Statyka

Wojciech Barański

Katedra Mechaniki Materiałów PŁ

[e-mail]

Algebra wektorowa - wprowadzenie

Wektory w mechanice są używane do matematycznego opisu takich pojęć jak: położenie, prędkość, przyśpieszenie punktu

siła itd.

Wektor można rozumieć jako przyporządkowanie każdemu układowi współrzędnych trzech liczb rzeczywistych -zwanych jego składowymi - spełniającą tzw. regułę transformacji składowych wektora (patrz "transformacja składowych wektora").

Np.

Wyrażenie
nazywamy długością wektora
.

Wyrażenia
nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora
.

Podstawowe działania wektorowe

Sumą wektorów
i
nazywamy wektor

.

Dowolny wektor
mnożymy przez dowolny skalar
wg reguły
.

Działania powyższe spełniają reguły łączności

a sumowanie jest przemienne

.

Wersory

Wybranemu układowi współrzędnych (x,y,z) przyporządkujemy jego wersory

,
i
.

Łatwo sprawdzić następującą tożsamość wektorową

.

Obrót układu współrzędnych wg EULERa

Rozpatrzmy układ współrzędnych
, który powstał w wyniku obrotu układu (x,y,z) o kąt
wokół osi z. Współrzędne punktów w obu układach przeliczamy według mnożenia macierzowego

.

Utwórzmy następnie układ współrzędnych
przez obrót o kąt
wokół osi
.

.

Ostatniego obrotu dokonamy o kat
wokół osi
otrzymując układ
.

.

Euler wykazał, że dowolny obrót układu współrzędnych można przedstawić w postaci pokazanych powyżej obrotów częściowych. Składanie transformacji współrzędnych daje wynik:

gdzie

jest nazywane macierzą obrotu układu współrzędnych. Jest ona macierzą ortogonalną właściwą, tzn.
oraz
.

Przekształcenie EULERa zachowuje skrętność układu współrzędnych i nie obejmuje wszystkich możliwych transformacji układu współrzędnych (w ramach układów kartezjańskich). Do kompletu brakuje przekształcenia przez zmianę zwrotu jednej z osi.

Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwu wektorów
i
nazywamy skalar

.

Iloczyn skalarny spełnia tożsamość

z której wynika bezpośrednio, że jest równy zeru, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerowy lub, gdy czynniki są do siebie prostopadłe.

Niezbyt ściśle warunek zerowania się iloczynu skalarnego jest nazywany warunkiem prostopadłości wektorów.

Iloczyn wektorowy

W układzie współrzędnych (x,y,z) z wersorami
iloczyn wektorowy dwu wektorów
i
definiujemy wzorem

.

Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny

Kierunek iloczynu wektorowego
jest prostopadły do czynników, a zwrot taki, że trójka wektorów (
) ma taką samą skrętność jak przyjęty układ współrzędnych. Zatem iloczyn wektorowy nie jest wektorem, bo jego zwrot zależy od skrętności przyjętego układu współrzędnych. Takie obiekty matematycy nazywają pseudowektorami.

.

Podstawowe właściwości:

- z czego wynika, że co do wartości bezwzględnej jest równy polu równoległoboku rozpiętego na czynnikach i że jest równy zeru, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerowy lub gdy czynniki są do siebie równoległe.

Niezbyt ściśle warunek zerowania się iloczynu wektorowego jest nazywany warunkiem równoległości wektorów.

Podwójny iloczyn wektorowy

.

Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszany jest pseudoskalarem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia znak na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.

Podstawowe właściwości:

Co do wartości bezwzględnej jest równy objętości równoległościanu rozpiętemu na czynnikach. Wynika stąd, że jest równy zeru, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerowy lub, gdy czynniki są współpłaszczyznowe.

Aksjomaty statyki

A1. Działanie dwu sił
i
przyłożonych w jednym punkcie można zastąpić działaniem jednej siły
przyłożonej w tym samym punkcie i będącej sumą wektorową
sił
i
.

A2. Jeżeli na ciało działają dwie siły
i
to równoważą się one tylko wtedy, gdy mają wspólną linię działania oraz
.

A3. Skutek działania dowolnego układu sił nie zmieni się, jeżeli do tego układu dodamy lub odejmiemy od niego układ sił równoważących się.

A4. Każdemu działaniu towarzyszy równe, co do wartości, o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie.

A5. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych.

Twierdzenie: Z aksjomatów A1, A2 i A3 wynika, że skutki działania dwu sił
i
są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają wspólną linię działania oraz
.

Dowód: Załóżmy, że siły
i
działają na punkty A i B, mają wspólną linię działania oraz
. Z A2 wynika, że wtedy siły
i
równoważą się i wobec A3 możemy je dodać do
otrzymując
, bo
i
równoważą się z A1. Zatem działanie
można zastąpić działaniem siły
.

Niech odwrotnie działania sił
i
będą identyczne. Zatem łączne działanie sił
i
będzie równe łącznemu działaniu sił
i
. Ale wobec A1 siły
i
równoważą się. Zatem siły
i
też się równoważą i wobec A2 mają wspólną linię działania oraz
￿

Relacja statycznej równoważności układów sił

Przykłady oznaczenia układów sił:
,
,
.

Podstawą analizy układów sił jest relacja statycznej równoważności układów sił - oznaczana symbolem ~

Jeżeli skutki działania dwu układów sił
i
są identyczne to mówimy, że są one statycznie równoważne i piszemy

~
.

Przyjmujemy następujące założenia odnośnie relacji statycznej równoważności układów sił:

RSR1. Układ dwu sił
przyłożonych w jednym punkcie jest statycznie równoważny jednej sile
przyłożonej w tym samym punkcie i będącej sumą wektorową
sił
i
.

RSR2. Dwie siły
i
są sobie statycznie równoważne wtedy tylko wtedy, gdy mają wspólną linię działania oraz
.

RSR3. Jeżeli dwa układy sił
i
są sobie statycznie równoważne, to dodanie do obu układów dowolnego innego układu sił
nie zmieni statycznej równoważności, tzn.

RSR4. Układ sił zerowych jest statycznie równoważny układowi pustemu.

Zakładamy ponadto, że relacja statycznej równoważności jest relacją równoważności w sensie matematycznym, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia:

RSR5. (- zwrotność) Każdy układ sił jest sobie statycznie równoważny, tzn.

.

RSR6. (- symetria) Jeżeli jeden układ sił jest statycznie równoważny innemu to ten drugi jest statycznie równoważny pierwszemu, tzn.

.

RSR7. (- przechodniość) Jeżeli jeden układ sił jest statycznie równoważny drugiemu a ten drugi jest statycznie równoważny trzeciemu to pierwszy układ sił jest statycznie równoważny trzeciemu, tzn.

.

Moment siły względem punktu

Momentem siły
przyłożonej do punktu
względem punktu
nazywamy iloczyn wektorowy

gdzie
jest wektorem położenia punktu
względem punktu
.

Jeżeli
ma składowe
to wartość momentu wynosi

.

Wartość bezwzględna momentu wynosi

gdzie
- zwane ramieniem siły względem punktu - jest odległością punktu
od linii działania siły.

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że moment siły
przyłożonej do punktu
względem punktu
jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy siła
jest zerowa lub, gdy punkt
leży na linii działania siły.

Wniosek: Dwie siły
i
są sobie statycznie równoważne wtedy tylko wtedy, gdy mają identyczne momenty względem dowolnego punktu oraz
.

Wektor główny i moment główny układu sił

Momentem głównym układu sił
zaczepionych w punktach
względem punktu B nazywamy sumę momentów wszystkich sił układu

.

Wektorem głównym układu sił
nazywamy sumę wszystkich sił układu

.

Podstawowym celem wykładu jest udowodnienie, że dwa dowolne układy sił
i
są sobie statycznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne wektory główne

i identyczne momenty główne względem dowolnego punktu

.

Wypadkowa układu sił - równowaga układu sił

Jeżeli istnieje siła statycznie równoważna rozpatrywanemu układowi sił to nazywamy ją wypadkową tego układu.

Jeżeli rozpatrywany układ sił jest statycznie równoważny pustemu układowi, to nazywamy go zrównoważonym.

Powyższe dwa przypadki są przypadkami szczególnymi acz interesującymi i będziemy poszukiwać warunków ich zachodzenia.

Moment siły względem osi

Momentem siły
przyłożonej do punktu
względem osi  nazywamy iloczyn mieszany

gdzie
jest dowolnym punktem osi , natomiast
jest jednostkowym wektorem skierowanym wzdłuż osi .

Znak momentu względem osi zależy od zwrotu wektora
. Zmiana zwrotu wektora
zmieni znak momentu na przeciwny.

Moment względem osi nie zależy od wyboru punktu
. Dlaczego?

Jeżeli
ma składowe
to wartość momentu wynosi

.

Rozłóżmy siłę
na składowe równoległą
i prostopadłą
do osi  Zauważmy, że
jest rzutem siły
na płaszczyznę prostopadłą do osi . Obliczamy

bo moment składowej równoległej jest zerowy. Wynika stąd

gdzie
- zwane ramieniem siły
względem osi  - jest odległością między linią działania siły
a osią .

Z własności iloczynu mieszanego wynika, że moment siły
względem osi  jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy siła
jest zerowa lub, gdy linia działania siły jest współpłaszczyznowa z osią .

Zbieżny układ sił

Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnym. Z założenia RSR2 wynika, że można je wszystkie przenieść do punktu przecięcia linii działania i dalej rozpatrywać jako zaczepione we wspólnym punkcie.

Twierdzenie: Z założeń RSR1 i RSR3 łatwo wnioskujemy, że taki układ jest równoważny wektorowi głównemu

zaczepionemu w punkcie przecięcia linii działania sił.

Stwierdzamy zatem, że jeżeli wektor główny jest niezerowy to zbieżny układ sił redukuje się do wypadkowej a w przeciwnym wypadku jest w równowadze.

Para sił

Parą sił nazywamy układ składający się z dwu sił różniących się jedynie punktem zaczepienia i zwrotem.

Rozważmy parę sił
zaczepionych w punktach A i B.

Moment główny takiej pary względem początku układu wynosi wynosi

.

Twierdzenie: Wynika stąd, że moment pary sił nie zależy od wyboru bieguna względem, którego jest obliczany i jest równy momentowi jednej z sił pary względem punktu zaczepienia drugiej siły.

Płaski układ sił

Moment płaskiego układu sił obliczamy względem punktów tej płaszczyzny, w której leżą wszystkie siły rozważanego układu. Wtedy moment będzie prostopadły do płaszczyzny i nie ma potrzeby traktowania go jako wektor.

Siła + para sił na płaszczyźnie

Twierdzenie: Płaski układ
składający się z niezerowej siły
i pary sił
ma wypadkową
przesuniętą w stosunku do
o odcinek

gdzie
jest ramieniem pary sił
. Składowe wektora przesunięcia wynoszą

.

Przesunięcie w takim kierunku, że moment głowiny rozpatrywanego układu wynosi zero względem dowolnego punktu linii działania wypadkowej.

Dowód: Niech linie działania sił
i
przecinają się w punkcie
. Z teorii zbieżnego układu sił wynika zatem, że układ
jest równoważny sile
zaczepionej w punkcie
.

Niech linie działania sił
i
przecinają się w punkcie K. Z teorii zbieżnego układu sił wynika zatem, że układ
jest równoważny sile
zaczepionej w punkcie K. Zatem układ ma wypadkową.

Obliczając pole trójkąta E,L,K wnioskujemy, że
.

Zauważmy, że trójkąt E,L,K jest podobny do trójkąta sił
. Zatem

oraz

.

Rozpatrzmy teraz przypadek równoległości
i
. Do układu

dodajemy dwie równoważące się siły
zaczepione w jednym punkcie i takie, że linie działania
i
przecinają się oraz
. Z udowodnionej części twierdzenia wynika, że układ
ma wypadkową równą
, ale przesuniętą o
. Zatem układ zredukował się do
co zgodnie z udowodnioną już częścią twierdzenia ma wypadkową
przesuniętą w stosunku do
o odcinek

￿

Równoważność par sił na płaszczyźnie

Twierdzenie: Pary sił
i
działające w jednej płaszczyźnie są sobie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne momenty.

Dowód: Niech
będzie dowolną niezerową siła na rozpatrywanej płaszczyźnie.

Z aksjomatu RSR3 wynika, że dodanie tej siły do każdej z rozpatrywanych par nie zmieni problemu równoważności.

Z udowodnionego uprzednio twierdzenia o redukcji niezerowej siły i pary sił wynika, że układ sił
ma wypadkową
przesuniętą w stosunku do
o odcinek

.

Analogicznie wnioskujemy, że układ sił
ma wypadkową
przesuniętą w stosunku do
o odcinek

.

Wykazaliśmy zatem, że zagadnienie statycznej równoważności par sił
i
jest równoważne zagadnieniu statycznej równoważności sił
i 
. Z aksjomatu RSR2 o równoważności dwu sił wynika zatem, że rozpatrywana statyczna równoważność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólną linię działania, czyli gdy obie pary sił mają identyczne momenty ￿

Składanie par sił na płaszczyźnie

Twierdzenie: Działanie dwu par sił
i
w jednej płaszczyźnie jest statycznie równoważne działaniu trzeciej pary w tejże płaszczyźnie mającej moment będący sumą momentów par składowych.

Dowód: Z twierdzenia o równoważności par sił wynika, że wystarcza rozpatrzyć przypadek nierównoległych par.

Przesuńmy zatem siły
i
do punktu przecięcia ich linii działania. Podobnie postąpimy z siłami
i
.

Układ sił
możemy zredukować do ich wypadkowej równej
zaczepionej w punkcie przecięcia linii działania sił
i
.

Podobnie możemy zredukować układ sił
do ich wypadkowej równej
zaczepionej w punkcie przecięcia linii działania sił
i
.

Układ redukuje się zatem do pary sił
o momencie

￿

Twierdzenie: Z udowodnionego właśnie twierdzenia wnioskujemy bezpośrednio, że działanie wielu par sił w jednej płaszczyźnie jest statycznie równoważne działaniu jednej pary sił w tejże płaszczyźnie mającej moment będący sumą momentów par składowych.

Składanie dowolnego płaskiego układu sił

Twierdzenie: Dla dowolnego bieguna
dowolny płaski układ sił
jest statycznie równoważny połączonemu działaniu zaczepionego w
wektora głównego
oraz pary sił o momencie równym momentowi głównemu
względem
.

Dowód: Niech
będzie układem zaczepionych w
sił takich, że

,..
.

Układ sił
jako zrównoważony może być dodany do rozpatrywanego układu
. Zauważmy, że układ
jako zbiór n par sił jest równoważny parze sił o momencie
.

Zauważmy również, że układ sił
jako zbieżny jest równoważny swojej wypadkowej równej wektorowi głównemu
￿

Przypadki szczególne redukcji płaskiego układu sił

Z poprzedniego twierdzenia wynikają następujące wnioski:

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny
płaskiego układu sił
jest niezerowy to układ posiada wypadkową równą wektorowi głównemu i zaczepioną w punkcie

.

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny płaskiego układu sił jest zerowy to układ redukuje się do pary sił o momencie równym momentowi głównemu układu. Wtedy moment główny układu nie zależy od wyboru bieguna redukcji.

Twierdzenie: Jeżeli wektor główny i moment główny płaskiego układu sił są zerowe to układ jest w równowadze.

Warunki równowagi płaskiego układu sił

Twierdzenie: Na to, aby płaski układ sił
był w równowadze potrzeba i wystarcza, aby spełnione były następujące warunki:

;
;

przy założeniu, że osie
i
nie są do siebie równoległe.

Dowód: Jeżeli spełniony jest warunek
to moment główny układu względem bieguna A jest równy zeru i wobec twierdzenia o redukcji płaskiego układu sił układ jest w równowadze albo redukuje się do wypadkowej
 zaczepionej w punkcie A.

Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek
to rzut
wypadkowej na oś
jest zerowy, czyli albo układ jest w równowadze, albo wypadkowa jest prostopadła do osi
.

Wobec założenia nierównoległości osi
i
warunek
oznacza zerowanie wypadkowej, czyli równowagę ￿

Twierdzenie: Na to, aby płaski układ sił
był w równowadze potrzeba i wystarcza, aby spełnione były następujące warunki:

;
;

przy założeniu, że oś
nie jest prostopadła do odcinka A,B.

Dowód: Jeżeli spełniony jest warunek
to moment główny układu względem bieguna A jest równy zeru i wobec twierdzenia o redukcji płaskiego układu sił układ jest w równowadze albo redukuje się do wypadkowej
 zaczepionej w punkcie A.

Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek
i nie ma równowagi to linia działania wypadkowej przechodzi dodatkowo przez punkt B.

Wobec założenia nieprostopadłości osi
do odcinka A,B warunek
oznacza zerowanie wypadkowej, czyli równowagę ￿

Twierdzenie: Na to, aby płaski układ sił
był w równowadze potrzeba i wystarcza, aby spełnione były następujące warunki:

;
;

przy założeniu niewspółliniowości biegunów A, B i C.

Jeżeli spełniony jest warunek
to moment główny układu względem bieguna A jest równy zeru i wobec twierdzenia o redukcji płaskiego układu sił układ jest w równowadze albo redukuje się do wypadkowej
 zaczepionej w punkcie A.

Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek
i nie ma równowagi to linia działania wypadkowej przechodzi dodatkowo przez punkt B.

Wobec założenia niewspółliniowości biegunów A, B i C warunek
oznacza zerowanie wypadkowej, czyli równowagę ￿

Twierdzenie o trzech siłach: Aby płaski układ trzech nierównoległych sił był w równowadze potrzeba, aby linie ich działań przecinały się w jednym punkcie.

Zrównoważony płaski układ sił jest albo zbieżny albo równoległy.Zrównoważony płaski układ sił jest albo zbieżny albo równoległy.

---