JEDNORAZOWA SA
ADKA NETTO (w ubezpiecze-
niach na życie)
Rozpatrzymy ubezpieczenia w których osoba w wieku x, wy-
kypuje polisę, gdzie świadczenie, o stałej wysokości, wypła-
cane jest na koniec roku w którym nastąpiła śmierć tej osoby.
1
...
Liczbę pełnych lat, jaka upłynęła od roku w którym była za-
warta polisa, do śmierci ubezpieczonego, oznaczać będziemy
przez K:
dx+k
P (K = k) = ,
lx
gdzie k = 0, 1, 2 . . ...
2
1. Dożywotnie ubezpieczenie na życie  jest to ubezpie-
czenie w którym świadczenie o stałej wysokości jest wypła-
cane dożywotnio, na końcu roku w którtym nastąpiła śmierć
ubezpieczonego.
Rozpatrzmy ubezpieczenie w którym wysokość świadczenia
jest równa 1. Wartość bieżąca wypłaty wynosi więc
Z = vK+1
i jest to zmienna losowa.
3
Jednorazowa składka netto za to ubezpieczenie jest ozna-
czana symbolem Ax i wynosi:
Ax = E(Z) = vP (K = 0)+v2P (K = 1)+v3P (K = 2)+. . . =
dx dx+1 dx+2
= v + v2 + v3 + . . . =
lx lx lx
vx+1dx + vx+2dx+1 + vx+3dx+2 + . . . Mx
= = ,
vxlx Dx
gdzie:
Dx = vxlx, Mx = vx+1dx + vx+2dx+1 + vx+3dx+2 + . . .
4
Przykład. Mając dane M20 = 1958, M40 = 1460, D20 =
29989 i D40 = 9054, przy stopie i = 0, 06, oblicz jenorazową
składkę netto w ubezpieczeniu dożywotnim, wypłacającym
1000$, dla osoby w wieku 20 lat i 40 lat.
Mamy:
M20 1958
A20 = 1000 = 1000 = 1000 � 0, 0653 = 65, 3$
D20 29989
M40 1460
A40 = 1000 = 1000 = 1000 � 0, 1613 = 161, 3$
D40 9054
5
...
2. Terminowe ubezpieczenie na życie  jest to ubezpie-
czenie w którym świadczenie wypłacane jest, gdy ubezpie-
czony umrze w ciągu n lat od zawarcia polisy, na koniec roku
w którym nastąpiła śmierć.
6
Rozpatrzmy ubezpieczenie w którym wysokość świadczenia
jest równa 1. Jednorazowa składka netto za to ubezpieczenie
jest oznaczana symbolem A i wynosi:
x:n|
dx dx+1 dx+2 dx+n-1
A = v + v2 + v3 + . . . + vn =
x:n|
lx lx lx lx
Mx - Mx+n
= .
Dx
7
Przykład. Mając dane M20 = 1958, M30 = 1695, M40 =
1460, M50 = 1210, D20 = 29989 i D40 = 9054, przy stopie
i = 0, 06, oblicz jenorazową składkę netto w ubezpieczeniu
terminowym na okres 10 lat wysokości 1000PLN, na życie
dla osoby w wieku 20 lat i 40 lat, przy technicznej stopie
i = 0, 06, wynosi:
M20 - M30 1958 - 1695
A20:10| = 1000 = 1000 = 8, 77$
D20 29989
M40 - M50 1460 - 1210
A40:10| = 1000 = 1000 = 27, 61$.
D40 9054
8
ZADANIA
1. Korzystając z polskich tablic życia na rok 2004, oblicz
dla kobiet i mężczyzn prawdopodobieństwa: p25, p30,
10 10
p20, p40.
60 30
2. Korzystając z polskich tablic życia na rok 2004, wyznacz
dla kobiety i mężczyzny w wieku 40 lat, jednorazową składkę
netto w 2 letnim terminowym ubezpieczeniu, wypłacającym
10 000PLN na koniec roku w którym nastąpiła śmierć. Przyj-
mij stopę techniczną i = 0.05.
3. Mając dane M25 = 1820 i D25 = 22286, oblicz jednora-
zową składkę netto dla osoby w wieku 25 lat, w ubezpieczeniu
dożywotnim, wypłacającym 1000 zł na koniec roku w którym
nastąpiła śmierć.
9