WIADOMOŚCI OGÓLNE. TERMINOLOGIA

1. Równania różniczkowe I rzędu.

DEF. Równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu nazywamy równanie postaci

F(x,y,y') = 0,

gdzie

• F jest funkcją trzech zmiennych ciągłą na pewnym obszarze zawartym w R³,

• y niewiadomą funkcją jednej zmiennej x określoną na pewnym przedziale,

• y' pochodną szukanej funkcji, która występuje w tym równaniu w sposób wyraźny.

DEF. Postać normalna równania różniczkowego:

y' = f(x,y),

gdzie f jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze D ⊂ R ².

2. Klasyfikacja rozwiązań.

DEFINICJE.

1. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania

y' = f (x,y), (x,y) ∈ D, f ciągła na D,

nazywamy każdą różniczkowalną na pewnym przedziale funkcję y = y(x) spełniającą to równanie i o wykresie zawartym w obszarze D.

2. Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania

y' = f (x,y), (x,y) ∈ D, f ciągła na D,

nazywamy jednoparametrową rodzinę funkcji

y = y (x,C)

taką, że dla każdej dopuszczalnej wartości C każda z funkcji tej rodziny jest rozwiązaniem szczególnym tegoż równania.

3. Zadanie polegające na wyznaczeniu rozwiązania szczególnego równania

y' = f (x,y)

spełniającego warunek początkowy y (x₀) = y₀ nazywamy zagadnieniem początkowym (Cauchy'ego).

4. Wykres rozwiązania szczególnego nazywamy krzywą całkową.

UWAGA. Rozwiązanie może mieć postać uwikłaną.

3. Warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązań.

TW. PEANO O ISTNIENIU ROZWIĄZANIA.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze D ⊂ R ², to przez każdy punkt tego obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa całkowa równania w postaci normalnej y' = f (x,y).

TW. CAUCHY'EGO O JEDNOZNACZNOŚCI ROZWIĄZANIA.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze D ⊂ R ² i ma ciągłą na D pochodną f '_y, to przez każdy punkt tego obszaru D przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y' = f (x,y).

RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x,y.

1. Równanie o zmiennych rozdzielonych.

Jest to równanie postaci

y' = h(x) ^.g(y),

gdzie h,g są funkcjami ciągłymi na pewnych przedziałach, y - niewiadomą funkcją.

TW. O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOŚCI ROZWIĄZANIA RÓWNANIA O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH.

Jeżeli

1. funkcja h jest ciągła na (a,b),

2. funkcja g jest ciągła i różna od 0 na (c,d),

to dla dowolnej pary (x₀,y₀) takiej, że x₀∈(a,b), y₀∈ (c,d) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie y = y(x) równania o zmiennych rozdzielonych

y' = h(x) ^.g(y)

spełniające warunek początkowy y (x₀) = y₀. Ponadto rozwiązanie to określone jest wzorem

y = G^-1(H(x) - H(x₀) + G(y₀)),

gdzie H,G są dowolnie wybranymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i 
.

RÓWNANIE LINIOWE I RZĘDU

1. Definicja i warunek rozwiązywalności.

Równaniem różniczkowym liniowym I rzędu nazywamy równanie postaci

y' + p(x) ^. y = q(x),

gdzie p,q są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale, y = y (x) niewiadomą funkcją.

Jeżeli q(x) jest stale równa 0, to równanie ma postać

y' + p(x) ^. y = 0

i nazywa się równaniem liniowym jednorodnym.

TW.1. O JEDNOZNACZNOŚCI ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA LINIOWEGO I RZĘDU

Jeżeli p,q są funkcjami ciągłymi na przedziale (a,b), to dla dowolnej pary liczb (x₀,y₀) takiej, że x₀ ∈ (a,b), istnieje dokładnie jedno rozwiązanie y = y(x) równania

y' + p(x) ^. y = q(x)

spełniające warunek początkowy y(x₀) = y₀.

2. Rozwiązanie równania jednorodnego.

TW.2. Rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego y' + p(x) ^. y = 0 jest rodzina funkcji

y = C ^. e ^{- P(x)}, x ∈ (a,b),

gdzie C ∈ R, zaś P jest funkcją pierwotną funkcji p.

3. Metoda uzmienniania stałej rozwiązywania równania liniowego niejednorodnego.

TW.3. METODA UZMIENNIANA STAŁEJ

Każde rozwiązanie równania liniowego

y' + p(x) ^. y = q(x)

można uzyskać z rozwiązania ogólnego

y = C ^. e ^{- P(x)} (P'(x) = p(x)),

równania liniowego jednorodnego

y' + p(x) ^. y = 0

zastępując stałą C odpowiednią funkcją C(x).

TW.4. O POSTACI ROZWIĄZANIA RÓWNANIA LINIOWEGO NIEJEDNORODNEGO

Rozwiązanie ogólne równania

y' + p(x) ^. y = q(x)

jest sumą dowolnego rozwiązania szczególnego y_s tego równania oraz rozwiązania ogólnego y₀ równania jednorodnego y' + p(x) ^. y = 0.

4. Metoda przewidywania rozwiązywania równania liniowego niejednorodnego.

Metodę tę stosuje się do równań postaci

(♣) y' + a y = (W_n(x) cosx + V_m(x) sinx) e^ x

gdzie W_n, V_m są wielomianami odpowiednio stopni n i m, zaś a,, ∈ R.

TW.5. Istnieje rozwiązanie szczególne równania (♣) określone wzorem

y_s = (P_l(x) cosx + Q_l(x) sinx) e^{ x .} x^k,

gdzie P_l, Q_l są wielomianami stopnia l = max{n,m}, oraz

TW.6. Jeżeli

1. y = y₁(x), x ∈ (a,b), jest rozwiązaniem równania y' + a y = q₁(x),

2. y = y₂(x), x ∈ (a,b), jest rozwiązaniem równania y' + a y = q₂(x),

to funkcja y(x) = y₁(x) + y₂(x) jest rozwiązaniem równania y' + a y = q₁(x) + q₂(x).

---