zasady zachowania: pędu i momentu pędu

II zasadę dynamiki Newtona można zapisać w postaci

która jest obowiązująca zarówno w przypadku pojedynczej cząstki, jak i układu sztywno związanych ze sobą cząstek lub bryły sztywnej.

Można łatwo także pokazać, że jest ono słuszne w odniesieniu do zbioru oddziaływujących ze sobą ciał, które nie są ze sobą sztywno związane.

Jeśli więc siła wypadkowa

to pęd układu pozostaje niezmieniony, =>
.

Układ ciał, na który nie działają siły zewnętrzne nosi nazwę układu zamkniętego.

Można sformułować stwierdzenie

pęd układu zamkniętego jest stały, a w przypadku układu nie zamkniętego pozostaje niezmieniony, jeśli wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zero

- nosi ono nazwę zasady zachowania pędu.

Dobrze znanym przykładem są zderzenia ciał, które ze sobą oddziałują tylko będąc w kontakcie ze sobą siłami przeciwnymi do siebie tak, że ich suma jest równa zero.

Podobnie, dla ciał oddziałujących ze sobą, ze względu na ruch obrotowy obowiązuje II zasada dynamiki Newtona w postaci

Jeżeli moment sił zewnętrznych
, to moment pędu układu nie ulega zmianie - pozostaje stały.

To stwierdzenie nosi nazwę zasady zachowania momentu pędu.

Zauważmy, że w układzie cząstek pomimo braku sił lub momentów sił zewnętrznych istnieją oddziaływania wewnętrzne, które mogą zmieniać pęd lub moment pędu poszczególnych elementów układu. Jednakże suma wektorowa pędów lub momentów pędu pozostanie niezmienna!

praca, energia kinetyczna

Pod wpływem działania sił na ciało następuje jego ruch i ciało się ulega przemieszczeniu. W mechanice wprowadza się pojęcie pracy. Podstawowa jej definicja jest związana z pojęciem pracy elementarnej, opisanej wzorem

gdzie
jest elementarnym przemieszczeniem ciała, zachodzącym w czasie dt . Praca jest wielkością skalarną.

Pracę wykonaną przez siłę
przy przemieszczeniu cząstki z punktu 1 do punktu 2 obliczamy ze wzoru

W wyniku wykonania pracy zmianie ulega prędkość ciała. Uwzględniając II zasadę dynamiki Newtona w postaci
, otrzymujemy

W mechanice wielkość opisaną wzorem

nazywa się energią kinetyczną ciała.

Dla przemieszczenia się cząstki z p. 1 do p. 2 otrzymujemy związek

z którego widać, że

praca siły wypadkowej zamienia się na przyrost energii kinetycznej ciała.

siły zachowawcze - energia potencjalna

Jeżeli ciało, w każdym punkcie rozważanej przestrzeni, jest poddane działaniu ze strony innych ciał - mówimy - że cząstka znajduje się w polu sił.

Pole, które nie zmienia się w czasie nazywamy polem stacjonarnym.

Pole stacjonarne, w którym praca wykonana nad ciałem zależy tylko od początkowego i końcowego położenia ciała (tzn. nie zależy od drogi po którym ciało się poruszało), nazywamy polem zachowawczym a siły tego pola zwie się siłami zachowawczymi.

Z podanej definicji automatycznie wynika, że

praca sił zachowawczych po drodze

zamkniętej jest zawsze równa zero.

Prostym przykładem siły zachowawczej

jest siła ciężkości, która w każdym punkcie

pola grawitacyjnego (w pobliżu powierzchni

Ziemi) ma tę samą wartość, kierunek i zwrot.

Przykładem siły niezachowawczej może być siła tarcia, która z natury swojej ma zawsze przeciwnie skierowany zwrot do wektora prędkości, a zatem i do elementarnych przemieszczeń
.

Pracę sił zachowawczych między położeniami ciała w p. 1 i w p. 2 możemy zapisać w postaci

gdzie został wprowadzony punkt odniesienia 0, przy czym oznaczyliśmy

oraz

Tak zdefiniowane wielkości
i
, poprzez ujemną pracę sił zachowawczych z punktu odniesienia do danego punktu, noszą nazwę energii potencjalnej, w tym przypadku odpowiednio w punktach 1 i 2.

Jak można zauważyć, energia potencjalna ciała w danym punkcie jest określona z pewną dokładnością, związaną z wyborem punktu odniesienia 0 , czyli jest wielkością addytywną.

Do sił niezachowawczych nie można stosować pojęcia energii potencjalnej!!

zasada zachowania energii mechanicznej

Dla sił zachowawczych pracę możemy więc przedstawić

zaś wcześniej zostało pokazane, że praca wykonana nad cząstką (dla sił zachowawczych i niezachowawczych) powoduje zmianę jej energii kinetycznej

Porównując ze sobą te dwa wyrażenia otrzymujemy

=>

Wynika stąd, że suma energii potencjalnej i energii kinetycznej ciała w polu sił zachowawczych jest taka sama w każdym dowolnym punkcie tego pola.

Wielkość tę, zapisując ogólnie

E = E_p + E_k

nazywamy całkowitą energią mechaniczną; stwierdzamy więc

całkowita energia mechaniczna ciała (układu ciał), na które

działają tylko siły zachowawcze, jest wielkością stałą

Takie sformułowanie nosi nazwę zasady zachowania energii mechanicznej.

związek energii potencjalnej z siłami pola

Znając postać energii potencjalnej, tj. funkcję E_p = E_p(x,y,z) można określić siłę działającą na ciało w każdym punkcie pola.

Otrzymaliśmy poprzednio

skąd wynika, że dla pracy elementarnej zachodzi

co można zapisać inaczej

gdzie
przedstawia zmianę energii potencjalnej wywołaną działaniem tylko składowej F_x ; podobnie dla pozostałych współrzędnych y oraz z.

Oznacza to, że zachodzą relacje

gdzie np.
nosi nazwę pochodnej cząstkowej i odpowiada szybkości zmian energii potencjalnej przy zmianie dx, podczas gdy przyjmujemy, że równocześnie dy = 0 oraz dz = 0.

Możemy więc zapisać siłę

Ogólnie - wektor, o składowych
; gdzie
jest funkcją skalarną współrzędnych x, y, z nazywamy gradientem funkcji
i przyjęto oznaczać go
lub
albo
.

Ostatecznie więc

Siła zachowawcza jest równa ujemnemu gradientowi energii potencjalnej.

energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dla elementarnej masy dm bryły sztywnej obracającej się wokół osi

gdzie R jest odległością elementu o masie dm od osi obrotu.

Dla bryły sztywnej - energia kinetyczna

praca momentu sił zewnętrznych

Jeśli na bryłę działają siły zewnętrzne, to ich praca dW powoduje zmianę energii kinetycznej dE_k , zatem

Praca w ruchu obrotowym, wykonana przez moment sił zewnętrznych, w skończonym przedziale kątowym, wyraża się więc wzorem

który jest analogiczny do zapisu pracy w ruchu postępowym.

- 2 -

1

2

---