Elipsoida obrotowa

Figura geometryczna powstała przez obrót elipsy wokół jednej z półosi (w geodezji wokół krótszej osi)

Elipsoida lokalna - dobrze aproksymująca geoidę na pewnym ograniczonym obszarze kraju lub kontynentu. Oprócz parametrów geometrycznych z elipsoidą lokalną związany jest tzw. punkt przyłożenia do geoidy i azymut orientacji. Na obszarze Polski stosowane były dwie elipsoidy Bessela z punktem przyłożenia w Borowej Górze oraz Krasowskiego z punktem przyłożenia w Pułkowie.

Elipsoida globalna - dobrze aproksymuje geoidę na całym obszarze Ziemi (nie ma punktu przyłożenia ani azymutu orientacji). W Polsce stosowana jest elipsoida WGS-84 stanowiąca powierzchnię odniesienia w Globalnym Systemie Pozycyjnym GPS.

Parametry określające kształt elipsoidy:

• duża i mała półoś: a,b,

• spłaszczenie geometryczne
  

• I mimośród elipsoidy e:
  , II mimośród e′:
  

Do określenia kształtu elipsoidy potrzebne są dwa spośród ww. parametrów, zwykle podaje się dużą półoś i spłaszczenie (a,f).

Parametry wybranych elipsoid o charakterze kontynentalnym:

Elipsoida	a [m]	f	obszar stosowania	Punkt przyłożenia	ϕ0, λ0 ξ0, η0
Clark (1866)	6372206	1 : 294.98	Ameryka Płn.	Meades Ranch. (Kansas USA)	39°14′, -98°32′
Hayford (1909)	6378388	1 : 297.00	Europa Zach.	Potsdam (Wieża Helmerta)	52°23′, 13°04′ +3.36″, +1.78″
Bessel (1841)	6377397	1 : 299.15	Japonia	Tokio (Obserwatorium)	35°39′, 139°45′ 0.00″, 0.00″
Krasowski (1940)	6378245	1 : 298.3	ZSRR	Leningrad Pułkowo	59°46′, 30°19′ -, -
WGS-84	6378137	1 : 298.257	dowolny	-	-

Przekroje normalne elipsoidy obrotowej

Normalna do powierzchni elipsoidy przecina oś obrotu elipsoidy poza środkiem elipsoidy (z wyjątkiem punktów na równiku i biegunach). Przez normalną można przeprowadzić nieskończenie wiele płaszczyzn normalnych, które na powierzchni elipsoidy utworzą tzw. przekroje normalne. Spośród wszystkich przekrojów można wybrać takie przekroje, które mają największą i najmniejszą krzywiznę.

Przekrój południkowy - płaszczyzna tego przekroju pokrywa się z płaszczyzna południka. Promień przekroju południkowego M jest najmniejszy ze wszystkich promieni przekrojów normalnych:

Przekrój poprzeczny - płaszczyzna tego przekroju jest prostopadła do płaszczyzny przekroju południkowego i zawiera normalną do elipsoidy. Promień przekroju poprzecznego N jest największy ze wszystkich promieni przekrojów normalnych:

Promień przekroju normalnego w kierunku azymutu A będzie równy:

Średni promień krzywizny:

określa kulę o krzywiźnie najlepiej dopasowanej do krzywizny elipsoidy w danym punkcie.

Azymut przekroju normalnego

????????????

Układ współrzędnych geograficznych-geodezyjnych B,L,h i prostokątny X,Y,Z

dla B = 50°, L=20°, h=250.00 m (elipsoida WGS-84)

x =

Przekształcenie odwrotne: (B,L,h) → (x,y,z)

Przekształcenie iteracyjne:

Przekształcenie nie iteracyjne:

Szerokość geocentryczna i zredukowana

Szerokość geocentryczna - to kąt jaki tworzy promień wodzący punktu na powierzchni elipsoidy z płaszczyzną równika.

Szerokość geocentryczna pozwala wyrazić współrzędne prostokątne punktów leżących na powierzchni elipsoidy przez współrzędne biegunowe:

gdzie
lub

Różnicę między szerokością geodezyjną B a geocentryczną B' wyraża wzór:

,

a maksymalna różnica występuje na szerokości B=45°:

Szerokość zredukowana - to kąt jaki tworzy promień wodzący poprowadzony z punktu powstałego jako rzut punktu na elipsoidzie wzdłuż równoległej do osi z na kulę o promieniu a (lub wzdłuż równoległej do osi x albo y na kulę o promieniu b).

Różnicę między szerokością geodezyjną B a zredukowaną ψ wyraża wzór:

,

a maksymalna różnica występuje na szerokości B=45°:

Zależność między szerokością geocentryczną B' a zredukowaną ψ wyraża wzór:

Warto zauważyć (rys), że w trójkącie prostokątnym (z bokiem r) odcinek r jest także promieniem równoleżnika punktu P. Z tego trójkąta można wyznaczyć r jako:

,

gdzie a - duża półoś elipsoidy

Dla punktów na równiku będzie: ψ = 0 czyli r = a

Przekroje normalne - wzajemne

Przekroje normalne poprowadzone między dwoma punktami na elipsoidzie noszą nazwę przekrojów wzajemnych. Ze względu na wichrowatość normalnych płaszczyzna przekroju normalnego poprowadzona z punktu P₁ do punktu P₂ (przekrój wprost) nie będzie się pokrywała z płaszczyzna przekroju normalnego poprowadzonego z punktu P₂ do punktu P₁ (przekrój odwrotny) (z wyjątkiem, gdy oba punkty leżą na tym samym równoleżniku). Płaszczyzny te przetną się pod powierzchnią wzdłuż cięciwy łączącej oba punkty, a na powierzchni elipsoidy utworzą tzw. rozdwojony bok.

Gdy punkt początkowy ma mniejsza szerokość niż punkt końcowy, to przekrój wprost przebiega ponizej przekroju odwrotnego

Rozdwojenie ω obu przekrojów wyraża różnica azymutów:

Linia geodezyjna

Linia geodezyjna (ortodroma) - krzywa na powierzchni, dla której normalna do powierzchni wystawiona w dowolnym punkcie krzywej pokrywa się z normalną główną do krzywej (normalna główna leży w płaszczyźnie ściśle stycznej tej krzywej).

Własności linii geodezyjnej:

• krzywizna geodezyjna ortodromy jest równa zero (krzywizna l.g. to krzywizna rzutu linii na płaszczyznę styczną do powierzchni)

• przez dwa punkty (lub przez każdy punkt ) przechodzi nieskończenie wiele linii geodezyjnych,

• najkrótsza odległość między dwoma punktami jest linią geodezyjną ale linia geodezyjna nie musi być najkrótszą odległością między dwoma punktami,

• na małych obszarach (fragment kuli, elipsoidy) połączenie ortodromą jest jednoznaczne,

• równanie linii geodezyjnej dla powierzchni obrotowej (równanie Clairaut'a):

• 
  ,

• gdzie: r - odległość od osi obrotu w płaszczyźnie prostopadłej do osi, dla elipsoidy:
  , ponieważ
  

więc

Przykłady linii geodezyjnej:

• na powierzchni kuli - koło wielkie ( w tym równik, południki),

• na powierzchni elipsoidy - m.in. południki i równik

• na walcu to linia śrubowa lub tworząca,

• na płaszczyźnie to prosta.

Przebieg linii geodezyjnej względem przekroju normalnego

W przybliżeniu :

,

W przypadku gdy oba punkty P₁ i P₂ leżą na tym samym równoleżniku to dla α=90° pierwszy wyraz zanika, zaś drugi wyraz osiągnie maksimum dla B=45°. Wtedy przy długości σ≈130km azymut linii geodezyjnej będzie większy o 0.0002″.

Im bliżej równika (lub bieguna) różnice między przekrojem normalnym a ortodromą bąda malały.

Zadania

1. Oblicz: f, e, N, M dla elipsoidy gdy a=b=R (kula)

2. Wyrazić I i II mimośród elipsoidy w funkcji odpowiednio spłaszczenia i I mimośrodu.

3. Obliczyć promienie przekroju południkowego i poprzecznego w punkcie P(50°,20°), oraz średni promień krzywizny.

4. Oblicz promień kuli równoważnej:

1. o takiej samej objętości co objętość elipsoidy,

2. o promieniu równej średniej arytmetycznej z półosi elipsoidy,

3. o promieniu równej średniej geometrycznej z półosi elipsoidy,

5. Oblicz maksymalną szerokość geodezyjną, którą osiągnie linia geodezyjna jeśli linia ta przecina równik pod azymutem A₀ = 60°

Wychodząc z ównania linii geodezyjnej:

można dla naszej linii można napisać:
.

Promień równoleżnika r można przedstawić w funkcji szerokości zredukowanej:

a równanie linii geodezyjnej przyjmie wtedy postać:

W punkcie B azymut linii geodezyjnej wynosi
zatem

Korzystając z wzoru przybliżonego na różnicę B-ψ dla elipsoidy WGS-84 będzie:

9

B'

B

p

z

ψ

B

r

P

h

P

f.p.Z.

X

Y

(x,y,z)

Z

P₀

(B,L,h)

h

f.p.Z.

P

z

X

Y

y

x

Z

P₀

(B,L,h)

B

O

B

P₂

B

P

O

f.p.Z.

O

P_e

α

P₁

A

ω

1/3ω

2/3ω

α'

P₂

σ

ω

P₁

przekrój wprost

przekrój odwrotny

---