Wykład 28

28. Interferencja

1. Doświadczenie Younga

Na wykładzie dotyczącym fal w ośrodkach sprężystych omawiane było nakładanie się fal. Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla światła było pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła.

Young oświetlił światłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór S₀. Przechodzące światło padało następnie na drugi ekran z dwoma otworami S₁ i S₂ i rozchodzą się dalej dwie, nakładające się fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stosowalności optyki geometrycznej nie są spełnione i na szczelinach następuje ugięcie fal. Mamy do czynienia z optyką falową. Jeżeli umieścimy ekran w jakimkolwiek miejscu, tak aby przecinał on nakładające się na siebie fale to możemy oczekiwać pojawienia się na nim ciemnych i jasnych plam następujących po sobie kolejno.

Przeanalizujmy teraz doświadczenie Younga ilościowo.

Zakładamy, że światło padające zawiera tylko jedną długość fali (jest monochromatyczne). Na rysunku poniżej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odległym o r₁ i r₂ od wąskich szczelin S₁ i S₂.

Linia S₂b została poprowadzona tak, aby PS₂ = Pb. Trzeba zwrócić uwagę, że stosunek d/D przedstawiony na rysunku jest dla większej jasności przesadnie duży. Naprawdę d << D i wtedy kąt S₁S₂b jest równy θ z dużą dokładnością.

Oba promienie wychodzące ze szczelin S₁ i S₂ są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu P są różne więc i ich fazy mogą być różne. Odcinki Pb i PS₂ są identyczne (tak to skonstruowaliśmy) więc o różnicy faz decyduje różnica dróg optycznych tj. odcinek S₁b. Aby w punkcie P było maksimum to odcinek S₁b musi zawierać całkowitą liczbę długości fal. Jest tak dlatego, że po przebyciu odcinka równego λ faza fali powtarza się więc dla drogi mλ fala ma fazę taką jak na początku tej drogi; odcinek S₁b nie wpływa na różnicę faz a ponieważ fale były zgodne w źródle (szczeliny S₁ i S₂) więc będą zgodne w fazie w punkcie P. Warunek ten możemy zapisać w postaci

S₁b = mλ, m = 0, 1, 2, ......,

lub

dsinθ = mλ, m = 0, 1, 2, ......, (maksima)

(28.1)

Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu O odpowiada położone symetrycznie maksimum poniżej punktu O. Istnieje też centralne maksimum opisywane przez m = 0.

Dla uzyskania minimum w punkcie P, odcinek S₁b musi zawierać połówkową liczbę długości fal, to jest:

S₁b = (m+1/2) λ, m = 0,1,2,....,

lub

dsinθ = (m+1/2) λ, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

inaczej

dsinθ = (2m+1)λ/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

(28.2)

Przykład 1

Dwie szczeliny odległe od siebie o 1 mm oświetlono światłem zielonym (linia zielona lampy rtęciowej) o długości λ = 546 nm. Jaka jest odległość między sąsiednimi prążkami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległości 1 m od szczelin?

Najpierw sprawdźmy położenie kątowe np. pierwszego maksimum.

Dla m = 1 otrzymujemy: dsinθ = λ

skąd

sinθ = λ/d = (546·10^-9 m)/(10^-3 m) = 0.000546

co daje

θ ≅ 0.03°

Dla tak małych kątów dobrym jest przybliżenie

sinθ ≅ tgθ ≅ θ

Z rysunku widać, że tgθ = y/D. Podstawiając to wyrażenie zamiast sinθ w równaniu na maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m-tego prążka

a dla następnego

Odległość między nimi wynosi więc

Uwaga: Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami nie zależy od m, czyli prążki są rozmieszczone równomiernie. Jeżeli mamy więcej niż jedną λ to powstaną oddzielne układy prążków (dla każdej z długości fal) o różnym odstępie między prążkami.

Równanie opisujące położenie kątowe maksimów może posłużyć do wyznaczenia długości fali

Z tej relacji T. Young wyznaczył długości fal światła widzialnego.

2. Koherencja

Podstawowym warunkiem powstania dobrze określonego obrazu interferencyjnego jest, aby fale świetlne które przybywają z punktów S₁ i S₂ miały dokładnie określoną różnicę faz ϕ stałą w czasie. (Przypomnienie: faza jako określony stan fali w danym miejscu i czasie, patrz równanie opisujące falę E = E_msin(kx-ωt)). Np. jest miejsce na ekranie, dla którego różnica faz wynosi π co oznacza fizycznie, że fale docierające tam wygaszają się (przy założeniu tej samej amplitudy); mamy ciemny prążek. I tak jest zawsze o ile różnica faz się nie zmieni. Gdyby taka zmiana nastąpiła to w tym miejscu natężenie światła nie będzie już równe zeru. Warunkiem stabilności obrazu jest więc stałość w czasie różnicy faz fal wychodzących ze źródeł S₁ i S₂. Mówimy, że te źródła są koherentne czyli spójne.

Jeżeli szczeliny S₁ i S₂ zastąpimy przez dwa niezależne źródła fal (np. żarówki) to nie otrzymamy prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony prawie równomiernie. Interpretujemy to w ten sposób, że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych źródeł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany.

W krótkim czasie są spełnione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótką np. 10^-8 s) dla minimum, a jeszcze za chwilę warunki pośrednie. I tak dla każdego punktu na ekranie. Natężenie (w danym punkcie) jest więc sumą natężeń od poszczególnych źródeł. Mówimy, że te źródła są niespójne, niekoherentne.

Podsumujmy więc podstawową różnicę w opisie, podyktowaną oczywiście przez fakty doświadczalne:

• dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzględniając stała różnicę faz), a potem celem obliczenia natężenia podnosimy otrzymaną amplitudę wypadkową do kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia ∼ A²).

• dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, żeby otrzymać natężenia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te natężenia.

Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzyć światło spójne. Na tym etapie zapamiętajmy tylko, że zwykłe źródła światła takie jak żarówki (żarzące się włókno) dają światło niespójne dlatego, że emitujące atomy działają zupełnie niezależnie. Natomiast współcześnie szeroko stosowanymi źródłami światła spójnego są lasery.

Szczegóły dotyczące emisji światła przez lasery jak i zasadę działania lasera poznamy na dalszych wykładach.

1. Natężenie w doświadczeniu Younga

Załóżmy, że składowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniają się następująco

E₁ = E₀ sinωt

E₂ = E₀ sin(ωt+ϕ)

gdzie ω = 2πv jest częstością kołową fal, a ϕ różnicą faz między nimi.

• ϕ zależy od położenia punktu P a tym samym od kąta θ

• załóżmy natomiast, że E₀ nie zależy od θ (szczeliny są dostatecznie wąskie, tak że światło ugięte na każdej ze szczelin oświetla środkową część ekranu równomiernie)

Wynika stąd, że wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe

E = E₁ + E₂

Uwaga: Mówimy o polu E, a nie polu B (fali EM) ponieważ działanie tego drugiego na detektory światła (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powyższe powinno być wektorowe ale w tych przypadkach wektory E są do siebie równoległe więc wystarczy równanie algebraiczne.

Podstawiając równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe

E = E₀sin(ωt+ϕ) + E₀ sinωt = 2E₀cos(ϕ/2) sin(ωt+ϕ/2)

lub

E = E_θsin(ωt+β)

gdzie β = ϕ/2 oraz E_θ = 2E₀cosβ

Teraz chcemy obliczyć natężenie fali wypadkowej

I_θ ∼ E_θ²

Obliczmy stosunek natężeń dwu fal: fali wypadkowej i fali pojedynczej

czyli

(28.3)

Natężenie zmienia się od zera (dla punktów, w których ϕ = 2β = π) do maksymalnego (dla punktów, w których ϕ = 2β = 0).

Różnica faz wiąże się z różnicą dróg S₁b poprzez prostą relację

różnica faz/2 = różnica dróg/

(28.4)

czyli

Stąd

lub

Poprzez to równanie mamy zależność natężenia od kąta θ.

Narysujmy teraz rozkład natężeń dla interferencji przy dwóch szczelinach (rysunek poniżej) porównując z wynikiem dla pojedynczego źródła jak i dla źródeł niespójnych.

Aby wyliczyć wypadkowe natężenie światła w doświadczeniu Younga dodawaliśmy dwa zaburzenia falowe postaci E₁ = E₀sinωt, E₂ = E₀sin(ωt+ϕ), które miały tę samą częstość i amplitudę, a różniły się fazą ϕ. Wynik uzyskany został algebraicznie na podstawie prostych wzorów trygonometrycznych. Jednak metody analityczne stają się znacznie trudniejsze gdy dodajemy więcej zaburzeń falowych (funkcji typu sin, cos) i dlatego wprowadzimy (głównie z myślą o następnych wykładach) prostą metodę graficzną.

Sinusoidalne zaburzenie falowe może być przedstawione graficznie jako obracający się wektor, którego długość reprezentuje amplitudę. Taki wektor będziemy nazywać strzałką fazową (wskazem). Zmienne zaburzenie falowe E₁ w chwili t przedstawione jest przez rzut tej „strzałki” na oś pionową (odpowiada to pomnożeniu E₀ przez sinωt).

Drugie zaburzenie falowe E₂, o tej samej amplitudzie E₀, różni się od E₁ fazą ϕ. Znajdujemy je podobnie jako rzut „strzałki” na oś pionową. Teraz wystarczy dodać E₁ i E₂ żeby otrzymać wypadkowe zaburzenie.

Widać to jeszcze lepiej gdy umieści się początek jednej strzałki na końcu poprzedniej zachowując różnicę faz (rysunek obok).

Przykład 2

Znajdźmy wypadkową następujących zaburzeń falowych: E₁ = 2sinωt, E₂ = 2sin(ωt+30°), E₃ = 2sin(ωt+60°), E₄ = 2sin(ωt+90°).

Jeżeli przyjmiemy np., że ωt = 15° to E_M = 6.7, E = 5.8 (rysunek poniżej).

Na kolejnym rysunku pokazane są strzałki fazowe dla interferencji Younga (w chwili t = 0).

E_θ = 2E₀cosβ = E_Mcosβ

Suma kątów w trójkącie wynosi 180° stąd wynika, że: 2β = ϕ (taki sam wynik jaki otrzymaliśmy algebraicznie).

Maksimum amplitudy otrzymamy jak widać dla ϕ = 0 (wektory równoległe), a minimum dla ϕ = π (wektory antyrównoległe).

1. Interferencja w cienkich błonkach

Barwy cienkich błonek, baniek mydlanych, plam np. oleju na wodzie są wynikiem interferencji. Na rysunku pokazana jest warstwa o grubości d i współczynniku załamania n. Błonka jest oświetlona przez rozciągłe źródło światła monochromatycznego. W źródle istnieje taki punkt S, że dwa promienie wychodzące z tego punktu mogą dotrzeć do oka po przejściu przez punkt a. Promienie te przebiegają różne drogi gdyż jeden odbija się od górnej, a drugi od dolnej powierzchni błonki. To czy punkt a będzie jasny czy ciemny zależy od wyniku interferencji fal w punkcie a. Fale te są spójne, bo pochodzą z tego samego punktu źródła światła. Jeżeli światło pada prawie prostopadle to geometryczna różnica dróg pomiędzy obu promieniami wynosi prawie 2d. Można więc oczekiwać, że maksimum interferencyjne (punkt a jasny) wystąpi gdy odległość 2d będzie całkowitą wielokrotnością długości fali. Okazuje się, że tak nie jest z dwu powodów

• długość fali odnosi się do długości fali w błonce λ_n a nie do jej długości w powietrzu λ. Oznacza to, że musimy rozważać drogi optyczne, a nie geometryczne (patrz wykład 26 - zasada Fermata). Przypomnijmy, że prędkość fali jest związana z częstotliwością (barwą) i długością fali

v = λv

oraz, że przy przejściu do innego ośrodka zmienia się prędkość i długość fali, a częstotliwość pozostaje bez zmiany. Ponieważ przy przejściu z powietrza do materiału o współczynniku załamania n prędkość maleje n razy

v = c/n

to długość fali też maleje n razy

λ_n = λ/n

• okazuje się ponadto, że fala odbijając się od ośrodka optycznie gęstszego (większe n) zmienia swoją fazę o π. Natomiast gdy odbicie zachodzi od powierzchni ośrodka rzadszego optycznie fala odbija się bez zmiany fazy. Oznacza to, że promień odbity od górnej powierzchni błonki zmienia fazę, a promień odbity od dolnej granicy nie.

Możemy teraz uwzględnić oba czynniki tj. różnice dróg optycznych oraz zmiany faz przy odbiciu.

Dla dwóch promieni pokazanych na rysunku warunek na maksimum ma postać

2d = mλ_n + λ_n/2, m = 0, 1, 2, ....,

Czynnik λ_n/2 opisuje zmianę fazy przy odbiciu (od górnej powierzchni) bo zmiana fazy o 180° (π) jest równoważna różnicy dróg równej połowie długości fali (różnica faz/2 = różnica dróg/. Ponieważ λ_n = λ/n otrzymujemy więc

, m = 0, 1, 2,..... (maksima)

Analogiczny warunek na minimum ma postać

, m = 0, 1, 2,....(minimum)

Równania te są słuszne jeżeli współczynnik załamania błonki jest większy lub mniejszy od współczynnika załamania ośrodków po obu stronach błonki.

Przykład 3

Błonka wodna (np. bańka mydlana, n = 1.33) znajdująca się w powietrzu ma grubość 320 nm. Jaki kolor ma światło odbite, gdy błonka jest oświetlona światłem białym padającym prostopadle?

Z warunku na maksimum obliczamy λ

Obliczamy λ dla kolejnych m:

m = 0, λ = 1700 nm, poza zakresem widzialnym

m = 1, λ = 567 nm, w zakresie widzialnym (żółtozielona)

m = 2, λ = 340 nm, poza zakresem widzialnym

m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

1-7

28-9

---