3 D = (-3, 3] 1.4 D = [0, 2) 1.5 D = -1,
3 3
3 5
1.6 D = , 1.7 D = (0, 1] (Wsk. możesz podstawić t = 1 - 2x)
2 2

3
1.8 D = (-8, 0) 1.9 D = {0} 1.10 D = -9, 1.11 D = (-3, 3)
2 2
" "
1.12 D = (5 - 7, 5 + 7) 1.13 D = [7, 9) możesz podstawić t = (x - 8)3)
(Wsk.
" "
-2 3-4 2 3-4
1.14 D = [-2, 2) 1.15 D = , (Wsk. możesz podstawić t = (3x + 4)2)
3 3
Zadanie 2

2
x0 = -2, R = , D = -8, -4
3 3 3
Zadanie 3


" "
"

x 1-x2
3.1 D = (-1, 1), S(x) = (-1)n(2n + 1)x2n = (-1)n x2n+1 = (-1)nx2n+1 = =
1+x2 (1+x2)2
n=0 n=0 n=0
3.2 D = (-1, 1]
x x x x
" " " "


1
S(x) = (-1)n x2n+1 = (-1)n t2ndt = (-1)nt2ndt = (-t2)ndt = dt = arc tg x
2n+1 1+t2
n=0 n=0 n=0 n=0
0 0 0 0

4 4
3.3 D = -4, , S(x) = ln (Wsk. rozwiÄ…zuje siÄ™ jak zadanie 3.2)
3 3 4-3t
1
3.4 D = (-1, 1), S(x) = (Wsk. rozwiÄ…zuje siÄ™ jak zadanie 3.1)
(1-x)2


" " "
"

x2 2
3.5 D = (-1, 1), S(x) = n(n + 1)xn-1 = ((n + 1)xn) = xn+1 = xn+1 = =
1-x (1-x)3
n=1 n=1 n=1 n=1

4 4 1
3.6 D = - , , S(0) = , zaÅ› dla x = 0 mamy

5 5 2
" " "


5n 1 5n 1 5n
S(x) = (n + 2)xn = (n + 2)xn+1 = xn+2 , a dalej, jak w zadaniu 3.1. Otrzymujemy
4n+1 x 4n+1 x 4n+1
n=0 n=0 n=0
8-5x
S(x) =
(4-5x)2

x x x
" " " " "


3 3 3n 1
3.7 D = - , , S(x) = x2n+1 = 3n t2ndt = (3t2)ndt = dt
3 3 2n+1 1-3t2
n=0 n=0 n=0
0 0 0

"
1 1 1 1 1 1+
" " " "3 x
Ponieważ = · + , otrzymujemy S(x) = ln
1-3t2 2
2 3 1- 3 x
1- 3 t 1+ 3 t
" "
2 5
3.8 D = -2 5, , S(0) = 3, zaÅ› dla x = 0 mamy

5 5

" " "
5 n 5 n 1 " 5 n

5n 1 1
S(x) = (2n + 3)x2n = (2n + 3)x2n+2 = x2n+3 = x2n+3 =
4n x2 4 x2 4 x2 4
n=0 n=0 n=0
n=0
1 4x3 48-20x2 5
= · = (różniczkowany szereg jest geometryczny, a jego iloraz wynosi q = x2)
x2 4-5x2 (4-5x2)2 4

x x
" " "


(-1)n (-1)n (-1)n
1 1 1
3.9 D = [-1, 1], S(x) = xn+1 = tndt = tn dt.
x n(n+1) x n x n
n=1 n=1 n=1
0 0
Sumę pod całką liczymy oddzielnie.
" "
t t " t -1

(-1)n
tn = (-1)n un-1 du = (-1)nun-1 du = du = - ln |1 + t|
n 1+u
n=1 n=1 n=1
0 0 0
x

(1+x) ln(1+x)
1
StÄ…d S(x) = (- ln |1+t|) dt = 1- dla x = 0 i S(0) = 0. (Uwaga: sprawdz
, że S jest ciągła w zerze!).

x x
0
Zadanie 4
Wprowadzamy funkcję pomocniczą S(x) tak, aby szukana suma szeregu S była równa S(x) dla pewnej wartości
x. Sumę S(x) można wyznaczyć metodami, opisanymi w poprzednim zadaniu.
" "

1 n+1 16
4.1 D = (-1, 1), S(x) = (n + 1)xn = , stÄ…d S = S(1) = =
(1-x)2 4 4n 9
n=0 n=0
" "
3 n 5

(-1)n (-1)n
1
4.2 D = (-1, 1], S(x) = xn = ln , stÄ…d S = S(3) = = ln
n 1+x 5 n 5 8
n=1 n=1
" "

(-1)n
1-x2 72
4.3 D = (-1, 1), S(x) = (-1)n(2n + 1)x2n = , stÄ…d S = S(1) = (2n + 1) =
(1+x2)2 3 9n 100
n=0 n=0
" " "

2x-x2 n+2 45
4.4 D = (-1, 1), S(x) = (n + 2)xn+1 = , stÄ…d S = = 5 (n + 2)5 1 = 5 · S(1) =
n+1
(1-x)2 5n 5 16
n=0 n=0 n=0
" "

xn 1 1 7
4.5 D = [-1, 1), S(x) = = ln , stÄ…d S = S(1) = = ln
n 1-x 7 n7n 6
n=1 n=1
" " "

n(n+1) n(n+1)
2x2 8
4.6 D = (-1, 1), S(x) = n(n + 1)xn+1 = , stÄ…d S = S(-1) = = =
(1-x)3 4 (-4)n+1 (-4)n+1 125
n=0 n=0 n=0