Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2008
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
1. Podanie dziedziny wyraŻenia: x!- 2 i x!6.1
Skorzystanie z w"asnoĘci wartoĘci bezwzgl´dnej i doprowadzenie wyraÅ»enia 1
2
2
do postaci: _x - 2i - 16 $ .
x2 - 4x - 12
Zastosowanie wzoru skróconego mnoŻenia i przekszta"cenie wyraŻenia 1
2
do postaci: x2 - 4x - 12 $ .
x2 - 4x - 12
Doprowadzenie wyraŻenia do najprostszej postaci: 2.1
2. Przekszta"cenie równania do postaci uporządkowanej: x2 + (m + 3) x - 9 = 0.1
Zapisanie warunku, przy którym równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: 1
" H 0 i stwierdzenie, Że m ! R.
2
2 2
Przekszta"cenie warunku x1 + x2 + 3x1 x2= 0 do postaci: x1+ x2 + x1 x2= 0.1
_ i
2 2
Zastosowanie wzorów Viete a: x1+ x2 + x1 x2=`-_m + 3ij - 9 = m2 + 6m = 0. 1
_ i
Rozwiązanie równania kwadratowego i podanie odpowiedzi: m = 0 lub m =- 6. 1
2
2
3 + 1
` j
3 4 + 2 3 2 + 3
1
3. Zapisanie liczby a w postaci: a = + = = = .1
f
2 2p 4 4 2
3 2 - 3
Zapisanie liczby b w postaci: b = 1 - = .1
2 2
Przedstawienie wielomianu w postaci iloczynowej: W (x) = x 4x2 - 8x + 1 .1
ak
Rozwiązanie równania kwadratowego i podanie pierwiastków wielomianu: 1
2 - 3 2 + 3
x1= 0, x2= , x3= .
2 2
Stwierdzenie, Że liczby a i b są pierwiastkami wielomianu.
4. Zastosowanie w"asnoĘci ciągu geometrycznego i zapisanie równania: 1
2
x2 + 3x = (x + 3)(11x - 2).
a k
Przekszta"cenie równania do postaci iloczynowej: 1
(x + 3)(x3+ 3x2 - 11x + 2) = 0
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
Skorzystanie z twierdzenia Bezouta i obliczenie ilorazu wielomianu 1
x3+ 3x2 - 11x + 2 przez dwumian x - 2: x2 + 5x - 1.
-5 - 29 -5 + 29
Rozwiązanie równania x2 + 5x - 1: x = lub x = .1
2 2
Sprawdzenie rozwiązał
z warunkami zadania i zapisanie odpowiedzi: x = 2. 1
5. ZauwaŻenie, Że jednym z rozwiązał
jest prosta o równaniu x = 0. 1
Zapisanie równania prostej l przechodzącej przez początek uk"adu
wspó"rz´dnych w postaci kierunkowej i przekszta"cenie go do postaci ogólnej: 1
-ax + y = 0.
Zapisanie odleg"oĘci prostej l od punktu A oraz odpowiedniego równania:
-a$_-3i+ 1$_-4i+ 0
1
= 3.
2
_-ai + 12
Doprowadzenie równania do postaci: 3$ a2 + 1 = 3a - 4 .1
7
Rozwiązanie równania i zapisanie równania prostej: - x + y = 0.1
24
6. SporzÄ…dzenie rysunku wraz z oznaczeniami: 1
DC
F
E
A B
G
Wykorzystanie równoĘci pól figur do obliczenia wysokoĘci trójkąta 1
CBF: BG = 12.
Wykorzystanie równoĘci pól do obliczenia wysokoĘci trapezu ABFE: FG = 3. 1
Obliczenie d"ugoĘci odcinka BF : BF = 3 17.1
Obliczenie d"ugoĘci odcinka BC : BC = 15.1
Obliczenie obwodu: Obw. = 48 1
19 17
Obliczenie cosinusa ]CBF: ]CBF = .1
85
7. Zastosowanie wzoru sin2 x + cos2 x = 1 do zapisania równania w postaci: 1
2 1 - sin2 x = 3 sin x i przekszta"cenia równania do postaci uporządkowanej:
ak
2 sin2 x + 3 sin x - 2 = 0.
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
Przekszta"cenie równania trygonometrycznego do postaci równania 1
kwadratowego: np. 2t2 + 3t - 2 = 0, gdzie t = sin x i t ! (01).
,
1
Rozwiązanie równania kwadratowego: sin x =- 2 lub sin x =
2.1
Uwzgl´dnienie za"oÅ»eÅ‚
i zapisanie rozwiązania równania trygonometrycznego: 1
r
x = .
6
8. Zapisanie drugiego, trzeciego i piÄ…tego wyrazu ciÄ…gu za pomocÄ… wyrazu 1
pierwszego i róŻnicy: a2= a1+ r, a3= a1+ 2r, a5= a1+ 4r.
a1 a1+ 2r
Zapisanie równania w postaci: = 1
a1+ ra1+ 4r.
Przekszta"cenie równania do postaci: a1r - 2r2= 0.1
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: r = 0 i ą1! R #0-j1
lub Ä…1= 2r i r ! R #0-j.
9. Wprowadzenie oznaczeł
: np. h  wysokoĘç trójkÄ…ta równoramiennego 1
odpowiadająca bokowi d"ugoĘci 6, r  promieł
okr´gu wpisanego w trójkÄ…t
równoramienny, hb  wysokoĘç Ęciany bocznej ostros"upa.
Obliczenie wysokoĘci trójkąta równoramiennego odpowiadającej bokowi 1
d"ugoĘci 6: h = 4.
3
Obliczenie promienia okr´gu wpisanego w trójkÄ…t ABC: r = cm.1
2
5
Obliczenie wysokoĘci Ęciany bocznej ostros"upa: hb= cm.1
2
Obliczenie pola powierzchni ca"kowitej ostros"upa: 32cm2.1
10. Wykorzystanie wzoru na liczb´ permutacji bez powtórzeÅ‚
zbioru 1
(x - 2)-elementowego oraz (x - 1)-elementowego i zapisanie:
P(x - 2)= (x - 2)!, P(x - 1)= (x - 1)!
Wykorzystanie wzoru na liczb´ 2-elementowych wariacji bez powtórzeÅ‚
1
zbioru x-elementowego i zapisanie:
2
x!
V =
x
_x - 2i!
Zapisanie równania w postaci: 1
x!
_x - 2i!$ = 10$_x - 1i!
_x - 2i!
Rozwiązanie równania: x = 10.1
x + 1
3
11. Zapisanie wzoru funkcji g: g (x) = + 2.1
c2m
www. operon. pl
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
Narysowanie wykresu funkcji g: 1
Y
5
x + 1
3
4
g(x) =  + 2
( )
2
3
2
1
 5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 X
 1
 2
Wskazanie najwi´kszej liczby m, dla której równanie g (x) = m nie ma rozwiÄ…zania: 1
m = 2.
www. operon. pl
4