Kombinacja.
Kombinacja (pojęcie matematyczne), właściwie kombinacja bez powtórzeń, to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0≤k≤n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".
Dopełnieniem kombinacji z n po k jest kombinacja z n po n-k. Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:
Przykład: Liczba kombinacji 2-elementowych zbioru 4-elementowego A={a, b, c, d} jest równa
. Kombinacjami są podzbiory: {a, b}, {a, c}, {d, a}, {b, c}, {d, b}, {c, d}.
Permutacja
Permutacja, a. permutacja bez powtórzeń - wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie.
Intuicyjnie jest to zwykłe uporządkowanie elementów tego zbioru - ustawienie jego elementów w określonej kolejności.
Zbiór wszystkich permutacji zbioru n elementowego oznaczamy Sn - wraz z działaniem składania funkcji tworzy on grupę permutacji.
Liczba wszystkich permutacji zbioru n elementowego wynosi Pn=n!, gdzie wykrzyknik oznacza silnię. Permutacja jest szczególnym przypadkiem wariacji bez powtórzeń.
Przykład:. Elementy zbioru A = {a, b, c,} można ustawić w ciąg na P3=3!=6 sposobów: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Permutacja z powtórzeniami Niech A oznacza zbiór złożony z k różnych elementów A = {a1, a2, ..., ak}. Permutacją n elementową z powtórzeniami, w której element a1 powtarza się n1 razy, element a2 powtarza się n2 razy, ..., element akpowtarza się nk razy, n1 + n2 + ... + nk = n, jest każdy n-wyrazowy ciąg, w którym elementy a1, a2, ..., ak powtarzają się podaną liczbę razy.
Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi n!/(n1!·n2!· ... nk!)
Przykład: Przestawiając litery b, a, b, k, a można otrzymać 5!/(2!2!1!) = 30 różnych napisów.
Wariacja
Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (k≤n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru, przy czym kolejność tych elementów ma znaczenie. Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:
Przykład: Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 można utworzyć 5!/2!=60 liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach.
Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu).
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa nk.
Przykład: Za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 można zapisać 52=25 liczb dwucyfrowych (niekoniecznie różnocyfrowych!).