Analiza korelacji i regresji 3, STATYSTYKA (WYK�AD 16

„ANALIZA KORELACJI I REGRESJI”

Regresja (model regresyjny) jeli midzy dwoma cechami wystpuje zwizek, to w nastpnym etapie buduje si model.

Wsp�czynnik korelacji liniowej Pearsona.

gdzie cov(x,y) to kowariancja - miara wsp�lzmiennoci:

przyjmujca wartoci z przedziau [-s(x)s(y); +s(x)s(y)]

Wsp�czynnik korelacji m�wi o sile i kierunku zwizku midzy zmiennymi. Przyjmuje wartoci z przedziau

r [-1;1]

Warto wsp�czynnika m�wi o sile zwizku. Im jest blisza zera tym sabszy zwizek im bliej 1 lub -1 tym silniejszy. Warto 1 oznacza idealny zwizek liniowy.

Znak wsp�czynnika korelacji m�wi o kierunku zwizku „+” oznacza zwizek dodatni, tj. wzrost (spadek) wartoci jednej cechy powoduje wzrost (spadek) wartoci drugiej. „ - ” kierunek ujemny, tj. wzrost (spadek) wartoci cechy powoduje spadek (wzrost) wartoci drugiej.

Przyjmuje si nastpujce oceny siy zwizku (pamitajc o odpowiedniej liczebnoci pr�by)

do 0,3 saba

od 0,3 do 0,5 rednia

powyej 0,5 wyrana

Wykres rozrzutu (diagram korelacyjny)

wydatki

na ywno

x x

x x x

x x

dochody miesiczne

Linia (model) regresji

Y wzgldem X (X Y)

-teoretyczna warto y

gdzie metod najmniejszych kwadrat�w (MNK) mona wyznaczy warto parametr�w „a” i „b”

0x01 graphic

Parametr „a” mona take obliczy korzystajc ze wzoru:

Interpretacja parametr�w prostej regresji.

a>0 jeli „x” wzronie o 1 jednostk, to „y” wzronie rednio o „a” jednostek.

A<0 jeli „x” wzronie o 1 jednostk, to „y” spadnie rednio o „a” jednostek.

Linia model regresji

X wzgldem Y (y x)

gdzie warto parametr�w mona wyznaczy:

0x01 graphic

Parametr „c” mona take obliczy korzystaj ze wzoru:

(r a c ) - musz mie taki sam znak

Pomidzy wsp�czynnikami prostych regresji „a” i „c” zachodzi zwizek:

Im proste regresji le bliej siebie, tym silniejszy zwizek korelacji.

Nie ma zwizku

Dokadno funkcji regresji.

Ocenia dopasowanie modelu do danych empirycznych. Jej pomiar opiera si na obliczaniu reszt tj. r�nic:

0x01 graphic

-to warto empiryczna cechy y

-to warto teoretyczna obliczona na podstawie funkcji regresji

Reszta okrela niedokadno szacunku i-tej wartoci cechy.

Syntetycznym miernikiem jakoci modelu jest tzw. Wariancja resztowa:

0x01 graphic

Kt�ra ocenia rozproszenie wartoci empirycznych wok� teoretycznych.

S(n) to odchylenie standartowe reszt, kt�re m�wi o tym jakie jest przecitne odchylenie wartoci empirycznych od wartoci teoretycznych. Im blisze jest 0 tym lepsza funkcja (model) regresji

Dokadno lim regresji

y=ax+b

x x

x x x

xx x

Wsp�czynnik zbierznoci

przyjmuje wartoci w przedziale [0,100%]. Ocenia w jakiej czci zmiany cechy „y” nie s wyjanione zmianami cechy „x” Im bliej 0 tym lepsza funkcja regresji (model)

Wsp�czynnik determinacji:

Przyjmuje wartoci z przedziau [0.100%] informuje o tym jaka cz zmian cechy „y” jest wyjaniona przez funkcj regresji (model). Im blisza 100% tym lepszy model. Zachodzi zaleno: