Politechnika Wrocławska	Dzień tygodnia: poniedziałek Godzina: 10:45
Wydział Elektryczny Andrzej Filipiak 119647 Rok: 2003/2004	Nr ćwiczenia: 9 Wyznaczanie ruchu oscylatorów sprzężonych
Data wykonania: 13-10-2003	Ocena:

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest:

• zapoznanie się z opisem ruchu oscylatorów sprzężonych,

• określenie związku między parametrami charakteryzującymi układ oscylatorów sprzężonych z parametrami oscylatora harmonicznego,

• wyznaczenie częstości własnych, częstości dudnień i współczynnika sprzężenia.

2. Wstęp teoretyczny.

Ruch harmoniczny-ruch punkt materialnego, na który działa siła proporcjonalna do jego wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie skierowana

równanie ruchu wyraża się równaniem:
,

gdzie

m - masa oscylatora,

x - wychylenie z położenia równowagi,

k - współczynnik proporcjonalności (wsp. sprężystości).

Równanie powyższe można zapisać w postaci:

,

przyjmując za
,

gdzie

ω₀ - częstość (kołowa) własna oscylatora harmonicznego.

Jeżeli dwa identyczne oscylatory harmoniczne zostaną połączone (sprzężone) w taki sposób, że dodatkowa siła (wynikająca z połączenia) jest proporcjonalna do różnicy wzajemnych wychyleń pojedynczych oscylatorów, to - zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona - równanie ruchu tych oscylatorów przyjmuje postać:

(**)

Równanie to można uogólnić na większą liczbę oscylatorów harmonicznych o różnych częstościach własnych, przy czym:

x_i - wychylenie i-tego oscylatora z położenia równowagi,

k_S - współczynnik proporcjonalności (współczynnik sprzężenia).

Wówczas rozwiązania równań poszukujemy w postaci:

Po podstawieniu otrzymujemy:

czyli po przekształceniu:

(*)

Powyższy układ równań ma rozwiązanie ze względu na A₁ i A₂ , jeśli wyznacznik tego układu jest równy zeru. Zerowanie się wyznacznika prowadzi do równania:

Z powyższego równania otrzymujemy wyrażenie określające częstości (kołowe) własne oscylatorów sprzężonych:

czyli

lub

Wstawiając ω_I do jednego z równań układu równań (*) otrzymujemy:

czyli k_SA₁= k_SA₂ , stąd ostatecznie A₁=A₂ .

Analogicznie wstawiając ω_II do jednego z równań układu równań (*) otrzymujemy po uproszczeniu
. Obydwa oscylatory sprzężone drgają więc z częstością kołową ω_I , jeżeli ich fazy są zgodne lub z częstością ω_II , jeżeli ich fazy są przeciwne.

Jeżeli oscylatorami będą wahadła fizyczne, to

gdzie

D - moment kierujący,

I - moment bezwładności wahadła.

Miarę wychylenia wahadła z położenia równowagi oznaczymy ϕ_i . Sytuacje odpowiadające częstościom kołowym własnym ω₁ i ω₂ są przedstawione na rysunkach. Jeżeli jedno z wahadeł sprzężonych (np. drugi) unieruchomimy ϕ₂=0, a pierwsze pobudzimy do drgań, to równanie oscylatora harmonicznego przyjmie postać:

i drgania odbywać się będą z częstością kołową:

Rozwiązanie równań ruchu dla innych warunków początkowych, np. dla:

można otrzymać wprowadzając nowe zmienne:

Dodając równania (**) stronami i wykorzystując pierwsze równanie otrzymujemy:

Analogicznie z równania drugiego otrzymujemy:

Rozwiązania powyższych równań przy warunkach początkowych
mają postać:

tak więc:

Każdy z oscylatorów sprzężonych wykonuje w tym przypadku drgania z częstotliwością kołową

zaś amplituda zeruje się z częstością

gdzie

W omawianym przypadku drgania są więc dudnieniami otrzymanymi przez nałożenie się dwóch drgań własnych o częstościach kołowych ω_I i ω_II

3.Przebieg pomiarów:

Pomiary wykonujemy dla trzech różnych sprzężeń (trzy różne zawieszenia sprężyny).

Wyznaczenie okresu wahań odpowiadającego częstości własnej ω₁ (zgodne fazy początkowe ϕ₁=ϕ₂).

Sprzężenie	ilość okresów n	czas zmierzony t [s]									okres T [s]	częstość ω1 [1/s]
1(5cm)	10	12,139			10,477	10,491			11,043		1,104	5,692
				śr. czas=11,038
		2(15cm)	10	11,230		11,227		11,255		11,245			1,123	5,590
				śr. czas=11,239
		3(25cm)	10	11,251	10,628				11,260			11,251	1,109	5,661
				śr. czas=11,097

Wyznaczenie okresu wahań odpowiadającego częstości własnej ω₂ (przeciwne fazy początkowe ϕ₁ = -ϕ₂).

Dla pomiarów na wysokości 15 i 20 cm odchylenie od pionu wynosiło

10 ^o a przy 25 cm odchylenie wynosiło 15 ^o

Sprzężenie	ilość okresów n		czas zmierzony t [s]									Okres T [s]	częstość ω2 [1/s]
1(15cm)		10	7,516			7,512	7,513			7,510		0,751	8,363
						śr. czas=7,512
			2(20cm)		10	7,523		7,548		7,544		7,542			0,753	8,333
						śr. czas=7,539
			3(25cm)		10	6,457	6,461				6,429			6,433	0,644	9,748
						śr. czas=6,445

Wyznaczenie częstości dudnień ω_d (różne fazy początkowe

ϕ₁ = 0^o,ϕ₂ = 10^o).

Sprzężenie	ilość okresów n	czas zmierzony t [s]									Okres T [s]	częstość ωd [1/s]
1(15cm)	10	23,745			22,734	24,092			23,182		2,343	2,680
				śr. czas=23,438
		2(20cm)	10	20,212		19,322		19,349		19,769			1,966	3,195
				śr. czas=19,663
		3(25cm)	10	15,732	15,772				15,389			15,398	1,557	4,034
				śr. czas=15,572

Częstość dudnień:

W poniższej tabeli znajduje się zestawienie wyliczonej częstości dudnień oraz zmierzonej w celu porównania różnic.

sprzężenie	ω1 [1/s]	ω2 [1/s]	ωd = ω2 - ω1 [1/s]	ωd zmierzone [1/s]
1	5,692	8,363	2,671	2,680
2	5,590	8,333	2,743	3,195
3	5,661	9,748	4,087	4,034

4. Wnioski:

Celem tego ćwiczenia było poznanie zjawiska dudnień. Sama nazwa „dudnienia” wzięła się prawdopodobnie stąd, iż zjawisko to zachodzi również dla fal dźwiękowych. W przypadku dźwięku zmiany amplitudy przejawiają się jako zmiany głośności. Zjawisko to można wykorzystać do nastrojenia dwóch strun na tę samą częstotliwość metodą naciągania jednej z nich w czasie brzmienia obu, aż do momentu, gdy dudnienia znikną.

Przy pomiarach staraliśmy się wyeliminować błędy związane z czasem reakcji mierzącego czas za pomocą stopera(każdy pomiar przeprowadzaliśmy czterokrotnie). Dzięki temu uzyskaliśmy wyniki częstości dudnień zmierzonych zbliżone do wyników wyliczonych ze znajomości ω₁ i ω₂. Inne błędy, takie jak: błąd zaokrąglenia liczby π, czy tez błąd wyznaczenia kata wychylenia wahadła, możemy pominąć ponieważ maja one bardzo mały lub tez nieistotny wpływ na ostateczne wyniki.

Nie mogliśmy niestety przeprowadzić analizy momentu kierującego i sprzęgającego, ponieważ w instrukcji do ćwiczenia podany moment bezwładności dotyczył innego przyrządu niż ten którego używaliśmy.

---