Elektrodynamika

Zaliczenie ćwiczeń

Przykładowe zadania

1. Wyznaczyć kąt, jaki tworzy rzut wektora A = x +y + z na płaszczyznę z = 0 z osią y. x, y i z są wersorami.

2. Dane są wektory
   and
   . Znajdź mniejszy kąt miedzy tymi wektorami, korzystając z iloczynu skalarnego i wektorowego tych wektorów.

3. Dane są 2 wektory: A = 2 x + 4 y i B = 6 y - 4 z; x, y i z są wersorami kierunkowymi. Znajdź mniejszy z kątów pomiędzy tymi wektorami.

4. Obliczyć gradient funkcji
   (długość wektora położenia).

5. Obliczyć dywergencję wektora położenia

6. Obliczyć całki krzywoliniowe z funkcji
   wzdłuż krzywych biegnących od punktu a = (l, l, 0) do punktu b = (2, 2, 0) w sposób przedstawiony na rys. 1.21. Jaka jest wartość
   dla zamkniętej drogi całkowania, która przebiega od a do b wzdłuż krzywej (1), a następnie od b do a wzdłuż krzywej(2)?

7. Wyznaczyć całkę krzywoliniową z gradientu funkcji skalarnej T = xy od punktu x = y = 0 do punktu x = y = 1.

8. Rozkład gęstości ładunku na powierzchni dielektryka wyraża się wzorem:

σ(x,y) = e^(1-x2) + e^(1-y2), [C/m²], [x] = m, [y] = m,

gdzie x i y są odległościami od punktu (x = 0, y = 0). Wyznaczyć:

1. Gdzie na powierzchni dielektryka znajduje się maksimum gęstości ładunku i ile wynosi maksymalna gęstość ładunku na powierzchni dielektryka?

2. W jakim kierunku (podać za pomocą wektora) gęstość ładunku w punkcie x = y =1 rośnie najszybciej?

3. Jaka jest maksymalna zmiana gęstości ładunku na jednostkę długości [w Cm^-2m^-1] w punkcie (x = 1,
   y = 1)?

9. Potencjał pola elektrycznego V [w V] wyraża się wzorem:

V(x,y) = 1 - x² - y², [x] = m, [y] = m,

gdzie x i y są odległościami (w m) od punktu (x = 0, y = 0).

1. Naszkicuj linie ekwipotencjalne na płaszczyźnie x, y.

2. Wyznacz korzystając z gradV, gdzie znajduje się maksimum potencjału pola elektrycznego V na płaszczyźnie x, y ?

3. Ile wynosi potencjał pola elektrycznego V w tym punkcie ?

4. Jaka jest maksymalna „liniowa” szybkość zmian potencjału pola elektrycznego V [w Vm^-1] w punkcie (x = 0,5, y = 0,5) ? W jakim kierunku (podać za pomocą wektora) potencjał pola elektrycznego V w tym punkcie rośnie najszybciej ?

10. Obliczyć strumień wektora

A = x + y + z

przez powierzchnię zamkniętą, będącą sześcianem o boku równym 1, którego jeden z rogów jest umieszczony w początku układu współrzędnych x, y, z.

11. Oblicz strumień wektora
    przez powierzchnię kuli o promieniu r = 3.

12. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) dla funkcji

A = x + y + z

i obszaru całkowania będącego sześcianem o boku równym 1, którego jeden z rogów jest umieszczony w początku układu współrzędnych x, y, z.

13. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) dla funkcji

A = y² x + (2xy + z²)y + 2yz z

i obszaru całkowania będącego sześcianem o boku równym 1, którego jeden z rogów jest umieszczony w początku układu współrzędnych x, y, z.

14. We współrzędnych walcowych pole skalarne T jest opisane następująco

T = ρ sinΦ z .

Oblicz grad T w punkcie (1, Π/2, 1)

17. Wyznaczyć, jak zmienia się wektor natężenie pola elektrycznego E w próżni na zewnątrz równomiernie naładowanej powierzchni kulistej o promieniu R = 1 m. Wyznaczyć wartość E w odległości r = 2 m od środka kuli. Gęstość ładunku na powierzchni kuli wynosi ၳ = 4 x 10^-9/36ၰ [C/m²].

D:\Moje Dokumenty\Wyklad Elektrodynamika AM\ZadaniaElektrodynamika\Zadania przykładowe Zaliczenie Ćw Eldyn.doc

---