sciaga14 obliczanie granic ciagow liczbowych, Obliczanie granic ciągów liczbowych


Obliczanie granic ciągów liczbowych

Poniżej podamy sposób obliczania typowych granic ciągów liczbowych. Wszystkie rachunki wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Obliczyć granicę

0x01 graphic

Jest to granica z wielomianu; wyciągamy największą potęgę przed nawias:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Tak więc, wyrażenie w nawiasie dąży do 5, zaś wyrażenie przed nawiasem dąży do 0x01 graphic
, czyli

0x01 graphic

Przykład 2. Obliczyć granicę

0x01 graphic

W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Tak więc, wszystkie składniki licznika za wyjątkiem 2 i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli

0x01 graphic

Uwaga. Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia, to granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach wielomianu z licznika i wielomianu z mianownika.

Przykład 3. Obliczyć granicę

0x01 graphic

W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Tak więc, wszystkie składniki licznika i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli

0x01 graphic

Uwaga. Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia niższego niż mianownik, to granica jest zawsze równa zero.

Przykład 4. Obliczyć granicę

0x01 graphic

W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic

Tak więc, licznik dąży do 0x01 graphic
i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli

0x01 graphic

Uwaga. Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia wyższego niż mianownik, to granica jest zawsze równa 0x01 graphic
ze znakiem plus lub minus, który zależy od znaku ilorazu współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Przykład 5. Obliczyć granicę

0x01 graphic

Licznik i mianownik są funkcjami wykładniczymi, dzielimy każdy składnik przez 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 6. Obliczyć granicę

0x01 graphic

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: 0x01 graphic
, zatem

0x01 graphic

Po skróceniu przez n dostajemy

0x01 graphic

0x01 graphic

czyli ostatecznie

0x01 graphic

Sprawdźmy:

0x01 graphic

Przykład 7. Obliczyć granicę przy x różnym od zera

0x01 graphic

Zauważmy, że

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

zatem

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Ostatecznie

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Sciaga14 Obliczanie granic ciagow liczbowych[1]
Sciaga14 Obliczanie granic ciagow liczbowych[1]
Obliczanie granic ciagow liczbowych
Twierdzenia przydatne do obliczania granic ciągów
Obliczyć granice ciągów
Obliczyć granice ciągów
6 Granica ciągu liczbowego Ciągi monotoniczne Zbieżność ciągów monotonicznych Liczba ex
(2304) granice ciagow liczbowych, Analiza Matematyczna 2, Analiza Matematyczna 2
AMI 07 Granice ciągów
granice ciagow odpowiedzi

więcej podobnych podstron