Twierdzenia graniczne oraz statystyki z prób
Współautorką poni\
szych
Współautorką poni\
szych
slajdów jest
dr Katarzyna Kocot-Górecka
Twierdzenia graniczne
" W twierdzeniach tych rozpatruje się ciągi zmiennych
losowych {Xn}, których rozkłady  przy wzroście
wskaz
nika n do nieskończoności  mogą być zbie\
ne do
pewnego rozkładu.
" Taki rozkład jest nazywany rozkładem granicznym
" Taki rozkład jest nazywany rozkładem granicznym
(asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {Xn}.
" Twierdzenia graniczne formułują warunki, przy
zachowaniu których dla ciągu zmiennych losowych
istnieje asymptotyczny rozkład, oraz określają, jaka jest
postać tego rozkładu.
Twierdzenia graniczne
" Wśród twierdzeń granicznych wa\
ną rolę odgrywają
twierdzenia o rozkładach granicznych sum niezale\
nych
zmiennych losowych, w tym o zbie\
ności dystrybuant
standaryzowanych sum niezale\
nych zmiennych losowych
do dystrybuanty rozkładu normalnego.
" Poza twierdzeniami o zbie\
ności do rozkładu normalnego
istotne znaczenie mają tzw. prawa wielkich liczb, w
których rozkładem granicznym jest rozkład jednopunktowy.
Twierdzenia graniczne
Zbie\
ność stochastyczna
Mówimy, \
e ciąg zmiennych losowych {Xn} jest
stochastycznie zbie\
ny do stałej c, jeśli dla
dowolnego � > 0 spełniona jest zale\
ność:
lim P(| Xn - c|< �) = 1
n"
Oznacza to, \
e prawdopodobieństwo zdarzenia |Xn  c|< � wzrasta do 1
Zbieżność stochastyczna
np. Xn = częstość wyrzuconych
orłów w n rzutach jedną monetą
lim P(| Xn - c|< �) = 1
n"
" Poza twierdzeniami o zbie\
ności do rozkładu normalnego istotne znaczenie mają
tzw. prawa wielkich liczb, w których rozkładem granicznym jest rozkład
jednopunktowy.
" Rozkład zmiennej losowej Xn zmierza do rozkładu jednopunktowego, rozkład
jednopunktowy jest zatem jej rozkładem granicznym
Prawo wielkich liczb Bernoulliego
Jacob Bernoulli
(1654-1705)
Ciąg zmiennych losowych {Xn} o rozkładzie
określonym wzorem
n
�ł �ł
k
�ł
n-k
P�ł X = = �ł �ł pk (1- p)
�ł �ł
�łk �ł
n
n
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�łk łł
jest stochastycznie zbie\
ny do wartości parametru p
(prawdopodobieństwa sukcesu), tzn.:
lim P(| Xn - p|< �) = 1
n"
Integralne twierdzenie graniczne 
Pierre Simon de Laplace
Abraham de Moivre
Twierdzenie de Moivre`a -
(1749-1827)
(1667-1754)
Laplace`a
Niech {Xn} będzie ciągiem zmiennych losowych o
rozkładzie dwumianowym z parametrami n i 0niech {Un} będzie ciągiem wystandaryzowanych zmiennych
niech {Un} będzie ciągiem wystandaryzowanych zmiennych
Xn :
Xn - np
Un = ,
npq
" Wniosek 1
Ciąg zmiennych losowych {Xn} o rozkładzie
dwumianowym z parametrami n i p jest zbie\
ny
do rozkładu normalnego
N(np; npq)
" Wniosek 2
" Wniosek 2
X
Xn
ńł �ł
ńł �ł
�ł
Jeśli rozpatrzymy ciąg zmiennych żł , to z
n
ół �ł
twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a wynika, \
e
zmienna ta ma asymptotyczny rozkład
normalny
N(p, pq | n)
ROZKA
AD DWUMIANOWY
Deska Galtona (Francis Galton 1822-1911)
Przykład eksperymentalnego dowodu centralnego twierdzenia granicznego.
Ilustruje sposób powstawania w naturze rozkładu normalnego pod wpływem
drobnych losowych odchyleń.
Kulki spadając odbijają się od gwoz
dzi
wbitych w deskę. Prawdopodobieństwo
odbicia kulki od gwoz
dzia w lewo lub w
prawo jest jednakowe (0,5), czyli
prawo jest jednakowe (0,5), czyli
poszczególne zdarzenia podlegają
rozkładowi dwumianowemu (zwanemu
też rozkładem Bernouliego). Kulki
wpadając do przegródek tworzą histogram
rozkładu, który jest prawie równy
rozkładowi normalnemu.
Twierdzenie de Moivre`a - Laplace`a
Wniosek 1
Prawdopodobieństwo wyprodukowania detalu pierwszej jakości w pewnym
zakładzie wynosi 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e wśród losowo
wziętych 200 detali będzie więcej ni\
130 pierwszej jakości?
" X200  zmienna o rozkładzie dwumianowym n=200 p=0,6
" X  graniczny rozkład normalny
" X200  graniczny rozkład normalny
N(np; npq)
N(np; npq)
E(X200)=n*p=200*0,6=120;
D(X200)=
Twierdzenie de Moivre`a - Laplace`a
Wniosek 2
Prawdopodobieństwo wyprodukowania detalu pierwszej jakości w pewnym
zakładzie wynosi 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e wśród losowo
wziętych 200 detali będzie więcej nie więcej ni\
50 % pierwszej jakości?
X200  zmienna o rozkładzie dwumianowym n=200 p=0,6
w
w
w=X200 /n  częstość sukcesów, jej graniczny rozkład to:
N(p, pq | n)
czyli, N(0,6; 0,035)
P(w<0,5)=
Centralne twierdzenie graniczne
Lindeberga-Levy`ego
Paul Levy
J.W.Lindeberg
(1886-1971)
(1876-1932)
Jeśli {Xk} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
jednakowych rozkładach
" identycznych wartościach oczekiwanych E(Xk)=E(X) oraz
" identycznych i skończonych wariancjach D�(Xk)=D�(X),
" identycznych i skończonych wariancjach D�(Xk)=D�(X),
to ciąg dystrybuant {Fn(t)} zmiennych losowych T jest określonych
wzorem
Zn - nE(X )
Tn =
D(X ) n
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy`ego
Wniosek 1
Zmienna losowa Zn określona wzorem
ma asymptotyczny rozkład normalny
Wniosek 2
Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych Zn rozpatrzymy
Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych Zn rozpatrzymy
zmienną o wartości oczekiwanej i
oraz wariancji
To z twierdzenia L-L otrzymujemy, że ciąg zmiennych {Vn}
jest zbieżny do rozkładu normalnego