Analiza I R
egzamin przykładowy
Zadanie 1. Niech (Fn)n"N będzie ciągiem niepustych zbiorów zwartych, takich, że dla każdego

n " N zachodzi zawieranie Fn+1 ‚" Fn. Udowodnić, że Fn = ".

n"N
Zadanie 2. Udowodnić, że dla x > 0 zachodzi nierówność
x

sin x < .
x2
1 +
3
"
Wskazówka: arc sin x = 1/ 1 - x2.
Zadanie 3. Zbadać zbieżność ciągów:
2
n
n
"
"
1
an = sin n + 1 - sin n, bn = - 1 .
3n
k=1
Zadanie 4. Obliczyć granicę


M
x + 1 dx
lim .
M"
x
2 - 1 x2
Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową, jednostajną i niemal jednostajną szeregu
"

1
f(x) = log(1 + n2x2).
n2
n=1
Udowodnić, że f " C(R), f " C1(R \ {0}), limx0+ f (x) = Ą.
1