Paweł Łukasik

WYZNACZANIE OPORU ELEKTRYCZNEGO ZA POMOCĄ MOSTKA

WHEATSTONE'a

1. Wstęp teoretyczny

a)Opór elektryczny:

Różnica potencjałów między dwoma punktami A i B równa jest stosunkowi pracy jaką muszą wykonać siły pola elektrycznego przy przesuwaniu ładunku z punktu A do punktu B , do wielkości tego ładunku. Jednostką różnicy potencjałów , zwanej napięciem jest
wolt (V). 1 wolt jest to takie napięcie między dwoma punktami, przy którym przesunięcie ładunku 1 kulomba między tymi punktami wymaga pracy sił pola elektrycznego równej 1 dżulowi.

Natężeniem prądu nazywamy stosunek ładunku przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika do czasu przepływu tego ładunku. Jednostką natężenia prądu jest amper (1 A). 1 Amper jest to natężenie takiego prądu, który przepływając przez dwa równoległe, nieskończenie długie przewodniki znajdujące się
w odległości 1 m od siebie w próżni, wywołuje wzajemne oddziaływanie między nimi siłą równą 2*10^-7 N na każdy metr długości. Przy prądzie o natężeniu 1 ampera w czasie 1 sekundy przepływa przez przekrój poprzeczny przewodnika ładunek 1 kulomba.

b)Prawo Ohma:

Zmieniając napięcie na końcach badanego przewodu, łatwo się przekonać, że przy zmianach napięcia ulega też zmianie natężenie prądu przepływającego przez ten przewodnik. Natężenie prądu I jest zazwyczaj wprost proporcjonalne do wartości napięcia U:

I ~ U

a zatem stosunek tych dwóch wielkości jest dla danego przewodnika stały:

Powyższą zależność nazywamy prawem Ohma. Według tego prawa, stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu przepływającego przez ten przewodnik jest dla danego przewodnika stały! Stosunek ten nosi nazwę oporu elektrycznego i jest zwykle oznaczany przez R. Jednostką oporu jest om (1 Ω). Przewodnik ma opór 1 Ω , jeżeli przy różnicy potencjałów na jego końcach wynoszącej 1 V płynie przez niego prąd o natężeniu 1 A.

Opór przewodnika wykonanego z jednolitego materiału o stałym przekroju poprzecznym jest wprost proporcjonalny do długości przewodnika l i odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju S , tzn.:

ρ - jest współczynnikiem proporcjonalności , zależnym od rodzaju materiału , zwanym oporem właściwym

c) Łączenie oporników

Przy łączeniu szeregowym ,natężenie prądu płynącego przez dane przewodniki jest jednakowe w każdym punkcie tych przewodników, natomiast całkowite napięcie U na przewodnikach równe jest sumie napięć U₁ i U₂

U=U₁ + U₂

Oznaczając opory przewodników przez R₁ i R₂ możemy napisać na podstawie prawa Ohma:

Przekształcając ostatnie zależności i dodając je stronami otrzymamy:

U₁ + U₂ = I*(R₁ + R₂)

Czyli:

U=I*(R₁ + R₂)

Gdybyśmy zamiast oporów R₁ i R₂ umieścili pewien opór zastępczy R tak dobrany , że natężenie prądu płynącego przez ten opór pod napięciem U pozostanie równe I ,to stosując prawo Ohma będziemy mogli napisać:

U=I*R

Z dwóch ostatnich równań wynika ,że:

R=R₁ + R₂

Zatem przy łączeniu szeregowym przewodników ich opór wypadkowy równa się sumie poszczególnych przewodników.

Przy łączeniu równoległym jest spełnione równanie I=I₁+I₂ to znaczy, że ładunek elektryczny dopływający w jednostce czasu do punktu A równy jest ładunkowi wypływającemu w jednostce czasu z tego punktu.

Jeżeli różnica potencjałów między punktami A i B wynosi U ,to pisząc prawo Ohma dla każdego przewodnika otrzymamy:

Dodając te równania stronami otrzymujemy:

ponieważ jak podano wyżej I=I₁ + I₂ ,zatem:

Jeżeli zamiast oporników R₁ i R₂ umieścimy pewien opór zastępczy R tak dobrany ,że pod napięciem U będzie przez niego przepływał prąd o natężeniu I , to z prawa Ohma:

Z dwóch ostatnich równań wynika ostatecznie:

2. Zestaw doświadczalny

W obwodzie elektrycznym , przedstawionym powyżej prąd
o natężeniu I płynący z baterii B ulega w punkcie A rozgałęzieniu.

Natężenia prądów w rozgałęzieniach ADE i ACE wynoszą odpowiednio I₁ i I₂.

Obie te gałęzie połączone są gałęzią CD zawierającą galwanometr. Przez gałąź CD płynie prąd bądź nie płynie zależnie od tego , czy
w punktach C i D potencjały są jednakowe czy różne. Przesuwając ruchomy suwak C wzdłuż rozpiętego na skali drutu AE możemy tak dobrać położenie suwaka ,żeby prąd nie płyną przez galwanometr. Wtedy spadek napięcia , na gałęzi AD jest równy spadkowi potencjału na gałęzi AC, który oznaczamy jako U_L .Podobnie równe są spadki potencjału na prawych gałęziach mostka DE i CE ,które oznaczymy jako U_P.

Z prawa Ohma:

Czyli:

Dzieląc stronami powyższe równania otrzymujemy:

Ponieważ drut oporowy na całej długości ma jednakowy przekrój S i opór właściwy ρ , to możemy zapisać:

Ostatecznie:

3. Wykonywane czynności

Zadaniem ćwiczenia jest określenie:

1. Wartości nieznanych oporów R_X i R_Y.

2. Wartości układu oporów R_X i R_Y połączonych szeregowo.

3. Wartości układu oporów R_X i R_Y połączonych równolegle.

W tym celu montujemy układ jak na rys. powyższym. Następnie dla kilku wartości oporu R₀ znajdujemy takie położenie suwaka (punkt C), przy którym galwanometr nie wykazuje przepływu prądu.

Z oceny błędu wynika ,że największą dokładność przy wyznaczaniu oporu uzyskamy, gdy suwak jest położony w pobliżu środka skali. Przy położeniu ,które uważamy za najlepsze, kilkakrotnie włączamy
i wyłączmy prąd w obwodzie za pomocą wyłącznika. Jeżeli to wyłączenie nie powoduje drgań wskazówki galwanometru to mamy pewność ,że przez galwanometr prąd nie płynie. Odczytujemy wtedy na skali długości l₁ i l₂ i podstawiając je do wzoru wyliczmy wartość oporu R_X.

Pomiaru R_X dokonujemy kilkakrotnie (minimum trzy razy), zmieniając za każdym razem wielkość oporu R_O. Za wynik przyjmujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Podobnie wyznaczamy wartość oporu R_Y oraz układów R_X i R_Y połączonych szeregowo i równolegle.

Wszystkie wyniki pomiarów zapisujemy w tabeli wyników.

4. Tabela wyników

Zestaw nr 3:

Opór nieznany	Pomiar	Opór (Ω)	Długość l1 (m)	Długość l2 (m)	Wartość oporu (Ω)	Średnia wartość oporu (Ω)
RX	1	60	0,498	0,502	59,52	59,37
		2	70	0,461	0,539		59,87
		3	80	0,427	0,573		59,61
		4	90	0,396	0,604		59,00
		5	100	0,372	0,628		59,23
		6	110	0,350	0,650		59,23
		7	120	0,330	0,670		59,10
		8	130	0,313	0,687		59,22
		9	140	0,299	0,701		59,71
		10	150	0,283	0,717		59,20

Opór nieznany	Pomiar	Opór (Ω)	Długość l1(m)	Długość l2(m)	Wartość oporu (Ω)	Średnia wartość oporu (Ω)
RY	1	60	0,525	0,475	66,31	66,81
		2	70	0,489	0,511		66,98
		3	80	0,455	0,545		66,78
		4	90	0,426	0,574		66,79
		5	100	0,401	0,599		66,94
		6	110	0,378	0,622		66,84
		7	120	0,357	0,643		66,62
		8	130	0,340	0,660		66,96
		9	140	0,323	0,677		66,79
		10	150	0,309	0,691		67,07

Opór nieznany	Pomiar	Opór (Ω)	Długość l1 (m)	Długość l2(m)	Wartość oporu (Ω)	Średnia wartość oporu (Ω)	Wartość opory wyznaczona ze wzoru (Ω)
RX i RY połączone szeregowo	1	60	0,675	0,325	124,61	125,25	126,18
		2	70	0,641	0,359			124,98
		3	80	0,610	0,390			125,12
		4	90	0,582	0,418			125,31
		5	100	0,557	0,443			125,73
		6	110	0,533	0,467			125,54
		7	120	0,510	0,490			124,89
		8	130	0,491	0,509			125,40
		9	140	0,473	0,527			125,65
		10	150	0,455	0,545			125,22

Opór nieznany	Pomiar	Opór (Ω)	Długość l1 (m)	Długość l2(m)	Wartość oporu (Ω)	Średnia wartość oporu (Ω)	Wartość opory wyznaczona ze wzoru (Ω)
RX i RY połączone równolegle	1	10	0,753	0,247	30,48	31,30	31,43
		2	20	0,608	0,392			31,02
		3	30	0,509	0,491			31,09
		4	40	0,441	0,559			31,55
		5	50	0,289	0,611			31,83
		6	60	0,345	0,655			31,60
		7	70	0,309	0,691			31,30
		8	80	0,281	0,719			31,26
		9	90	0,259	0,741			31,45
		10	100	0,239	0,761			31,25

5. Dyskusja błędu

Dyskusję błędu przeprowadzamy metodą różniczkową , przyjmując l i R₀ za stałe. Błąd pomiaru l₁ zależy nie tylko od dokładności skali , ale i od czułości galwanometru. Za błąd Δl₁ uwarunkowany czułością galwanometru przyjmujemy połowę maksymalnej wielkości

przesunięcia suwaka na które galwanometr jeszcze nie reaguje.

Tak więc:

Maksymalny bład bezwzględny:

gdzie: Δl_{1 max} = 0,03 m.

Badany układ	Numer pomiaru	Błąd bezwzględny Δ	Błąd względny	Błąd względny procentowy
RY	1	0,79778	0,0120	1,20%
		2	0,80422	0,0120	1,20%
		3	0,80801	0,0120	1,20%
		4	0,81948	0,0122	1,22%
		5	0,83611	0,0124	1,24%
		6	0,85296	0,0127	1,27%
		7	0,87072	0,0130	1,30%
		8	0,89531	0,0133	1,33%
		9	0,91637	0,0137	1,37%
		10	0,94244	0,0140	1,40%

Badany układ	Numer pomiaru	Błąd bezwzględny Δ	Błąd względny	Błąd względny procentowy
RX	1	0,71427	0,0120	1,20%
		2	0,72283	0,0120	1,20%
		3	0,73097	0,0122	1,22%
		4	0,74009	0,0125	1,25%
		5	0,76067	0,0128	1,28%
		6	0,78106	0,0131	1,31%
		7	0,80196	0,0135	1,35%
		8	0,82632	0,0139	1,39%
		9	0,85469	0,0143	1,43%
		10	0,87533	0,0147	1,47%
Badany układ	Numer pomiaru	Bład bezwzględny Δ	Błąd względny	Błąd względny procentowy
RX i RY połączone równolegle	1	0,49173	0,0161	1,61%
		2	0,39046	0,0125	1,25%
		3	0,37331	0,0120	1,20%
		4	0,38402	0,0121	1,21%
		5	0,40179	0,0126	1,26%
		6	0,41955	0,0132	1,32%
		7	0,43980	0,0140	1,40%
		8	0,46425	0,0148	1,48%
		9	0,49173	0,0156	1,56%
		10	0,51802	0,0164	1,64%

Badany układ	Numer pomiaru	Błąd bezwzględny Δ	Błąd względny	Błąd względny procentowy
RX i RY połączone szeregowo	1	1,70414	0,0136	1,36%
		2	1,62931	0,0130	1,30%
		3	1,57790	0,0126	1,26%
		4	1,54529	0,0123	1,23%
		5	1,52867	0,0121	1,21%
		6	1,51314	0,0120	1,20%
		7	1,49937	0,0120	1,20%
		8	1,50532	0,0120	1,20%
		9	1,51226	0,0120	1,20%
		10	1,51502	0,0120	1,20%

1

---