1. Świat zjawisk fizycznych, wstęp matematyczny

Fizyka jako nauka zajmująca się prawidłowościami i relacjami występującymi w naszym otoczeniu pozwala przynajmniej na częściowe zrozumienie funkcjonowania otaczającego nas świata. Poznawanie to odbywa się zasadniczo w dwóch kierunkach - w skali makro- i mikroświata. Ich rozróżnienie związane jest z takimi wielkościami fizycznymi jak: rozmiar „r”, masa „m” i czas „t”. Pojmowanie (wyobrażenia) tych światów ułatwiają wprowadzane modele fizyczne. Przybliżane są one przez zjawiska występujące w otoczeniu człowieka.

Rys.1 Logarytmy dziesiętne z wartości rozmiarów, mas i czasów związanych z obiektami obserwowanymi we Wszechświecie wyrażonych w jednostkach SI

Przykładem może tu być model orbitalny (powłokowy) wykorzystywany zarówno do opisu Układu Słonecznego jak i modelu atomu czy jądra atomowego (w wersji kwantowej). Oprócz powyższych wielkości fizycznych nie można nie powiedzieć o energii, która jest pierwotna w stosunku do pozostałych (teorie kosmologiczne). Korelacje między rozmiarami, masą i czasem w potocznym ujęciu przedstawia rysunek 1. Na linii trendu pojawiają się kolejno: cząstki elementarne, atomy, mikroorganizmy, człowiek, Ziemia, Układ Słoneczny, Galaktyka i Wszechświat. Odejście od głównego kierunku prowadzi do nietypowych stanów materii takich jak: czarna dziura ze skrajnie dużą gęstością masy i przestrzeń kosmiczna ze skrajnie małą gęstością masy (poza lokalnymi skupiskami masy).

Uświadomienie sobie miejsca człowieka we Wszechświecie prowadzi z jednej strony do rozbudzenia zainteresowań związanych z jego budową i funkcjonowaniem, z drugiej zaś strony budzi pokorę wobec ogromu (wielkości mas, odległości, przedziałów czasu) oraz bogactwa obserwowanych zjawisk. Nieodparty ciąg umysłu ludzkiego do poznawania otaczającego nas świata prowadził przez tysiąclecia do intelektualnego rozwoju ludzkości. Jest to szczególnie widoczne w ostatnich latach, gdy rozwój fizyki i innych nauk ścisłych przyczynił się do dynamicznego postępu technicznego i towarzyszących mu zmian w takich dziedzinach jak: biologia, medycyna, technika, informatyka i inne. Nikt dziś nie wyobraża sobie życia na przykład bez komputerów i sieci internetowej. Ich powstanie umożliwiło szybki rozwój informatyki. Dzisiaj wszyscy zgodzą się, że najcenniejszym „towarem” jest informacja i jej szybki przekaz. Odzwierciedlenie tego faktu widoczne jest nie tylko w naukach ścisłych, ale i w innych takich jak ekonomia czy nauki humanistyczne. U podstaw wielkiego skoku cywilizacyjnego XX wieku stoją geniusz i żmudna praca fizyków, matematyków i innych przedstawicieli nauk ścisłych.

Spróbujmy teraz określić fizykę jako naukę, czyli zbiór obserwacji otaczającego nas świata i prawidłowości występujących między nimi. Fizyka to podstawowa nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem fundamentalnych i uniwersalnych właściwości materii i zjawisk w otaczającym nas świecie. Właściwości te wiążą się ściśle z podstawowymi oddziaływaniami między elementarnymi składnikami materii obdarzonymi pewnymi wielkościami ogólnymi jak np. masą czy ładunkiem. Badania tych oddziaływań prowadzą do formułowania praw fizycznych w postaci ilościowych związków przyczynowo-skutkowych i bardziej ogólnych zasad zachowania. Dlatego też językiem oraz skutecznym narzędziem fizyki jest matematyka. Odgrywa ona ogromną rolę przy planowaniu, opracowywaniu wyników eksperymentów i tworzeniu syntezy w postaci modeli lub teorii fizycznych.

Fizyka jest ściśle związana z innymi naukami przyrodniczymi. Doprowadziło to do powstania nauk takich jak: geofizyka, astrofizyka, biofizyka, chemia fizyczna, biologia molekularna, fizyka medyczna. Fizyka jest też motorem napędowym i zapleczem teoretycznym dla techniki.

Dążenie fizyków do ujednolicenia opisu zjawisk i oddziaływań fizycznych prowadzi do prób przedstawienia jednolitej teorii nazywanej „Teorią Unifikacji”. Teoria ta ma łączyć ze sobą oddziaływania grawitacyjne, elektromagnetyczne i słabe. Szersza od niej „Teoria Wszystkiego” ma uwzględnić również oddziaływania silne. Poniżej zostanie przedstawiony zarys Teorii „Wielkiego Wybuchu” (Big Bang -BB), który być może ułatwi czytelnikowi zrozumienie jedności świata widzianego w ogromnej różnorodności form odbieranych przez naszą świadomość.

Rozwój obserwacji astronomicznych, fizyki kwantowej i relatywistycznej oraz fizyki cząstek elementarnych doprowadził do powstania hipotezy dotyczącej powstania naszego wszechświata. Potwierdzana wnioskami z obserwacji astronomicznych Teoria „Wielkiego Wybuchu” (np. odkrycie promieniowania tła) znajduje coraz większe rzesze swoich zwolenników. Nadmienić należy także, że w 1954 roku została uznana przez Watykan jako niesprzeczna z doktryną Kościoła.

Według tej teorii przed miliardami lat cały wszechświat skupiony był w pierwotnej osobliwości o rozmiarze znikomo małym (1 jednostki umownej - 1 j.u.) - o ile to coś znaczy. Stan ten charakteryzował się ogromną gęstością materii, przekraczającą kryterium Plancka , które w przeliczeniu na gęstość masy
wynosi 10⁹⁷ kg/m³. Jej związek z pozostałymi stałymi uniwersalnymi i uzyskany z analizy wymiarowej przedstawiany jest w postaci:

,

gdzie: c- prędkość światła w próżni, G - stała grawitacyjna, h - stała Plancka.

Rys.2 Ekspansja wszechświata po Wielkim Wybuchu (BB)

Można powiedzieć, że poniżej progu Plancka nie istniały takie wielkości jak: czas, przestrzeń, masa, ładunek. Istniejące wtedy „pracoś” wiązane było przez jakieś pierwotne oddziaływanie. Przekroczenie progu Plancka zapoczątkowało gwałtowne przyspieszenie ekspansji związane z powstaniem „naszego” czasu, przestrzeni i cząstek elementarnych obdarzonych masą (cóż za brak symetrii). Okres ten charakteryzował się przyspieszaniem ekspansji rozmiarów przestrzeni o 50 rzędów od BB. Zwany jest on epoką inflacji (tu nazwano ją - inflacja I dla odróżnienia inflacji II - rysunek 2).

Powstanie odpowiedniej ilości szeroko rozumianych cząstek elementarnych umożliwiło powstanie atomów wodoru. Ich ogromne ilości oraz fluktuacje masy w przestrzeni prowadziły do powstawania skupisk materii a po przekroczeniu pewnych wartości gęstości, ciśnienia i temperatury do ich syntezy termojądrowej czyli do powstania gwiazdy. Proces ten wiązał się z tworzeniem się cięższych jąder atomowych i emisją wielkich ilości energii unoszonej przez fotony, cząstki elementarne oraz inne składniki promieniowania kosmicznego. Po wypaleniu się paliwa do reakcji jądrowych gwiazdy kończyły swój żywot jako karły, supernowe, gwiazdy neutronowe lub czarne dziury. Końcowy etap wiązał się z wyrzuceniem w przestrzeń kosmiczną ich powłoki zawierającej jądra lub atomy pierwiastków cięższych. Te „kosmiczne śmieci” służyły z kolei do tworzenia kolejnych pokoleń gwiazd i układów planetarnych. Tak prawdopodobnie powstał Układ Słoneczny, w którego centrum „zapaliło się” Słońce, a z pozostałości powstały planety i ich księżyce oraz komety.

Obecne obserwacje astronomiczne i obliczenia prowadzą do wniosku, że jesteśmy aktualnie świadkami kolejnego etapu przyspieszenia ekspansji wszechświata (inflacja II). Fakt ten wiązany jest z tzw. „ciemną materią” oraz jej grawitacyjnym odpychaniem i budzi wątpliwości interpretacyjne. A może wystarczyłoby bardziej symetrycznie podejść do procesu powstawania materii z energii („praczegoś”) po przekroczeniu progu Plancka.

Kolejnym czynnikiem mającym wpływ na interpretację założeń teorii BB jest teoria względności. Ogromną zasługą Szczególnej teorii względności jest m.in. relatywizacja odległości, prędkości, masy i czasu oraz powiązanie zmiennych przestrzennych i czasowych w tzw. czasoprzestrzeni Minkowskiego. Zasługą Ogólnej teorii względności jest z kolei powiązanie masy z zakrzywieniem przestrzeni. Przykład takiego zakrzywienia w pobliżu obiektu do bardzo dużej masie M przedstawia rysunek 3. Widać z niego, że obliczenie promienia orbity z jego obwodu daje zupełnie inną wartość niż odległość od centrum siły grawitacyjnej.

Rys.3 Zakrzywienie przestrzeni w pobliżu wielkiej masy M (np. czarnej dziury)

Innym, ważnym zagadnieniem dotyczącym budowy wszechświata jest pytanie: czy jest on ograniczony i skończony? Rysunek 4 przedstawia modele dwóch wszechświatów nieskończonych. Jeden w postaci koła jest ograniczony i drugi w postaci prostej nieograniczony. Nasz sposób pojmowania przestrzeni (trzy wymiary zamiast jednego) prowadzi nas intuicyjnie do wyboru drugiej wersji. Widzimy, że dla obu modeli każdemu punktowi jednego zbioru możemy przyporządkować punkt z drugiego zbioru. Ale jaki ma to związek z ograniczonością wszechświata? Otóż przyjmuje się, że nasza 3-wymiarowa przestrzeń jest zakrzywiona. Kwantowe modele przestrzeni narzucają też warunek tożsamości osobliwości początkowej i końcowej. Warunek ten spełnia model świata ograniczonego. Astronauta rozpoczynający swoją wędrówkę po prostej w przestrzeni 3-wymiarowej poczynając od punktu środkowego wróci do niego po dostatecznie długim czasie.

Rys.4 Nieskończony wszechświat i jego cykliczność

Na rysunku 4 przeanalizowano przykład jednowymiarowy odpowiednik naszej przestrzeni 3-wymiarowej. Rysunek 5 przedstawia powyższą cykliczność dla „płaszczaka” poruszającego się po modelu wszechświata w postaci opony o otworze środkowym zredukowanym do punktu. Dla takiego obserwatora spełniony jest warunek tożsamości osobliwości początkowej i końcowej.

Jeśli założymy, że środek odpowiada BB to otrzymujemy również model pulsującego wszechświata. W modelu tym, wg teorii BB po okresie ekspansji powinien nastąpić okres zapadania się wszechświata i powtórzenie cyklu. Z poniższego rysunku widać, że wcale nie musi wystąpić „ruch wsteczny”. Kontrakcja będzie tu naturalną konsekwencją ekspansji i zakrzywienia przestrzeni.

rys. 5 Model cykliczności wszechświata w postaci „opony” z centralnym punktem

zawierającym osobliwość początkową tożsamą z osobliwością końcową

Powstaje pytanie: po co mamy uczyć się fizyki skoro na samym początku mamy tyle pytań i wątpliwości co do powstania, budowy i ewolucji wszechświata. Odpowiedź jest prosta. Czas naszego życia w porównaniu z czasami ewolucji życia na Ziemi (nie mówiąc już o epokach kosmologicznych) jest tak mały, że aby pojedynczy człowiek mógł funkcjonować w swym środowisku musi poznać reguły na „TU” i „TERAZ”. Chcąc wykonać najprostszą czynność i wykorzystać najprostsze narzędzie a także przewidzieć efekt swego działania musi on posiadać elementarną wiedzę i „kulturę techniczną”. Jest wiele osób upominających się o kulturę humanistyczną . Niestety jest zbyt mało ludzi rozumiejących potrzebę posiadania również odpowiedniej „kultury przyrodniczej”.

Wstęp matematyczny

Poniżej przypomniane zostaną wybrane wiadomości z matematyki mające istotne znaczenie dla posługiwania się językiem przyrody. W otaczającym nas świecie mamy głównie do czynienia z wielkościami fizycznymi posiadającymi wartość i nazywanymi skalarami oraz z wielkościami, do opisu których wymagane jest także, oprócz wartości podanie: punktu zaczepienia, kierunku oraz zwrotu i nazywanymi wektorami. Przykładami skalarów są: masa, czas, energia, moc, ładunek, potencjał, rezystancja, strumień indukcji. Do wielkości wektorowych zaliczamy np.: prędkość, przyspieszenie, pęd, siłę, natężenie i indukcję pola wektorowego.

Wektor
możemy rozłożyć na składowe we współrzędnych prostokątnych na wektory
Ostatnie składowe odpowiadają wektorom w kierunku osi x, y i z (rysunek 6). Wprowadzimy teraz wersory, czyli wektory jednostkowe w kierunkach osi x, y i z oraz oznaczymy je jak na rysunku:
Ponieważ są to wektory o wartości równej 1 możemy je zdefiniować w następujący sposób:

,
,
.

Wykorzystując powyższe równania możemy zapisać wektor
w postaci:

lub skrótowo: (w_x, w_y, w_z).

Rys.6 Rozkład wektora na składowe we współrzędnych prostokątnych

Przypomnimy teraz podstawowe działania na wektorach. Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę oraz mnożyć wektory przez siebie (iloczyn skalarny lub wektorowy). Dodanie wektorów
i
polega na dodaniu odpowiednio ich współrzędnych. Otrzymujemy równanie:

.

Skrótowo można to zapisać za pomocą znaku sumy Σ:

.

Mnożenie wektora przez skalar polega na wymnożeniu jego wszystkich składowych przez tą samą liczbę:

.

Mnożenie wektorów przez siebie może w wyniku dawać skalar i mówimy wtedy o iloczynie skalarnym lub wektor i mówimy wtedy o iloczynie wektorowym. Iloczyn skalarny wektorów
i
to takie działanie, które tej parze wektorów przyporządkowuje liczbę (skalar) c taki, że jego wartość jest równa:

,

gdzie α jest kątem między wektorami. Ponieważ funkcja cosinus jest parzysta to iloczyn wektorowy jest przemienny:

.

Wartość jednego z wektorów pomnożona przez cosα jest równa długości rzutu tego wektora na kierunek drugiego wektora. Tak więc sens geometryczny iloczynu skalarnego jest taki, że jest to iloczyn długości jednego z wektorów i długości rzutu drugiego na kierunek pierwszego. Warto w tym miejscu zauważyć, że w przypadku wersorów iloczyn skalarny tych samych wersorów jest równy 1 a różnych 0.

dla
(cos 0 = 1),

dla
(cos 90^o=0).

We współrzędnych prostokątnych możemy iloczyn skalarny zapisać:

.

Mając wyliczony iloczyn skalarny (ze współrzędnych) i znane długości wektorów można obliczyć cosinus kąta między nimi:

.

Iloczyn wektorowy wektorów
i
to takie działanie, które tej parze wektorów przyporządkowuje wektor
taki, że:

• jego wartość jest równa: c = u·w·sinα ,

• 
  i
  ,

• zwrot wektora
  określamy z reguły śruby prawoskrętnej,

• wektor
  jest funkcją kąta α.

Zauważmy, że w⋅sinα jest długością wysokości w równoległoboku wyznaczonym przez wektory
i
. Oznacza to, że wartość (długość) wektora
jest równa wartości pola powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
.

Mając współrzędne wektorów
i
można wyliczyć współrzędne wektora
przy pomocy wyznacznika:

=
=
.

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy 0 (sin 0^o = 0). Iloczyn wektorowy nie jest też przemienny [sin(-α) = - sinα]. Stąd:

.

Aby nie zniechęcić czytelnika zostaną teraz przedstawione niektóre cechy wielkości pochodnych i pierwotnych występujących w fizyce. Łączą się one z matematycznymi pojęciami pochodnej i całki. Wielkość fizyczną (np. szybkość v - skalar) pochodną w stosunku do danej wielkości fizycznej (np. s - droga liczona w układzie toru) możemy traktować jako szybkość zmian tej drugiej w funkcji zmiennej niezależnej (np. czasu - t). Rysunek 7 przedstawia wykres zależności drogi od czasu s(t).

Rys. 7 Ilustracja interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji

Na rysunku zaznaczono dwa punkty o współrzędnych (t₁, s₁) i (t₂, s₂) oraz odpowiadające im różnice Δs i Δt. Te ostanie dwie wartości pozwalają wyliczyć iloraz różnicowy Δs/Δt równy tangensowi α₁, czyli współczynnikowi kierunkowemu siecznej przechodzącej przez te punkty. Sens fizyczny tego ilorazu różnicowego wyraża średnią szybkość ciała. Jeśli punkt drugi będziemy przesuwać w kierunku pierwszego (t₂→t₁) to wartość ilorazu różnicowego będzie zmierzać do wartości równej tgα, czyli współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji s(t) dla t=t₁. Wielkość tą nazywamy w tym przypadku szybkością chwilową ciała w momencie t₁. Mówimy, że szybkość definiujemy jako pochodną drogi po czasie i zapisujemy:

.

Tak więc nachylenie stycznej do wykresu s(t) w punkcie t₁ jest miarą pochodnej wielkości zależnej s (funkcji s(t)) względem wielkości niezależnej t. Czyli szybkość v jest pochodną drogi s po czasie t. W drugą stronę s jest wielkością pierwotną w stosunku do v. Policzymy teraz drogę s w przedziale od t₁ do t₂. Rysunek 8 przedstawia zależność szybkości od czasu i sposób liczenia drogi.

Rys.8 Sposób liczenia drogi w przedziale od t₁ do t₂ .

Wycinamy cienki pasek powierzchni Δs tak aby można było przyjąć stałą wartość szybkości v. W tym przedziale pole powierzchni Δs będzie równe:

Δs= v Δt .

Wartość całkowitej powierzchni pod wykresem v(t) obliczymy sumując przyczynki Δs_i w przedziale od t₁ do t₂. Chcąc obliczyć dokładną wartość pola powierzchni pod krzywą v(t) musimy przeprowadzić podział na nieskończenie małe elementy ds (ds to Δs→0), a następnie przeprowadzić ich nieskończone sumowanie. Proces matematyczny odpowiadający tej procedurze nazywamy całkowaniem i zapisujemy:

.

Pole powierzchni pod krzywą jest więc miarą wielkości pierwotnej (drogi) w stosunku do wielkości będącej tu zmienną zależną (szybkości).

Relacje między wielkościami pierwotnymi i pochodnymi obrazuje rysunek 9. Ukazuje on również stopniowanie tych pojęć. Zaznaczono na nim pochodną po czasie z szybkości (drugą pochodną z drogi po czasie) jaką jest przyspieszenie.

Rys. 9 Wielkości pochodne i pierwotne w fizyce

W rozdziale 3 przedstawimy podobną do szybkości, ale wektorową wielkość nazywaną prędkością. Jest ona definiowana jako pochodna wektora położenia po czasie.

,

gdzie
jest wektorem wodzącym w układzie odniesienia.

2. Oddziaływania w przyrodzie, zasady zachowania w fizyce

W przyrodzie obserwujemy oddziaływania ciał na siebie przez stwierdzenie zmiany stanu ruchu lub bezruchu ciał. Miarą tego oddziaływania jest siła, która jest wektorową wielkością fizyczną i może zmieniać pęd ciała w określonym czasie. Siła ta zależeć może od różnych własności ciał takich jak: masa (siły grawitacyjne), ładunek (siły elektromagnetyczne). Obszar, w którym rejestruje się takie siły nazywamy polem sił lub polem oddziaływań. Współistnienie tych trzech pojęć obrazuje rysunek 10.

Rys.10 Współistnienie pojęć: oddziaływanie, siła, pole

W przypadku oddziaływań dwóch ciał mówimy o tzw. wymienności źródła i przedmiotu. Jeśli ciało A jest źródłem pola działającego na przedmiot B, to i przedmiot B jest źródłem takiego samego typu pola działającego na ciało A. Obrazuje to rysunek 11.

Rys.11 Wymienność źródła i przedmiotu

Polem grawitacyjnym nazywamy obszar, w którym na umieszczony próbnik z masą (punkt materialny) działa siła, taka że jej wartość jest wprost proporcjonalna do masy ciała. Tak więc źródłem pola grawitacyjnego i cechą, na które ono działa jest masa ciała.

∼m

Dla punktów materialnych o masach M i m (rysunek 12) siła grawitacyjna jest wprost proporcjonalna do wartości każdej masy i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Jej kierunek wyznacza prosta przechodząca przez te punkty, punkt zaczepienia pokrywa się z ciałem na który działa dana siła a zwrot jest skierowany do drugiego ciała.

Rys. 12 Oddziaływanie mas punktowych

Siły grawitacyjne są wzajemnymi siłami przyciągania mas. Cechy te można przedstawić w postaci równania:

,

gdzie stała grawitacyjna G =
.

Jednostką siły jest 1 niuton (1N=1kg⋅1m/s²).

Ponieważ we wzorze na siłę występuje masa przedmiotu, dlatego siłę tą traktujemy jako cechę wektorową przedmiotu umieszczonego w polu grawitacyjnym. Aby uzyskać wektorową wielkość fizyczną będącą cechą pola zdefiniujemy natężenie pola grawitacyjnego
jako stosunek siły grawitacyjnej do masy przedmiotu, na który ona działa.

,
.

Widzimy, że jednostka natężenia pola grawitacyjnego jest taka sama jak jednostka przyspieszenia. Wiąże się to z istnieniem nierozróżnialności sił grawitacyjnych i sił bezwładności.

Wielkością skalarną będącą cechą przedmiotu umieszczonego w polu grawitacyjnym jest energia potencjalna E_p, którą dla punktów materialnych obliczamy z wzoru:

,
.

Aby otrzymać cechę skalarną pola grawitacyjnego - potencjał V_g dzielimy energię potencjalną przez masę przedmiotu:

,
.

Zestawienie cech przedmiotu i pola oraz cech wektorowych i skalarnych przedstawia tabela 1.

Cecha	wektorowa	skalarna
przedmiotu	siła	energia potencjalna Ep
Pola	natężenie pola grawitacyjnego	Potencjał Vg

Tabela: Wektorowe i skalarne cechy przedmiotu i pola grawitacyjnego

W polu grawitacyjnym obowiązuje prawo Gaussa, które wiąże charakterystykę źródła (masę) z charakterystyką pola (z wektorem natężenia pola grawitacyjnego).

We wzorze tym po lewej stronie znajduje się całkowity strumień natężenia pola grawitacyjnego liczony po powierzchni zamkniętej  , a po prawej masa zawarta w tej powierzchni pomnożona przez G. Z wzoru tego wynika, że w środku Ziemi natężenie pola grawitacyjnego ma wartość równą zero.

Wykorzystajmy to prawo do wyznaczenia natężenia i siły grawitacyjnej pochodzących od punktu materialnego (rysunek 13).

Rys. Wykorzystanie prawa Gaussa do wyliczenie natężenia i siły pochodzących od punktu materialnego

Ponieważ kąt między natężeniem i elementem skierowanym powierzchni jest równy 180⁰ a jego cosinus jest równy -1 oraz wartość γ na całej powierzchni jest stała (do wyłączenia przed całkę) stąd pozostaje do wyliczenia całkowita suma wartości elementów powierzchni, która dla powierzchni kuli jest równa 4r². Ostatecznie otrzymujemy równanie:

-γ4r² = 4GM .

Stąd:

,

A po pomnożeniu przez wersor
i masę próbnika m:

.

W równaniu tym, jak powiedziano wcześniej, znak „-„ oznacza, że siła ta ma charakter przyciągający.

Podobny opis pola elektrostatycznego zamieszczono w rozdziale 8. W przypadku tego pola źródłem i przedmiotem działania sił elektrostatycznych są ciała obdarzone ładunkiem elektrycznym.

Pole elektrostatyczne to obszar, w którym na umieszczony próbnik (punkt materialny) z ładunkiem q działa siła
o następujących własnościach:

∼q ,

q→-q ⇒
→ -
.

Podobnie, jak w polu grawitacyjnym, wygląda wzór określający oddziaływanie między ładunkami punktowymi (prawo Coulomba):

,

gdzie
a stała elektryczna
=
.

Brak znaku „-„ oznacza tu, że ładunki jednoimienne się odpychają (zwrot siły zgodny ze zwrotem wersora
.

Analogicznie definiujemy natężenie pola elektrostatycznego i potencjał w oparciu o energię potencjalną ciała (z ładunkiem) umieszczonego w polu elektrostatycznym.

,
,

,
,

,
.

Również w tym polu obowiązuje prawo Gaussa i ma ono postać:

.

Lewa strona określa wartość strumienia indukcji elektrostatycznej
(
) liczonego po powierzchni zamkniętej  a prawa wypadkowy ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni.

Stosując rozumowanie i rachunek jak dla pola grawitacyjnego otrzymujemy wzór na prawo Coulomba.

Polem magnetycznym nazywamy obszar, w którym na poruszające się z prędkością
ciało z niezerowym ładunkiem wypadkowym g działa siła
o następujących własnościach:

∼
,

,

,

.

Własności te określane są przez siłę Lorentza działającą na poruszający się ładunek:

.

Z równania tego wynika, że stałe pole magnetyczne nie wykonuje pracy nad poruszającym się ciałem obdarzonym ładunkiem q. Wynika to stąd, że elementarne przesunięcie ciała jest zgodne z wektorem prędkości
a ten jest prostopadły do
, a wartość pracy liczymy z iloczynu skalarnego siły i przesunięcia, który dla wektorów prostopadłych jest równy zero.

Omówimy teraz zasady zachowania występujące w fizyce. Zasada zachowania wyraża stałość jakiejś wielkości fizycznej lub stanu układu w trakcie określonych procesów fizycznych zachodzących w układzie izolowanym.

1. Zasada zachowania pędu

Zasada ta mówi, że w układzie izolowanym (wypadkowa siła jest równa zero) wypadkowy pęd (
) jest stały (I zasada dynamiki).

Przyjmując, że w układzie są dwa ciała suma ich pędów przed i po oddziaływaniu (sił wewnętrznych) jest taka sama.

Wynika stąd, że suma zmian pędów jest równa zero.

Dzieląc ostatnie równanie przez czas tego oddziaływania otrzymujemy:

lub
.

Ostatnia równość wyraża zasadę akcji i reakcji dla ruchu postępowego ( III zasada dynamiki dla ruchu postępowego).

2. Zasada zachowania momentu pędu

Zasada ta mówi, że w układzie izolowanym wypadkowy moment pędu (
) jest stały.

.

Przeprowadzając podobne do wcześniejszego rozumowanie otrzymujemy:

, lub
.

Ostatnie równanie wyraża zasadę akcji i reakcji dla ruchu obrotowego.

Ponieważ moment pędu, dla układu o symetrycznym rozkładzie gęstości masy, jest równy iloczynowi momentu bezwładności I oraz prędkości kątowej
stąd zasadę zachowania momentu pędu możemy zapisać:

.

3. Zasady zachowania: energii-masy, energii mechanicznej

Zasada zachowania energii mówi, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii jest stała. Mówimy też o zasadzie zachowania energii-masy (zasada zachowania materii), w której uwzględnia się możliwość zamiany energii w masę i odwrotnie. Relację tą przedstawił Einstein w równaniu:

E = m_rc² .

Masa relatywistyczna m_r jest związana z masą spoczynkową m_o prędkością ciała v i prędkością światła c równaniem:

.

Energia niesiona przez foton o częstotliwości f (długości fali ) jest równa:

.

Zgodne z zasadą zachowania energii-masy są też procesy kreacji i anihilacji. Pierwszy z nich polega na przemianie fotonu γ (gamma) w elektron i pozyton, drugi zaś polega na zniknięciu elektronu i pozytonu przy ich zderzeniu oraz powstaniu dwóch fotonów gamma.

Zasada zachowania energii wewnętrznej występuje w termodynamice. Jej konsekwencją jest I zasada termodynamiki, która mówi, że zmiana energii wewnętrznej układu termo-dynamicznego może odbyć się wskutek wymiany energii z otoczeniem w formie pracy W lub w formie ciepła Q.

ΔU = W + Q

W układach mechanicznych występuje zasada zachowania energii mechanicznej E_m. Energia ta jest ona sumą energii kinetycznej E_k i energii potencjalnej E_p. Przykładami jej występowania są rzuty w polu grawitacyjnym i nietłumione drgania harmoniczne. W obu przypadkach występują zamiany jednej formy energii w drugą ale ich suma w postaci energii mechanicznej jest stała.

E_m = E_k + E_p = const

4. Zasada zachowania ładunku elektrycznego

Zasada ta mówi, że w układzie izolowanym wypadkowy ładunek jest stały. Wypadkowy ładunek liczony jest z uwzględnieniem znaku ładunków poszczególnych elementów. Z zasadą tą są również zgodne powyższe procesy kreacji i anihilacji. Z zasady tej wynika też pierwsze prawo Kirchoffa, które mówi, że suma natężeń prądów wpływających jest równa sumie natężeń prądów wypływających z węzła. Z zasady tej wynikają też prawa rozpadów promieniotwórczych α i β:

,

,

gdzie: X - jądro przed rozpadem, Y - jądro po rozpadzie,  - cząstka alfa, e - elektron,
- antyneutrino elektronowe, A - liczba masowa, Z - liczba porządkowa jądra danego pierwiastka.

3. Kinematyka punktu materialnego

Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się ruchem postępowym ciała i jego cechami bez uwzględniania rozmiarów, i masy ciała. Do opisu takiego ruchu wystarczy zbadanie ruchu jednego jego punktu (tzw. „punktu materialnego”, w którym skupiona jest cała masa ciała). Pod pojęciem punktu materialnego rozumiemy ciało o rozmiarach znacznie mniejszych od odległości występujących w danym zagadnieniu. Przykładem takiego punktu materialnego może być zarówno elektron w atomie jak i Ziemia w układzie Słonecznym.

1. Układy odniesienia

Aby mówić o stanie kinematycznym ciała musimy podać jego położenie w jakimś układzie odniesienia. Położenie to określa tzw. wektor położenia lub wektor wodzący położenia. Najczęściej stosowanymi 3-wymiarowymi układami odniesienia są: układ współrzędnych prostokątnych, układ cylindryczny (lub biegunowy) i sferyczny. Rysunek 14 przedstawia te trzy układy i sposoby przeliczania współrzędnych na współrzędne prostokątne.

Rys 14 Układy współrzędnych: prostokątny, cylindryczny i sferyczny

x = r cosϕ x = r sinθ cosϕ

y = r sinϕ y = r sinθ sinϕ

z = z z = r cosθ

Łatwo sprawdzić, że we wszystkich układach:

x² + y² + z ² = r ².

Ruch ciała to nic innego jak zmiany położenia ciała (wektora wodzącego) w czasie
. Tor ruchu to wykres przestrzenny tej funkcji lub inaczej mówiąc zbiór kolejnych punktów, w których znajduje się ciało z upływem czasu. Ruch ciała możemy podzielić na ruch postępowy i ruch obrotowy bryły.

3.2. Ruch postępowy i obrotowy

Ruch postępowy to taki ruch, w którym nie zmienia się orientacja ciała w przestrzeni (np. ruch postępowy Ziemi wokół Słońca w ciągu roku). Ruch obrotowy to taki ruch, w którym potrafimy wskazać przynajmniej chwilową oś obrotu (oś obrotu to zbiór punktów nieruchomych). Mówimy wtedy także o osiowo symetrycznym polu prędkości punktów ciała materialnego. Przykładem tego ostatniego może być ruch wirowy Ziemi wokół własnej osi.

3.3. Prędkość, pęd, przyspieszenie

Podstawową wielkością kinematyczną opisującą ruch postępowy ciała jest prędkość
będąca pochodną wektora wodzącego
po czasie. Możemy zapisać wzór na prędkość średnią:

,

oraz na prędkość chwilową:

lub we współrzędnych prostokątnych:

,
,
.

W układzie cylindrycznym (3-wymiarowym) lub radialnym (2-wymiarowym) można określić składowe prędkości: radialną
(wzdłuż promienia wodzącego
) i transwersalną
(prostopadłą do promienia wodzącego
).

Uwzględniając zapis wektorowy otrzymujemy:

,
.

Pamiętajmy, że z prędkością związany jest pęd ciała równy iloczynowi masy i prędkości ciała (
).

Wielkością pochodną w stosunku do prędkości jest przyspieszenie
informujące o szybkości zmian wektora prędkości w czasie. W układzie współrzędnych prostokątnych:

oraz

.

We współrzędnych biegunowych otrzymujemy przyspieszenie radialne:

i transwersalne:

.

Ostatni składnik przyspieszenia związany jest z siłą Coriolisa odpowiadającą za podmywanie brzegów rzek płynących z prędkościami posiadającymi niezerowe składowe wzdłuż południka.

Można również przedstawić współrzędne w układzie środka krzywizny toru. Otrzymujemy wtedy składową normalną
(wzdłuż promienia krzywizny R) i styczną
(wzdłuż stycznej do toru).

,
.

Rozkład przyspieszenia na składowe w obu układach obrazuje rysunek 15.

Rys. 15 Rozkład przyspieszenia na składowe biegunowe i w układzie środka krzywizny

Rozpatrzymy teraz przypadek ruchu po okręgu ze stałą prędkością. Ponieważ wartość promienia jest stała dlatego składowa radialna prędkości jest równa zero. Składowa styczna prędkości jest równa:

,

a składowe przyspieszenia:

,

(pamiętając, że
).

Rys. 16 Prędkości i przyspieszenia w ruchu po okręgu

Ostatnią składową przyspieszenia w zapisie wektorowym można przedstawić (sprawdź zgodność kierunków i zwrotów na rysunku 16):

.

Przyspieszenie średnie liczymy podobnie jak prędkość średnią:

.

Mając podane definicje prędkości i przyspieszenia można przeprowadzić podział na różne rodzaje ruchu postępowego (analogicznie - obrotowego). Podział taki dla ruchu postępowego przedstawia rysunek 17.

W postępowym ruchu jednostajnie zmiennym szybkość (prędkość w ruchu prostoliniowym) oraz drogę obliczamy z wzorów:

,

.

Analogiczne wzory stosujemy dla obrotowego ruchu jednostajnie zmiennego.

Rys. 17 Podział ruchu postępowego

3.4. Układy inercjalne i nieinercjalne

Stwierdziliśmy, że aby mówić o ruchu trzeba ustalić układ odniesienia, w którym będziemy opisywać ruch. Wyobraźmy sobie dwa układy odniesienia. Jeden nieruchomy mający początek w punkcie O i drugi poruszający się ruchem postępowym względem pierwszego w kierunku osi OX ze stałą prędkością unoszenia
i mający początek w punkcie O' (rysunek 18).

Rys. 18 Ruch ciała w dwóch układach odniesienia

Wektory wodzące w układzie ruchomym
i w układzie nieruchomym
są ze sobą powiązane wektorem położenia układu ruchomego w układzie nieruchomym
.

Obliczając obustronnie pochodne otrzymujemy względność ruchu na poziomie prędkości ciał:

.

Policzenie kolejnej pochodnej prowadzi do związku między przyspieszeniami:

.

Wyliczając z ostatniego równania
i mnożąc obustronnie przez masę otrzymamy związek między siłami rejestrowanymi w obu układach odniesienia:

,

gdzie siła bezwładności:

.

W obu układach występuje siła rzeczywista
(posiadająca rzeczywiste źródło w postaci konkretnego ciała fizycznego). W układzie ruchomym rejestrowana jest także pozorna siła bezwładności, która nie ma realnego źródła w postaci jakiegoś ciała a pojawia się wskutek rachunkowych przekształceń związku wektorów wodzących (przejścia z jednego układu odniesienia do drugiego). Chcąc doprowadzić do jednakowej postaci równania ruchu w obu układach odniesienia:

należy przyjąć, że siła bezwładności jest równa zero. Warunek ten jest równoważny założeniu, że prędkość unoszenia jest stała. Tak więc możemy powiedzieć, że oba układy są równoważne w opisie ruchu - czyli inercjalne względem siebie gdy nie rejestrujemy w nich sił bezwładności lub inaczej mówiąc gdy poruszają się względem siebie ze stałą prędkością unoszenia (oczywiście także gdy są nieruchome względem siebie).

Z siłami bezwładności mamy do czynienia na każdym kroku (ruszający samochód lub winda, jazda na wirażu, wirówki, karuzele itd.). Wiele nieporozumień budzi pojęcie ciężaru. Dla wyjaśnienia rozważmy stan nieważkości czyli stan braku siły nacisku na podłoże (np. wagę). Ciężar ciała w tym przypadku jest równy zero chociaż działa na niego siła grawitacji. Tak więc na ciężar składają się siła grawitacji i rejestrowane w układzie nieinercjalnym siły bezwładności. Fakt ten (i elipsoidalny kształt Ziemi) powoduje różny ciężar tego samego ciała na różnych szerokościach geograficznych. Na równiku, przeciwna do siły grawitacyjnej, siła odśrodkowa (wynikająca z ruchu wirowego Ziemi) najbardziej wpływa na zmniejszenie mierzonego ciężaru.

1. Ruch w polu grawitacyjnym, rzuty

Na zakończenie tego rozdziału przeanalizujemy ruch ciała w polu grawitacyjnym (rzut ukośny). Jest to doskonały przykład na zastosowanie zasady niezależności ruchów. Mówi ona, że ruch ciała można analizować niezależnie wzdłuż różnych kierunków. Pomijając opory ruchów można powiedzieć, że ciało będzie poruszać się w kierunku poziomym ruchem jednostajnym prostoliniowym natomiast w pionie ruchem jednostajnie zmiennym (rysunek 19).

Rys. 19 Rzut ukośny

Zapisując współrzędne x i y jako funkcje czasu otrzymujemy:

,

.

Wyeliminowanie z nich czasu prowadzi do równania y(x) będącego równaniem paraboli z gałęziami skierowanymi w dół.

.

Z równania tego można wyliczyć zasięg „z” w rzucie ukośnym,

oraz stwierdzić, że maksymalny zasięg uzyskujemy dla kąta  o wartości 45^o (sin2α=1).

3.6. Elementy teorii względności

W poprzednich rozdziałach poznaliśmy takie pojęcia jak: układ odniesienia, ruch względność ruchu, układy inercjalne i nieinercjalne. Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie układu odniesienia, w którym ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli wypadkowa działających na niego sił jest równa zero. Układy nieruchome lub poruszające się ze stałą prędkością względem takiego układu odniesienia nazywamy układami inercjalnymi względem siebie. Zakładając, że układ ruchomy O' porusza się z prędkością unoszenia u w kierunku osi x względem nieruchomego układu O (patrz rozdział 3.4) otrzymujemy transformację Galileusza dla współrzędnych prostokątnych:

x' = x - ut,

y' = y,

z' = z,

t' = t.

Różniczkując pierwsze równanie po czasie otrzymujemy znany z mechaniki klasycznej związek między prędkościami:

.

Kolejna pochodna po czasie daje związek między przyspieszeniami:

.

Mnożąc ostatnie równanie przez masę ciała uzyskujemy związek między siłą
rejestrowaną w układzie nieinercjalnym a siłą rzeczywistą
(posiadającą konkretne źródło w postaci jakiegoś ciała) oraz pozorną siłą (siłę bezwładności)
. Pochodzenie tej ostatniej wynika z przyspieszenia ruchu jednego układu względem drugiego i nie wiąże się z istnieniem rzeczywistego jej źródła.

Zauważmy, że w transformacji Galileusza milcząco zakładamy niezmienniczość takich wielkości jak: czas i masa oraz nie ograniczamy możliwości dodawania prędkości.

Zastanowimy się teraz nad możliwością (szybkością) przekazu informacji (energii). Najszybszym znanym nam nośnikiem jest w tym przypadku światło. Przypomnijmy sobie teorię Wielkiego Wybuchu (BB). Posadźmy obserwatora bez masy na fotonie, który powstał po przekroczeniu progu Plancka i poruszał się bez przeszkód razem z horyzontem wszechświata. Patrząc przed siebie obserwator „widzi nic za horyzontem”. Obracając się do tyłu widzi to co było na początku fazy I inflacji tuż po BB. Sytuacja ta wiąże nie tylko osobliwość początkową z końcową ale uświadamia nam szczególną rolę transmisji informacji za pomocą światła. Postawiono pytanie dotyczące prędkości światła w różnych układach odniesienia. Rysunek 20 przedstawia doświadczenie Michelsona-Morleya mające wyznaczyć prędkość światła w różnych układach odniesienia.

Rys.20. Doświadczenie Michelsona-Morleya (M-M - Sz.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna)

Uzyskane wyniki świadczyły o tym, że prędkość światła (w próżni) jest stała we wszystkich układach inercjalnych i nie obowiązuje prawo składania prędkości wynikające z transformacji Galileusza.

Wprowadźmy do transformacji Galileusza współczynnik K (M.Sawicki, Elementy teorii względności) zależny od prędkości obiektu i o wartości zmierzającej do 1 dla małych wartości prędkości. Zapiszmy wzory transformujące współrzędną x dla przeciwnych prędkości
:

x = K (x' + ut'),

x' = K (x - ut).

Uwzględniając stałość prędkości światła:

x = ct,

x' = ct'.

Wstawiając t i t' do poprzednich wzorów otrzymujemy:

x = K (x' +
x') = Kx' (1+
) ,

x' = K (x -
x) = Kx (1-
)

gdzie
=
. Mnożąc stronami ostatnie równania otrzymujemy:

x x' = K² x x' (1 -
²),

.

Współczynnik K spełnia spełnia powyższy postulat. K zmierza do 1 przy wartości prędkości u znacznie mniejszej od prędkości światła w próżni (
.

Ponieważ
, stąd

,

.

Tak więc transformacja Lorentza ma postać:

,

y' = y,

z' = z,

.

Sprawdźmy teraz jakie są konsekwencje transformacji Lorentza dla takich niezmienników klasycznych jak: długość, czas, masa i składanie prędkości.

Niech w układzie odniesienia O długość pręta wynosi l, a w układzie O' - l'.

l = x₂ - x₁

l' = x₂' - x₁'

Z transformacji Lorentza:

,

,

stąd:

.

Ponieważ współrzędne końców pręta zmierzono w układzie O' w tym samym czasie stąd t₂'=t₁'. Momenty t₁ i t₂ wyznaczymy wykorzystując transformację Lorentza.

,

Z porównania obu czasów otrzymujemy:

,

a po wstawieniu do wzoru na l':

.

Ponieważ l = x₂-x₁ otrzymamy ostatecznie:

.

Oznacza to, że ze wzrostem prędkości układu O' (
) obserwujemy (obserwator w układzie O) skrócenie długości pręta. Zależność tą ilustruje rysunek 21.

Rys.21. Relatywistyczne skrócenie długości

Przy obliczaniu długości l' zakładaliśmy stałość czasu t₂'=t₁'. Przy wyznaczaniu upływu czasu musimy założyć stałość położenia x₂' = x₁', w którym obserwator w układzie O' zmierzy odstęp czasu t'=t₂'-t₁'. Wykorzystując odwrotną transformację Lorentza dla czasu (
):

,

i uwzględniając stałość położenia w O' otrzymamy:

t = t₂ - t₁ =
.

Wyobraźmy sobie wzrost kaktusa zabranego na statek kosmiczny i wysłanego w przestrzeń z dużą prędkością (
). W tej sytuacji normalny, dla kapitana statku wzrost roślinki będzie trwał dla obserwatora na Ziemi znacznie dłużej. Obserwator na Ziemi stwierdzi spowolnienie czasu wzrostu iglastego stwora. Może się zdarzyć, że kaktus wracając na Ziemię nie osiągnie wieku dojrzałego, podczas gdy na Ziemi wyginą ostatnie pokolenia kaktusów.

Wykorzystajmy odwrotną transformację Lorentza do uzyskania wzoru na dodawanie prędkości (np. w kierunku osi x).

,

Ponieważ
, stąd:

.

Z wzoru na v_x wynika, że jeśli wartości obu prędkości v_x' oraz u są równe c to prędkość w układzie O jest także równa c (a nie 2c).

Okazuje się również, że dla ciał poruszających się z dużymi prędkościami należy zamiast masy spoczynkowej m uwzględniać masę relatywistyczną m_r , gdzie:

.

Z wzoru tego wynika, że masa relatywistyczna rośnie gwałtownie do
przy wartości prędkości zmierzającej do c co ilustruje rysunek 22.

Rys.22. Masa relatywistyczna w funkcji prędkości

Przypomnijmy sobie zasadę zachowania materii z rozdziału 2. Mówi ona o zachowaniu energii wynikającej z ruchu ciała i energii odpowiadającej masie ciała w układzie izolowanym. Przekształćmy wzór na masę relatywistyczną. Podnieśmy do kwadratu i mnóżmy obie strony przez mianownik.

m_r² (1-
) = m²

W powyższym wzorze przyjmujemy, że v = u, tzn. wiążemy układ O' z poruszającym się ciałem. Mnożąc to równanie przez c⁴ uzyskujemy związek:

m_r²c⁴ = m²c⁴ + m²v²c².

Ponieważ mv jest równe pędowi ciała p, m_rc² całkowitej energii relatywistycznej E_r ciała a mc² energii odpowiadającej masie spoczynkowej ciała otrzymujemy:

E_r² = m²c⁴ + p²c².

Wzór ten łączący trzy rodzaje energii łatwo zapamiętać bazując na twierdzeniu Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego (rysunek 23).

Rys.23. Graficzna ilustracja związku między energią relatywistyczną i masy spoczynkowej oraz pędem ciała

Uwzględniając efekty relatywistyczne wiążące odległość i czas z prędkością obiektu a także wyróżnioną wartość prędkości światła w próżni wprowadza się tzw. cztero-wymiarową przestrzeń Minkowskiego. Każde zdarzenie posiada w niej 3 współrzędne przestrzenne x, y, z i jedną czasową ict. Rysunek 24 przedstawia odpowiedni diagram Minkowskiego. Dla uproszczenia zaznaczono na nim współrzędną przestrzenną jako r a czasową jako współrzędną zespoloną ct.

Rys.24 Przestrzeń Minkowskiego

Punkt 0 oznacza teraźniejszość. Zdarzenia leżące wewnątrz górnego stożka odpowiadają przesyłaniu informacji lub poruszaniu się w przestrzeni z dozwolonymi prędkościami v<c. Stożek ten jest ograniczony linią świata fotonu czyli obiektu poruszającego się z maksymalnie dopuszczalną prędkością.

Inwariantem I (niezmiennikiem) w takiej czasoprzestrzeni jest:

I = s² = r² - c²t².

Dla światła jego wartość wynosi 0. Oznacza to, że światło i jego prędkość wyznaczają granice (linie świata), do których mogą dotrzeć obiekty fizyczne. Kolejny raz uwidacznia się rola światła w rozwoju i możliwościach poznawczych wszechświata.

Ciekawym i fundamentalnym zagadnieniem jest czas traktowany jako następstwo obserwowanych zjawisk. Popatrzmy na sytuację przedstawioną na rysunku 25. Wyobraźmy sobie dwie gwiazdy wybuchające w punktach: A i B. Wybuchają one w tym samym momencie dla obserwatora O₁ znajdującego się między nimi. Przyjmując stałą wartość prędkości światła stwierdzimy, że zjawisko jako równoczesne będzie rejestrowane przez wszystkich obserwatorów znajdujących się w płaszczyźnie symetrii punktów A i B. Dla wszystkich obserwatorów znajdujących się po stronie ciała A wcześniej wybucha gwiazda A (ze względu na krótszy czas dotarcia sygnału świetlnego). Analogicznie dla obserwatorów znajdujących się po stronie ciała wcześniej wybucha gwiazda B.

Rys.25 Relatywizm chronologii zdarzeń

Przedstawiony wyżej relatywizm chronologii zdarzeń może prowadzić do wątpliwości co do ustalonego (założonego) kierunku upływu czasu (strzałki czasu). Podobnie jednoczesne (z dużej odległości) zdarzenia w punktach A i B będą odbierane przez obserwatora znajdującego się na prostej przechodzącej przez te punkty w różnej kolejności, w zależności od tego, po której stronie źródeł będzie znajdował się obserwator.

4. Dynamika bryły sztywnej

W poprzednim rozdziale omówiono ruch postępowy ciała oraz niektóre aspekty dynamiki punktu materialnego. Poniżej przedstawione zostaną niektóre własności ruchu obrotowego bryły sztywnej. Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym nie zmieniają się wzajemne odległości punktów bryły w trakcie jej ruchu. Dynamika bryły sztywnej zajmuje się ruchem ciała z uwzględnieniem jego masy i rozkładu masy w ciele oraz działających na niego sił.

• Ruch obrotowy

Przypomnijmy, że ruch obrotowy to taki ruch, w którym potrafimy wskazać przynajmniej chwilową oś obrotu. W ruchu obrotowym ciała oprócz mas poszczególnych jego elementów ważne są również ich odległości od osi obrotu. Z faktem tym wiążą się podstawowe pojęcia: środek masy i środek ciężkości. Pierwszy z nich określa punkt, wokół którego jest równomiernie rozmieszczona masa bryły.

Rys. 26 Wyznaczanie środka masy i środka ciężkości dla bryły sztywnej

Środek ciężkości określa wzór:

.

Wzory te odnoszą się do układu punktów materialnych. W przypadku ciała ciągłego zamiast sum należy wpisać całki po objętości bryły.

Z ostatniego wzoru wynika, że jeśli g_i = g = const (pole grawitacyjne jest jednorodne) to po podzieleniu licznika i mianownika przez g otrzymujemy wzór na położenie środka masy. Tak więc w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Rys. 27. Środek masy dwóch punktów materialnych.

Rozpatrzmy teraz przykład dwóch punktów materialnych o masach M i m (rysunek 27).

Obliczmy teraz współrzędną środka masy układu a oraz wartość b.

Dzieląc stronami powyższe równania otrzymujemy:

.

Wynika stąd, że odległości środka masy od poszczególnych ciał układu są w odwrotnej proporcji do ich mas.

W ruchu obrotowym definiujemy prędkość kątową i przyspieszenie kątowe jako pochodne kąta skierowanego. Kąt skierowany to wektor o wartości równej wartości kąta obrotu, jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny kąta płaskiego a zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej (rysunek 28).

Rys. 28 Kąt skierowany

Jego pochodne po czasie określają prędkość kątową
i przyspieszenie kątowe
:

.

Są one odpowiednikami prędkości
i przyspieszenia
w ruchu postępowym.

W ruchu obrotowym zamiast pędu
i siły
definiujemy moment pędu
i moment siły
jako iloczyn wektorowy promienia i pędu lub siły.

4.3. Momenty bezwładności, twierdzenie Steinera

Obliczmy teraz energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym. Załóżmy, że bryła składa się z „n” punktów materialnych o masach m_i odległych o r_i od osi obrotu. Pamiętajmy też, że dla bryły sztywnej prędkości kątowe wszystkich elementów muszą być jednakowe i że prędkość liniowa w ruchu po okręgu równa jest iloczynowi prędkości kątowej i promienia.

Wielkość oznaczoną symbolem I nazywamy momentem bezwładności względem osi obrotu a jego wartość obliczamy sumując iloczyny mas i kwadratów ich odległości od osi obrotu. Dla bryły ciągłej napiszemy:

.

Wykorzystując moment bezwładności i zakładając symetryczny rozkład gęstości masy względem osi obrotu możemy zapisać wzór na moment pędu:

.

Powyżej mówiliśmy o osiowym momencie bezwładności. W fizyce spotykamy też momenty bezwładności względem płaszczyzny, punktu i tzw. momenty dewiacyjne odpowiadające za reakcje w łożyskach mocujących oś obrotu (np. „bicie” nie wyważonego koła samochodowego). Rodzaje i sposoby liczenia tych momentów bezwładności przedstawia tabela 2.

moment bezwładności	odległość	I=
względem osi np. x
względem np. płaszczyzny xy	r = z
względem pn. 0
dewiacyjny np. xy	-

Tabela 2 Rodzaje i wzory do obliczenia momentów bezwładności

Dla osiowo symetrycznych brył otrzymujemy momenty bezwładności w postaci iloczynu stałej k, masy bryły m i kwadratu promienia (lub długości). Przykładowo dla krążka płaskiego lub walca
dla pręta
i dla kuli
(dla osi obrotu przechodzących przez środek masy).

Obliczając energię kinetyczną toczącego się ciała musimy wybrać układ odniesienia. Jeśli wybierzemy układ związany ze środkiem masy to energia kinetyczna będzie się składała z energii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej ruchu obrotowego wokół osi obrotu O. Jeśli natomiast wybierzemy układ związany z chwilową osią obrotu O' to będziemy mieć tylko jeden składnik związany z energią kinetyczną ruchu obrotowego (ponieważ prędkość chwilowej osi obrotu = 0).

O:
, O':
.

Porównując wzory oraz uwzględniając związek miedzy prędkością liniową i kątową (v=r) oraz mnożąc przez 2 otrzymujemy:

.

Stąd otrzymujemy twierdzenie Steinera:

.

Twierdzenie to mówi, że moment bezwładności bryły I względem osi 0' jest równy sumie jej momentu bezwładności I₀ względem osi 0, równoległej i przechodzącej przez środek masy w odległości r od osi 0' oraz iloczynu masy bryły i kwadratu tej odległości.

Poniżej zostanie przedstawiony prosty przykład obliczania wzoru na moment bezwładności bez konieczności całkowania dla wybranych brył. Policzymy moment bezwładności pręta. Powinniśmy otrzymać wzór w postaci I=kml². Podzielimy pręt o masie m i długości l na dwie części o masach m/2 i długościach l/2 (rysunek 29).

Rys.29. Obliczanie momentu bezwładności pręta

Moment bezwładności całego pręta i jego połówek będzie miał podobną postać. Całkowity moment bezwładności będzie sumą momentów dwóch połówek liczonych dla środkowej osi (tu zastosujemy twierdzenie Steinera).

,

Porównując oba wzory wyznaczamy:

.

Rysunek 30 przedstawia wykorzystanie znanego wzoru na moment bezwładności ciała do policzenia momentu bezwładności bryły o bardziej złożonym kształcie (o wyższym wymiarze). Można wykorzystać wzór na moment bezwładności pierścienia do wyliczenia momentu bezładności krążka. Ten ostatni można wykorzystać do określenia wzorów na moment bezwładności walca lub kuli. Poniżej przedstawiono taki rachunek dla krążka płaskiego.

Rys.30. Wyznaczanie momentu bezwładności krążka

Moment bezwładności wycinka o szerokości dr jest równy iloczynowi jego masy dm i kwadratu jego promienia r² (jak dla punktów materialnych przy stałym r).

Po uproszczeniu prawej strony całkujemy powyższe równanie:

i otrzymujemy:

.

4.4. Zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego

Bardzo ważnymi są równania dynamiki wiążące siłę albo moment siły odpowiednio ze zmianami pędu albo momentu pędu:

,

.

Pierwsze z nich prowadzi do zasad dynamiki dla ruchu postępowego.

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą (wypadkowa siła równa jest 0 i powyższa pochodna = 0) to pęd ciała (układu ciał) jest stały. Jeśli założymy stałość masy to można powiedzieć, że ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (prędkość jest stała).

Druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) działa niezrównoważona siła zewnętrzna (wypadkowa sił jest różna od zera) to ciało zmienia swój pęd wprost proporcjonalnie do działającej siły. Mówimy też, że zmiana pędu ciała jest równa popędowi działającej siły.

Jeśli założymy stałość masy otrzymamy:

.

Można więc wtedy sformułować tą zasadę w postaci: jeśli na ciało działa niezrównoważona siła zewnętrzna to porusza się ono z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność masy.

Trzecia zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły lub wypadkowa sił zewnętrznych jest równa 0 to suma sił wewnętrznych jest równa 0. W przypadku dwóch ciał powiemy, że w układzie izolowanym jeśli ciało A działa na ciało B siłą
to ciało B działa na ciało A siłą
o tej samej wartości i tym samym kierunku lecz przeciwnym zwrocie (siły te różnią się oczywiście również punktami zaczepienia).

Ruch obrotowy opisujemy podobnie jak postępowy zastępując odpowiednie wielkości kinematyczne (dynamiczne) jednego odpowiednikami drugiego ruchu (tabela 3). Proponuję czytelnikowi sformułowanie zasad dynamiki dla ruchu obrotowego.

ruch postępowy	Ruch obrotowy
masa - m	moment bezwładności - I
wektor położenia -	kąt skierowany -
prędkość liniowa -	Prędkość kątowa -
przyspieszenie liniowe -	Przyspieszenie kątowe -
pęd -	moment pędu -
siła -	moment siły -

Tabela 3 Odpowiedniki kinematyczne i dynamiczne ruchu postępowego i obrotowego

Poniżej przedstawiono przykład uświadamiający niezrozumienie zasad dynamiki (przewaga błędnych odpowiedzi). Przy omawianiu siły tarcia statycznego podawany jest często wzór:

T = f_st N,

gdzie: T wartość siła tarcia, f_st współczynnik tarcia statycznego a N nacisk na podłoże. Można zadać pytanie: jaka będzie wartość siły tarcia przy nacisku równym 100N, współczynniku 0,5 i działającej poziomo sile F o wartości 20N (rysunek 31)?

Rys.31. Ilustracja do wyznaczenia siły tarcia statycznego.

Najczęściej podawana jest odpowiedź 50N. Oznacza to, że działamy w prawo siłą 20N a w lewo działa siła 50N. Wypadkowa siła skierowana w lewo nadaje, zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie w przeciwnym kierunku do przyłożonej siły zewnętrznej. To kompletny absurd. Poprawna analiza prowadzi do wniosku, że wartość siły tarcia jest równa 20N i równoważy siłę zewnętrzną. Wartość wypadkowej siły jest wtedy równa 0 i zgodnie z I zasadą dynamiki ciało pozostaje w spoczynku. Oznacza to, że powyższy wzór na siłę tarcia statycznego dotyczy jej maksymalnej wartości, przy której następuje zerwanie statycznego wiązania z podłożem.

T_max = f_st N

4.5. Warunki statyki

W mechanice ważnymi z punktu widzenia warunków konstrukcji maszyn lub budowli są warunki statyki wynikające z warunków równowagi (dla prędkości = 0). Podajemy je z punktu widzenia braku ruchu zarówno postępowego jak i obrotowego.

Najprostszym przykładem zastosowania obu tych warunków jest dźwignia jednostronna.

Rys.32. Dźwignia jednostronna

Z warunków równowagi otrzymujemy równania:

Ponieważ ostatni moment siły jest równy zero (r=0) a pierwsze dwa są przeciwne stąd:

aQ-lF=0,

czyli działająca siła

.

Wynika stąd wniosek, że dla odchylenia takiej belki wystarczy siła tyle razy mniejsza ile razy większe ma ona ramię od ramienia siły
.

Drugi przykład przedstawia bloczek nieruchomy o masie m i promieniu r z zawieszonymi ciężarkami o masach M₁ i M₂ (rysunek33).

Rys.33. Bloczek nieruchomy

Przy rozwiązywaniu tego typu problemów postępujemy zgodnie z umownym algorytmem:

1. zaznaczamy wszystkie siły działające na poszczególne ciała nie zapominając o naciągach, które zaznaczamy parami w punktach styczności linki z najbliższymi ciałami (zawsze w kierunku linki),

2. zaznaczamy obieg dodatni (znak + na rysunku),

3. zapisujemy równania ruchu postępowego wstawiając siły ze znakiem + jeśli są zgodne z wybranym obiegiem i - gdy są przeciwne,

4. zapisujemy równania ruchu obrotowego wstawiając momenty sił ze znakiem + jeśli są zgodne z wybranym obiegiem i - gdy są przeciwne,

5. uzupełniamy układ równań o równanie wiążące przyspieszenia w ruchu postępowym i obrotowym oraz równania na moment bezwładności krążka i ciężary ciał,

6. sprawdzamy liczbę niewiadomych i liczbę niezależnych równań i rozwiązujemy układ równań.

ruch postępowy - M₁ : N₁ - Q₁ = M₁ a

M₂ : Q₂ - N₂ = M₂ a

Ruch obrotowy - rN₂ - rN₁ = Iε

Moment bezwładności - I =
mr²

Związek między przyspieszeniami - ε =

Ciężary - Q₁ = M₁ g

Q₂ = M₂ g

Otrzymaliśmy układ 7 równań na 7 niewiadomych (N₁, N₂, Q₁, Q₂, a, I, ε), z którego możemy obliczyć np. przyspieszenie liniowe układu.

5. Ruch harmoniczny

W poprzednich rozdziałach poznaliśmy dwa rodzaje ruchu wynikające ze stałości (ruch postępowy) lub zmienności (ruch obrotowy) orientacji ciała w przestrzeni. Teraz zajmiemy się ruchem drgającym (drganiami) charakteryzującym się powtarzalnością położenia ciała w czasie. Szczególnym przypadkiem ruchu drgającego są drgania periodyczne charakte-ryzujące się powtarzalnością położenia w równych odstępach czasu (okres T).

s(t) = s(t+T)

5a. Kinematyka ruchu harmonicznego

Bardziej szczególnym przypadkiem jest z kolei ruch harmoniczny (drgania harmoniczne), w którym położenie ciała opisane jest przy pomocy funkcji sinus lub cosinus.

W równaniach tych x oznacza wychylenie z położenia równowagi trwałej, A amplitudę czyli maksymalne wychylenie z położenia równowagi trwałej, nawias nazywamy fazą Φ=ωt+ϕ, a prędkość kątowa ω=2π/T=2πf.

Rys. 34 Drgania harmoniczne

Rysunek 34 przedstawia koralik z masą m zamocowany dwoma sprężynami i wykonujący poziome drgania harmoniczne.

Podstawową własnością ruchu harmonicznego jest fakt, że na ciało wychylone z położenia równowagi trwałej działa siła o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia, w tym samym kierunku i o przeciwnym zwrocie.

Biorąc pod uwagę, że F=ma zapiszemy powyższy związek w postaci równania różniczkowego:

,

którego rozwiązaniem jest równanie
. Obliczenie drugiej pochodnej tego równania i wstawienie jej do równania różniczkowego umożliwia powiązanie współczynnika „k” z masą i prędkością kątową.

Wykorzystując wzór ω=2/T otrzymujemy:

,

lub:

.

Ostatni wzór jest godny zapamiętania gdyż wiele problemów z zakresu tej tematyki sprowadza się do wyznaczenia współczynnika „k” co umożliwia wyliczenie okresu drgań takiego ruchu. Przykładem takiego ruchu może być ruch ciała wrzuconego do tunelu (rysunek 35) wydrążonego w Ziemi wzdłuż jego średnicy (zakładając kulisty kształt Ziemi i stałość gęstości masy).

Rys.35. Ruch w tunelu w Ziemi

Wykorzystując prawo Gaussa obliczymy siłę działającą na ciało o masie m^* będące w odległości r od środka Ziemi.

Ponieważ „m” oznacza masę Ziemi w kuli o promieniu „r” to

,

a po wstawieniu tego związku do poprzedniego wzoru otrzymamy:

.

Oznacza to, że otrzymaliśmy wzór na wartość siły harmonicznej (przeciwnej do wychylenia liczonego od środka Ziemi). Stała stojąca przed r pełni rolę współczynnika k i może służyć do wyznaczenia okresu ruchu.

• Przemiany energii w ruchu harmonicznym

W rozdziale 5.1 wyliczono wzór na prędkość ciała w ruchu harmonicznym. Po wstawieniu go do wzoru na energię kinetyczną otrzymujemy:

.

Obliczmy teraz energię potencjalną powstałą wskutek pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną równoważącą siłę harmoniczną (jako pole powierzchni pod wykresem F(x) - rysunek 36).

Rys.36. Energia potencjalna w ruchu harmonicznym

Wartość energii potencjalnej będzie równa wartości pola powierzchni zaznaczonego trójkąta:

.

Wstawiając podany wyżej wzór na wychylenie x otrzymujemy:

.

Całkowita energia mechaniczna w ruchu harmonicznym nie tłumionym (bez oporów) będzie równa:

.

W ostatniej linijce wykorzystaliśmy jedynkę trygonometryczną i uzyskaliśmy związek, z którego wynika, że energia mechaniczna w tym ruchu jest stała i równa maksymalnej energii kinetycznej lub maksymalnej energii potencjalnej. W ruchu tym mamy więc, podobnie jak w rzucie pionowym do góry przemiany energii kinetycznej w potencjalną i odwrotnie (rysunek 37).

Rys. 37. Przemiany energii w ruchu harmonicznym

5.3. Składanie drgań harmonicznych

Ruch harmoniczny w wybranym kierunku możemy zastąpić ruchem rzutu końca wirującego wektora o długości równej amplitudzie na ten kierunek. Konstrukcję uzyskania przebiegu sinusoidalnego w funkcji czasu przedstawia rysunek 38.

Rys. 38 Konstrukcja wykresu wychylenia w funkcji czasu dla ruchu harmonicznego

Przyjmując do opisu ruchów harmonicznych wirujące wektory można w prosty sposób dokonywać składania takich ruchów odbywających się w jednym kierunku. Rysunek 39 przedstawia dwa takie drgania odbywające się odpowiednio fazami początkowymi:
i
oraz amplitudami: A₁ i A₂. Wirujące wektory, odpowiadające poszczególnym drganiom oznaczono daszkami nad odpowiednimi symbolami.

Rys. 39 Składanie drgań harmonicznych odbywających się w tym samym kierunku

Z rysunku tego wynikają następujące zależności:

,

.

Z ostatniego równania można wyliczyć moduł (długość) wektora wypadkowego czyli amplitudę drgania wypadkowego lub cosinus różnicy kątów między nimi. Składowe amplitudy drgania wypadkowego, jej wartość bezwzględną oraz fazę
można wyliczyć rzutując wektory wyjściowe na kierunki osi x i y oraz wykorzystując wzór na cosinus różnicy kątów.

Innym szczególnym przypadkiem superpozycji (dodawania wektorowego) drgań jest składanie dwóch drgań wzajemnie prostopadłych. Jeśli w tym samym punkcie odbywają się drgania opisane równaniami:

,

,

to po podzieleniu tych równań stronami otrzymamy:

.

Jest to równanie prostej, a właściwie po uwzględnieniu maksymalnych wychyleń równych amplitudzie, równanie odcinka z dodatnim nachyleniem do osi ox. Gdyby przesunięcia fazowe różniły się o π to ze względu na własność funkcji sinus otrzymalibyśmy odcinek o ujemnym nachyleniu do osi x.

Jeśli dwa prostopadłe drgania różnią się amplitudami i fazą o nieparzystą wielokrotność
to otrzymamy zależności:

,

,

a stąd po wyliczeniu sinusa i cosinusa oraz wykorzystaniu jedynki trygonometrycznej:

.

Ostatnie równanie jest równaniem elipsy o półosiach A_x i A_y. Jeśli przyjmiemy równość obu amplitud to otrzymamy równanie okręgu o promieniu równym wartości wspólnej amplitudy. Gdy stosunek częstości drgania pionowego do częstości drgania poziomego jest liczbą wymierną to jako drganie wypadkowe otrzymujemy tzw. krzywe Lissajous (patrz rozdział 11.3).

5.4. Drgania tłumione i wymuszone

Tłumienie jest zjawiskiem uważanym często za szkodliwy efekt oporów występujących w przyrodzie. Jednak są przypadki jego zbawiennego wpływu na maszyny używane przez człowieka. Jednym z bardziej znanych przykładów jest amortyzator samochodowy. Przykład charakterystyki czasowej takiego amortyzatora przedstawia górny wykres na rysunku 40.

Wynika z niego, że silne odkształcenie (przesunięcie koła w pionie) jest szybko kompensowane do wartości równej 0 nie przenosząc się w stronę przeciwną. Dolny wykres przedstawia przypadek słabego tłumienia, w którym drgania odbywają się z malejącą amplitudą.

Rys. 40. Drgania silnie i słabo tłumione

W przyrodzie bardzo ważnym zjawiskiem są drgania wymuszone a szczególny przypadek maksymalnego wzbudzenia nazywany rezonansem mechanicznym. W ogólności rezonans polega na uzyskaniu ekstremalnej wartości parametru związanego z przekazem energii drgań od czynnika wymuszającego (generatora) do czynnika wymuszanego (odbiornika, rezonatora). W przypadku rezonansu mechanicznego uzyskuje się maksimum wzbudzenia objawiające się maksymalną wartością amplitudy drgań. Sytuację tą obrazuje rysunek 41, na którym oś pozioma jest osią częstotliwości
a
oznacza częstotliwość rezonansową odbiornika a A uzyskiwaną amplitudę drgań.

Rys. 41 Maksymalne wzbudzenie w rezonansie mechanicznym

Przykład rezonansu mechanicznego przedstawia rysunek 42. Wzbudzenie lewego wahadła matematycznego prowadzi do maksymalnego wzbudzenia wahadła o tej samej długości (z zatrzymaniem pierwszego) a potem do przeciwnego przekazu energii do wahadła pierwszego (itd.). Obserwuje się również drgania trzeciego wahadła o innej częstości własnej lecz ich amplituda jest niewielka.

Rys. 42. Rezonans mechaniczny wahadeł

Rezonans mechaniczny i rezonans elektromagnetyczny są najważniejszymi zjawiskami fizycznymi występującymi w przyrodzie i wykorzystywanymi w technice do przekazywania informacji (energii) w sposób selektywny.

6. Fale mechaniczne

Fala mechaniczna to rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie ośrodka sprężystego. Jeśli ośrodkiem tym jest powietrze to mówimy o fali akustycznej.

6.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal

Wyobraźmy sobie liniowy ośrodek sprężysty (np. wąż gumowy), który pobudzany jest w jednym punkcie do drgań prostopadłych do osi węża. Wytwarzane w ten sposób drgania przekazywane są przez siły sprężyste występujące w gumie do sąsiednich elementów ciała. Po pewnym czasie dochodzą one do punktu P w którym, jeśli zaniedbać tłumienie, odbywać się będą takie same drgania jak w źródle ale opóźnione w czasie (rysunek 43).

Rys. 43 Fala mechaniczna

Równania ruchu dla źródła i punktu P będą miały postać:

,

.

Różnica czasowa t' związana jest z odległością punktu P od źródła i prędkością rozchodzenia się fali
(t'=l/v). Po wstawieniu do ostatniego równania otrzymujemy:

.

Podstawiając za Tv długość fali
i wprowadzając liczbę falową k lub jej odmianę
=
dostajemy:

.

Ostanie równanie nazywamy równaniem fali. Fale mechaniczne możemy podzielić na poprzeczne i podłużne. W fali poprzecznej drgania ośrodka odbywają się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali (kierunku propagacji fali). W falach podłużnych (np. akustycznych) drgania cząsteczek odbywają się zgodnie z kierunkiem propagacji fali.

6.2. Superpozycja i interferencja

Gdy fale spotykają się w jednym punkcie wypadkowe drganie jest superpozycją (sumą wektorową) drgań pochodzących od poszczególnych źródeł. Szczególnym przypadkiem superpozycji jest interferencja fal spójnych (koherentnych). Warunkiem spójności fal jest stałość w czasie różnicy faz między nimi, czyli:

.

Różnica faz początkowych nie zależy od czasu. Składnik zawierający czas będzie niezależny od czasu gdy różnica częstości będzie równa 0, czyli:

.

Z warunku tego wynika również konieczność stałości: częstotliwości, okresów, długości fal i liczb falowych. Fakt ten zapewnia również stałość w czasie składnika związanego ze współrzędnymi przestrzennymi. Tak więc jako warunek interferencji fal można podać równość częstotliwości drgań źródeł. Rysunek 44 przedstawia dwa źródła Z₁ i Z₂ odległe o l₁ i l₂ od punktu P.

Rys. 44 Interferencja fal

Przy założeniu równych amplitud i zerowych wartości faz początkowych otrzymamy:

,

oraz podstawiając
i
uzyskamy równanie:

.

Otrzymaliśmy równanie ruchu harmonicznego o amplitudzie zależnej od współrzędnych przestrzennych (różnicy odległości od źródeł). Maksymalną wartość amplitudy otrzymamy gdy wartość bezwzględna funkcji cosinus będzie równa 1 (kąt
).

Podstawiając Δl=l₂-l₁ otrzymamy:

.

Tak więc warunkiem wzmocnienia fal jest aby różnica odległości od źródeł była równa wielokrotności długości fali.

Postępując analogicznie i przyjmując zerowanie amplitudy dla wartości cosinus równej 0 (nieparzyste wielokrotności
) otrzymamy warunek wygaszenia (osłabienia): .

6.3. Fale akustyczne

Fale akustyczne to podłużne fale mechaniczne rozchodzące się w powietrzu. Człowiek słyszy te fale w zakresie częstotliwości 16-20 000 Hz. Dźwięki o niższych częstotliwościach (f < 16Hz) nazywamy infradźwiękami a o wyższych (f > 20 000 Hz) ultradźwiękami (rysunek 45).

Te ostatnie wykorzystywane są przez nietoperze do lokalizacji. Znalazły też zastosowania techniczne takie jak: defektoskopia, echolokacja.

Rys. 45 Zakres słyszalności ucha ludzkiego.

Głośność Λ definiujemy ze względu na rejestrację dźwięków przez ucho ludzkie w skali logarytmicznej:

.

I₀ to natężenie dźwięku wzorcowego o częstotliwości 1 kHz i natężeniu 10^-12 W/m². I oznacza natężenie dźwięku tego wzorca słyszanego tak samo głośno jak dźwięk badany o częstotliwości f. Jednostką głośności jest decybel.

6.4. Fale stojące, rezonans

Fala stojąca powstaje w wyniku nałożenia się na siebie drgań pochodzących od fali padającej i poruszającej się w przeciwnym kierunku fali odbitej. Gdy w danym punkcie fale cząstkowe dają wychylenia w tą samą stronę mamy do czynienia ze wzmocnieniem. Miejsce maksymalnego wzmocnienia nazywamy strzałką. Jeżeli w danym punkcie fale cząstkowe dają wychylenia w przeciwną stronę mamy do czynienia ze wygaszeniem. Miejsce wygaszenia nazywamy węzłem. Najprostszym przykładem źródła dźwięku z falą stojącą jest struna zamocowana dwustronnie (rysunek 46). Jej punkty zamocowania muszą oczywiście stanowić węzły powstającej fali stojącej.

Rys. 46 Fale stojące w strunie

Drganie (ton) podstawowe mieści na długości struny połowę długości fali biegnącej
, stąd z wzoru na długość fali otrzymujemy:

,

.

Dla pierwszej harmonicznej (dodatkowy jeden węzeł):

.

Analizując kolejne drgania harmoniczne dochodzimy do związku:

.

Tak więc kolejne, n-te drganie harmoniczne charakteryzuje się częstotliwością n-razy większą od częstotliwości drgania podstawowego.

Wielkość fizyczna jaką jest częstotliwość jest odpowiednikiem wrażenia subiektywnego nazywanego wysokością dźwięku. Barwa dźwięku wiąże się z rozkładem energetycznym przypadającym na poszczególne składowe harmoniczne.

Rys. 47. Rezonans akustyczny kamertonów

W akustyce występuje również zjawisko rezonansu mechanicznego (tu rezonansu akustycznego). Polega ono na przekazywaniu energii drgań fal akustycznych od źródła do odbiornika i z powrotem. Klasycznym przykładem jest wzbudzenie do drgań jednego z dwóch identycznych kamertonów a następnie jego wytłumienie przez dotknięcie ręką. Słychać wówczas drgania o tej samej częstotliwości wydobywające się z pudła rezonansowego drugiego kamertonu (rysunek 47).

7. Podstawy termodynamiki

Termodynamika jest działem nauki zajmującym się energią wewnętrzną ciał, sposobami jej zmiany i przemianami jednych form energii w inne. Oprócz pojęcia energia wewnętrzna (suma wszystkich energii wewnątrz układu zamkniętego) pojawiają się tu takie pojęcia jak: temperatura, ciśnienie i objętość. Wielkości te opisują stan termodynamiczny układu. W ogólnym przypadku odnosimy je do stanu płynu (ciecz lub gaz). W naszych rozważaniach ograniczymy się do przemian gazu idealnego. Jest to gaz, którego cząsteczki traktujemy jako punkty materialne nie oddziałujące ze sobą z wyjątkiem procesów zderzeń.

7.1. Równanie kinetycznej teorii gazu

Wyobraźmy sobie sześcienne naczynie o boku „a”, w który porusza się chaotycznie duża liczba punktów materialnych „N” (rysunek 48).

Rys. 48 Gaz idealny w naczyniu sześciennym

Przy chaotycznym ruchu tych cząsteczek statystycznie 1/3 z nich porusza się odpowiednio w kierunku osi: x, y i z. W czasie:

statystyczna cząsteczka odbije się jeden raz od jednej ścianki naczynia. Spowoduje to jej zmianę pędu o
(zmiana pędu na przeciwny). Z drugiej zasady dynamiki wynika, że siła pochodząca od tego uderzenia będzie równa:

.

Stąd przyczynek ciśnienia wywieranego na ściankę naczynia:

,

gdzie energia i-tej cząstki poruszającej się w kierunku x jest równa 1/3 energii kinetycznej tej cząstki:

,

a całkowita energia kinetyczna gazu:

.

Tak więc z ostatnich trzech równań otrzymujemy:

.

Jest to podstawowe równanie teorii kinetycznej gazów.

Zapisując ten związek dla jednego mola gazu o masie μ i objętości V₀ uzyskamy:

.

Uniwersalna stała gazowa R związana jest przez liczbę Avogadro
ze stałą Boltzmana „k” równaniem:

.

Dla n-moli gazu o masie M i objętości V otrzymamy równanie Clapeyrona:

.

Stąd uzyskujemy znane dobrze równanie (dla stałej masy gazu):

.

7.2. I i II zasada termodynamiki

Na energię wewnętrzną gazu składają się wszystkie formy energii występujące wewnątrz układu izolowanego. Zmienić całkowitą energię można na dwa sposoby: wykonując pracę „W” nad układem (siłami zewnętrznymi lub przez układ siłami wewnętrznymi), lub wymienić energię w formie ciepła „Q”. Sformułowanie to stanowi treść I zasady termodynamiki.

Pracę obliczamy z wzoru:

Pamiętając, ze W>0 (wzrasta energia wewnętrzna), gdy zmniejsza się objętość gazu. Dlatego w powyższym wzorze występuje znak „-^„. Ciepło z kolei można obliczyć dla dwóch przypadków: przy przemianie fazowej w stałej temperaturze i przy ogrzewaniu ciała w tej samej fazie od temperatury T_p do temperatury T_k.

c_p oznacza ciepło przemiany fazowej, którego jednostką jest 1J/kg a c_v ciepło właściwe, którego jednostką jest
.

7.3. Przemiany termodynamiczne

Uwzględniając możliwości zmian różnych parametrów gazu idealnego możemy wyróżnić podstawowe przemiany gazowe:

1. przemiana izotermiczna, w której niezmienna jest temperatura a wykresem zależności p(V) jest hiperbola,

2. przemiana izochoryczna, w której niezmienna jest objętość a wykresem zależności p(T) jest linia prosta,

3. przemiana izobaryczna, w której niezmienne jest ciśnienie a wykresem zależności V(T) jest linia prosta,

4. przemiana adiabatyczna charakteryzująca się izolacją termiczną układu, czyli brakiem wymiany energii z otoczeniem w formie ciepła.

Odpowiednie równania do tych przemian mają postać:

,

,

,

.

Ponieważ:

oraz

(c_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, c_v - ciepło właściwe przy stałej objętości)

to współczynnik χ jest większy od jedności. Dlatego wykres adiabaty charakteryzuję się większym nachyleniem niż wykres izotermy.

Z równania Clapeyrona wynika, że energia wewnętrzna gazu idealnego jest wprost proporcjonalna do temperatury. Fakt ten wraz z I zasadą termodynamiki i wzorem na pracę umożliwia prostą analizę przemian termodynamicznych gazu idealnego. Należy pamiętać, że wszystkie przemiany należy rozpatrywać z punktu widzenia zmiany energii wewnętrznej. Poniżej przedstawiono przemianę izotermiczną (T=const).

1. 
   i
   

2. 
   i
   

W przypadku a) znajdujemy składnik dodatni, którym jest ciepło dostarczone do układu powodujące wzrost energii wewnętrznej gazu. Prowadzi to do wykonania przez gaz pracy (W<0) kosztem uzyskanej wcześniej nadwyżki energii wewnętrznej. Przemianę nazwiemy izotermicznym rozprężaniem gazu (
) w przypadku a) oraz izotermicznym sprężaniem gazu (
) w przypadku b). Ostatnią sytuację obrazuje wciskanie tłoka pompki z gazem (rysunek 49). Wykonana praca nad gazem przekazywana jest przez energię wewnętrzną gazu do otoczenia w formie ciepła (każdy mógł sprawdzić pompując koło rowerowe lub samochodowe).

Rys. 49 Izotermiczne sprężanie gazu

Ważnym, z punktu widzenia zastosowań technicznych, jest tzw. cykl Carnota dla idealnego silnika składającego się z gazu roboczego, grzejnika o dużej pojemności cieplnej mającego temperaturę T₁ i  chłodnicy o dużej pojemności cieplnej mającej temperaturę T₂ oraz izolatora (rysunek 50).

Rys.50 Idealny silnik Carnota

Silnik ten pracuje na dwóch izotermach (T₁ i T₂) i na dwóch adiabatach (rysunek 51).

Rys.51 Cykl Carnota

Sprawność takiego silnika obliczamy jako stosunek wykonanej pracy do ciepła dostarczonego do układu.

Sprawność tą przedstawiamy również w postaci:

Sprawność rzeczywistych silników nie może być większa od sprawności silnika Carnota.

Ostatnie równanie stanowi jedną z postaci drugiej zasady termodynamiki. Inaczej można ją sformułować następująco: niemożliwe jest pobieranie z jednego źródła ciepła energii i zamienianie jej w 100% na pracę.

7.4 Silniki spalinowe

Od wielu lat silniki spalinowe (rysunek 52) wykorzystywane są do napędu samochodów, samolotów i innych urządzeń mechanicznych. Ze względu na powodowane przez nie zanieczyszczenia atmosfery oraz polityczno-gospodarcze problemy z dostawami ropy naftowej i gazu ziemnego poszukiwane są alternatywne źródła energii. Najbardziej efektywnym źródłem energii są reakcje jądrowe wykorzystywane w elektrowniach jądrowych. Nawiasem mówiąc są to najczystsze i najbezpieczniejsze źródła energii (tylko brak rzetelnej wiedzy budzi opory przed ich budową). Produkowana przez nie energia elektryczna mogłaby posłużyć do szybkiego i efektywnego (duża sprawność) zasilania urządzeń technicznych. Już teraz jeżdżą samochody o zasilaniu mieszanym (hybrydowym): spalinowo-elektrycznym lub elektrycznym zasilanym przez ogniwa wodorowe.

a b

c d

Rys.52. Modele silników spalinowych: a - dwusuwowy, b - czterosuwowy lub Diesla,

c - Wankla oraz schemat silnika elektryczno-wodorowego - d

Rysunek 52 ukazuje trzy rodzaje silników spalinowych. Silnik 2-suwowy („a”) pracuje w 2 ruchach tłoka o przeciwnych zwrotach (suwach). Gdy tłok jest w najniższym położeniu, z gaźnika (po lewej stronie) wstrzykiwana jest mieszanka paliwowo-powietrzna. Przeciwny do ruchu wskazówek zegara ruch wału korbowego przesuwa tłok do góry i powoduje sprężenie mieszanki. Mamy więc w jednym suwie: ssanie i sprężanie. W najwyższym (z dokładnością do wyprzedzenia zapłonu) położeniu tłoka i przy najwyższym ciśnieniu następuje przeskok iskry elektrycznej między elektrodami świecy. Powoduje on zapłon mieszanki i gwałtowny wzrost ciśnienia na tłok. To z kolei prowadzi do przesuwu tłoka w dół i wykonania pracy. Obniżenie tłoka do odsłonięcia kanału wylotowego prowadzi do wyrzucenia spalin do kolektora wydechowego. Ruch tłoka w dół odpowiada suwowi pracy i wydechu.

Silnik 4-suwowy posiada dodatkowo zawory: ssący i wydechowy. Na rysunku 52b otwarty jest tylko zawór ssący. Przesuw tłoka w dół powoduje zassanie mieszanki paliwowo-powietrznej (suw ssania). W dolnym położeniu tłoka zawór ssący zamyka się i dalszy ruch tłoka do góry spręża mieszankę paliwowo-powietrzną (suw sprężania). Przeskok iskry w górnym położeniu powoduje zapłon i odepchnięcie tłoka w dół (suw pracy). W jego dolnym położeniu otwiera się zawór wylotowy i dalszy ruch tłoka do góry powoduje wyrzucenie spalin do kolektora wydechowego (suw wydechu). Podobnie jest zbudowany i podobnie pracuje silnik wysokoprężny (Diesla), w którym do sprężonego powietrza wstrzykiwane jest paliwo pod dużym ciśnieniem.

W części c przestawiono silnik Wankla w położeniu odpowiadającym ssaniu (lewa strona) i wydechu (prawa strona). Obrót tłoka zgodny ze strzałką powoduje sprężanie mieszanki paliwowo-powietrznej wynikające ze zmniejszającej się odległości fragmentu tłoka (ze strzałką) od cylindra. W dolnym położeniu tej części „trójkątnego” tłoka następuje zapłon. Zauważcie, że w drugiej części tłoka następuje wydech a w trzeciej ssanie. Jest to więc najbardziej symetryczny silnik, w którym co 120⁰ występują jednocześnie suwy: ssania ze sprężaniem, wydechu i pracy w 3 strefach komory silnika. Są to silniki bardzo ekonomiczne ale też bardzo drogie ze względu na wysokie wymogi materiałowe.

W punkcie „d” przedstawiono schemat napędu samochodu przez silniki elektryczne zasilane ogniwami wodorowymi. Jest to najbardziej ekologiczne, ekonomiczne i optymalne ze względu na kierowanie pojazdem rozwiązanie stosowane jako napęd pojazdów samochodowych. Jego wadą jest (póki co) brak sieci dystrybucji wodoru i wysokie koszty pojazdu.

Stałe pole elektryczne

Ciała występujące w przyrodzie obdarzone są takimi statycznymi wielkościami fizycznymi jak masa, objętość, ładunek elektryczny. Pierwsza z nich związana jest z występowaniem pola grawitacyjnego a ostatnia pola elektrostatycznego. W polu grawitacyjnym mieliśmy do czynienia z zasadą zachowania energii-masy. Podobnie w polu elektrostatycznym będziemy obowiązywać zasada zachowania ładunku elektrycznego. W najprostszej postaci mówi ona, że w układzie izolowanym suma skalarna ładunków elektrycznych zawartych w nim ciał jest stała. Oznacza to, że ładunki elektryczne (podobnie jak materia rozumiana jako suma masy i energii) nie mogą ani powstawać ani znikać samoistnie. Choć istnieje zjawisko kreacji par ładunków o przeciwnych znakach z fotonów elektrycznie obojętnych to i to zjawisko jest podporządkowane powyższej zasadzie zachowania ładunku elektrycznego.

Pole elektrostatyczne, podobnie jak pole grawitacyjne jest jednym z tzw. pól oddziaływań. Pole takie charakteryzuje się występowaniem pewnej własności. Cechą taką w przypadku pola grawitacyjnego jest występowanie siły, której wartość jest wprost proporcjonalna do wartości masy próbnika. W przypadku pola elektrostatycznego próbnik musi posiadać niezerowy ładunek wypadkowy, a siła występująca w tym polu jest wprost proporcjonalna do wartości tego ładunku i zmienia znak na przeciwny przy zmianie znaku ładunku próbnika. Można to symbolicznie zapisać:

1.  ∼ q

2. q → -q ⇒ → - .

Prawo Coulomba

Ładunki punktowe Q i q oddziałują na siebie siłą
(rysunek 53) opisywaną przez prawo Coulomba:

,

gdzie
oznacza wersor (wektor jednostkowy) skierowany od źródła pola Q do przedmiotu q a k jest stałą uniwersalną.

Rys. 53 Siła elektrostatyczna działająca ze strony źródła Q⁺ na próbnik dodatni q⁺ w odległości r

8.2. Zasada superpozycji pól

W przypadku, gdy źródło można podzielić na ładunki punktowe, wypadkowa siłę liczymy sumując wektorowo (!) siły działające na próbnik z ładunkiem i pochodzące od poszczególnych ładunków punktowych źródła Q_i.

Siła ta jest ściśle uzależniona od ładunku przedmiotu umieszczonego w polu elektrycznym i będziemy ją traktować jako wektorową cechę tego przedmiotu.

8.3. Opis skalarny i wektorowy pola elektrostatycznego

Aby wprowadzić wektorową cechę pola elektrostatycznego niezbędne jest określenie wielkości wektorowej niezależnej od q. W tym celu definiujemy „natężenie pola elektrostatycznego :

.

jest więc wielkością wektorową opisującą pole elektrostatyczne.

Jednostką natężenia pola elektrostatycznego jest 1N/1C.

[E] = 1N / 1C

Dla źródła punktowego odpowiedni wzór określający natężenie w odległości r od niego ma postać:

.

Wzór ten, jak pokazano w rozdziale 2 można wyprowadzić z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego.

Podobnie jak w przypadku sił działających w tym polu stosujemy przy wielu źródłach zasadę superpozycji. Mówi ona, że wypadkowe natężenie pola elektrostatycznego jest równe wektorowej sumie natężeń pochodzących od poszczególnych źródeł.

8.4. Praca w polu elektrostatycznym, potencjał

W polu elektrostatycznym występuje energia potencjalna i potencjał. Założymy, że różnica energii potencjalnej ładunku q przy przemieszczeniu go z odległości r_A do odległości r_B od źródła (rysunek 54) jest równa pracy W_A>B siły zewnętrznej równoważącej siłę pola () na tej drodze.

Umowa1: ΔE_p = E_p,B - E_p,A = W_A>B

Warunek kompensacji tych dwóch sił zabezpiecza nasze rozważania przed zmianą energii kinetycznej próbnika (=0 ⇒ =0 ⇒ =const ⇒ E_k =const ⇒ ΔE_k = 0).

Rys 54 Oddziaływanie ładunków punktowych

Zakładając, że r_A > r_B i przesuwając próbnik dodatni w kierunku źródła otrzymujemy zgodne zwroty wektorów Δ i co pozwala przedstawić, wykonaną przez siłę zewnętrzną pracę, w postaci:

W_A>B = F_{z, śr} Δr .

Δr jest tu równe (r_A - r_B) a F_z,śr jest równe średniej geometrycznej wartości początkowej i końcowej siły F_el (F_z = F_el) czyli:

.

Wstawiając ją do wzoru na pracę i przyjmując wartość energii potencjalnej z dokładnością do stałej C otrzymujemy:

Aby określić wartość stałej C wprowadzimy umowę 2.

Umowa2: E_p(∞) = 0

Zakładając, że przesuwamy próbnik z ∞ (r_A → ∞) do punktu B otrzymujemy dla punktu A: E_p(∞) = = 0

a stąd wartość C = 0 oraz energię potencjalną próbnika w punkcie B:

.

Tak więc energia potencjalna ładunku w polu elektrostatycznym jest równa pracy jaką wykona siła zewnętrzna równoważąca siłę pola przy przemieszczeniu tego ciała (ładunku) z nieskończoności do danego punktu pola. Z przeprowadzonych wyżej obliczeń wynika, że praca wykonywana przez siły zewnętrzne zależy od początkowej i końcowej odległości r od źródła pola. Wartość pracy przy przesunięciach prostopadłych do kierunku promienia jest równa 0 (cos 90^o = 0).

Otrzymaliśmy wielkość skalarną opisującą przedmiot umieszczony w polu elektrostatycznym. Aby otrzymać wielkość skalarną opisującą to pole zdefiniujemy potencjał V:

.

Potencjałem będziemy więc nazywać wielkość skalarną, której wartość jest równa wartości energii potencjalnej przypadającej na jednostkę ładunku.

Dla źródła punktowego, lub źródła o punktowo symetrycznym rozkładzie gęstości ładunku:

.

Jednostką potencjału elektrycznego jest 1 wolt.

[V] = 1V

Potencjał, analogicznie jak energia potencjalna dla źródła punktowego (ew. źródła o punktowo symetrycznym rozkładzie masy), zależy od różnicy odległości punktu początkowego i końcowego od środka źródła. Z tego powodu punkty leżące na sferze kulistej, której środek pokrywa się ze środkiem źródła pola mają ten sam potencjał, a sferę taką nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

W przypadku wielu źródeł obliczamy potencjał wypadkowy stosując również zasadę superpozycji z tym, że w tym przypadku poszczególne przyczynki sumujemy skalarnie.

V_wyp = ∑ V_i

Z powyższych wzorów można otrzymać związki:

W_A>B = q V_B - q V_A = qU ,

gdzie różnicę potencjałów V_B - V_A nazywamy napięciem elektrycznym między punktami A i B.

U = V_B - V_A

Jednostką napięcia elektrycznego jest także 1 wolt.

[U] = 1V

Poniżej przedstawiono w tabeli zestawienie wielkości skalarnych i wektorowych będących cechami przedmiotu i pola elektrostatycznego.

cecha \ wielkość	skalarna	wektorowa
przedmiotu	Ep - energia potencjalna	- siła Coulombowska
pola	V - potencjał	- natężenie pola elektrostatycznego

Tabela. 4 Skalarny i wektorowy opispolaelektrostatycznego

Ponieważ zarówno skalarny potencjał jak i wektorowe natężenie opisują to samo pole elektryczne to istnieje związek między nimi.

gdzie:

Gradient jest operatorem przypisującym w danym punkcie wektor największych zmian funkcji skalarnej. Ma on tutaj kierunek zgodny z normalną do powierzchni ekwipotencjalnej.

8.5. Pojemność elektryczna

Pojemnością elektryczną nazywamy zdolność ciała lub układu ciał do gromadzenia ładunku elektrycznego. Niech ciałem tym będzie przewodnik, na którym zgromadzono ładunek q. Jeśli dzięki temu uzyskał on potencjał V to mówimy, że przewodnik ten posiada pojemność (przewodnika odosobnionego) C:

C_{odosobnionego} =
(1 farad).

Oprócz pojemności przewodnika odosobnionego występuje pojemność wzajemna przewodników. Jej wartość C obliczamy dzieląc ładunek przeniesiony z jednego przewodnika na drugi przez różnicę potencjałów jaka powstaje wtedy między tymi przewodnikami.

C _wzajemna =

Dla kondensatora płaskiego (rysunek 55) pojemność wzajemną obliczamy z wzoru:

C = ε ε_o ,

gdzie: ε_o - przenikalność elektryczna próżni, ε - względna przenikalność elektryczna, S - powierzchnia okładek kondensatora, d - odległość między nimi. Względna przenikalność elektryczna informuje nas ile razy zwiększy się pojemność kondensatora próżniowego po wsunięciu między jego okładki dielektryka (patrz rozdział - przewodniki, izolatory).

Rys. 55 Kondensator płaski

Energię E zmagazynowaną w polu elektrycznym kondensatora obliczamy według poniższego wzoru.

Pojemność elektryczną układu możemy zmieniać, oprócz stosowania dielektryków, przez zmianę odległości jego okładek, zmianę ich powierzchni czynnej (kondensator obrotowy) lub przez łączenie kondensatorów w baterie. Realizujemy to przez połączenia szeregowe lub równoległe (rysunek 56).

Rys. 56 Połączenie szeregowe i równoległe kondensatorów

Przy połączeniu szeregowym, zgodnie z zasadą zachowania ładunku elektrycznego sąsiednie, połączone za sobą okładki kondensatorów muszą posiadać ładunki o tej samej wartości i o przeciwnych znakach. Różne wartości pojemności elektrycznej tych kondensatorów powodują istnienie różnych napięć na okładkach tych kondensatorów. Chcąc zastąpić taki układ kondensatorem zastępczym o pojemności C_Z musimy uzyskać ten sam ładunek q na jego okładkach i całkowite napięcie U równe sumie napięć U₁, U₂ i U₃.

U = U₁ + U₂ + U₃

Wykorzystując wzór na pojemność elektryczną otrzymujemy:

i po podzieleniu obustronnie przez q :

.

Tak więc odwrotność pojemności elektrycznej baterii kondensatorów połączonych szeregowo jest równa sumie odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.

W połączeniu równoległym napięcia na wszystkich kondensatorach mają jednakową wartość. Występują różnice ładunków i pojemności. Dla kondensatora zastępczego całkowity ładunek q powinien być równy sumie ładunków q₁, q₂, q₃.

q = q₁ + q₂ + q₃

Wykorzystując wzór na pojmność otrzymujemy:

C U = C₁ U + C₂ U + C₃ U

i dzieląc ostatnie równanie obustronnie przez U:

C = C₁ + C₂ + C₃ .

Tak więc pojemność zastępcza kondensatorów połączonych równolegle jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.

8.6. Ruch ładunku w stałym polu elektrycznym

Przeanalizujemy teraz ruch ładunku elektrycznego, np. elektronu w stałym polu elektrycznym. Przybliżeniem takiego pola może być pole elektryczne między okładkami kondensatora płaskiego o dużej wartości pola powierzchni okładek i małej odległości między nimi. Jeśli przyłożymy do niego napięcie U to natężenie pola elektrycznego E między okładkami wyniesie:

Przedstawiony na rysunku 57 elektron porusza się wewnątrz kondensatora po parabolicznym torze podobnie jak ciało w rzucie poziomym w polu grawitacyjnym. I podobnie jak w tamtym przypadku można jego ruch rozłożyć na dwa ruchy. Ponieważ w kierunku poziomym nie działają żadne siły dlatego mamy w tym kierunku do czynienia z ruchem jednostajnym prostoliniowym, w którym droga y wyraża się wzorem:

y = v ⋅ t

Rys. 57 Ruch ładunku w stałym polu elektrycznym

Jeśli zamiast y wstawimy długość okładek l (drogę w ruchu poziomym w kondensatorze) to wyliczymy z ostatniego wzoru czas t ruchu elektronu między okładkami kondensatora.

Czas ten wykorzystamy do obliczenia odchylenia x toru tego elektronu od kierunku poziomego przy jego wychodzeniu z kondensatora. Ponieważ w kierunku pionowym występuje stałe pole elektryczne E dlatego na elektron będzie działać stała siła o wartości F równej:

F = e E .

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu postępowego elektron uzyska przyspieszenie a:

,

oraz:

.

Wykorzystując wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

,

otrzymamy ostatecznie:

.

Widzimy więc, że składowa pionowa x rośnie z kwadratem współrzędnej poziomej l. Oznacza to, że tor jest fragmentem paraboli.

Możemy też wyznaczyć kąt α między kierunkiem wektora prędkości końcowej (wylotu) a poziomem. W tym celu musimy wyznaczyć wartość składowej pionowej wektora prędkości końcowej v_y. Skorzystamy z wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym:

v_y = a ⋅ t .

Stąd:

.

Tangens poszukiwanego kąta α jest równy:

,

i ostatecznie:

.

Widzimy więc, że zarówno odchylenie jak i tgα rosną ze wzrostem wartości przyłożonego napięcia U i długości płytek l oraz maleją ze wzrostem odległości płytek d i prędkości v.

Prąd elektryczny

Zjawisko przepływu prądu elektrycznego polega na uporządkowanym ruchu nośników ładunku elektrycznego. W metalach polega on na uporządkowanym ruchu elektronów w sieci krystalicznej. W elektrolitach nośnikami ładunku są jony dodatnie i ujemne. W pół-przewodnikach nośnikami prądu są ujemne elektrony i dodatnie dziury. Umownie za kierunek przepływu prądu elektrycznego przyjęto kierunek ruchu ładunków dodatnich. Tak więc, choć wiemy, że w metalach nośnikami są elektrony to kierunek przepływu prądu elektrycznego zaznaczamy w stronę przeciwną do kierunku ich ruchu.

Intensywność tego zjawiska określa wartość natężenia prądu elektrycznego I, którą obliczamy według poniższego wzoru:

,

gdzie Δq oznacza ładunek przeniesiony przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie Δt (rysunek 58).

Rys. 58 Prąd elektryczny w przewodniku

Wzór ten umożliwia obliczenie średniej wartości natężenia prądu elektrycznego w czasie Δt. Jeśli założymy, że Δt→0 to wzór ten umożliwi obliczenie chwilowej wartości natężenia prądu.

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest 1 amper (1A=1C/1s.)

9.1. Prawo Ohma, prawa Kirchoffa

Przyczyną powodującą ruch ładunku w ośrodku z oporami jest występowanie niezerowej siły pola elektrycznego działającego na ładunek. Aby powstał prąd elektryczny (uporządkowany ruch elektronów) niezbędne jest przyłożenie do końców przewodnika napięcia elektrycznego.

Z doświadczalnych obserwacji wynika, że zwiększanie wartości napięcia powoduje wzrost wartości natężenia prądu elektrycznego. Prawo Ohma mówi, że wartość natężenia prądu elektrycznego I jest wprost proporcjonalna do wartości napięcia U przyłożonego do końców tego przewodnika, a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność oporu elektrycznego R.

Jednostką oporu elektrycznego jest 1 om (symbol - 1Ω).

Przewodnik ma opór 1Ω jeśli przyłożenie do jego końców napięcia równego 1V powoduje w nim przepływ prądu o natężeniu 1A.

Opór elektryczny przewodnika zależy od:

- długości przewodnika l,

- przekroju poprzecznego S,

• oporu właściwego ρ zależącego od rodzaju substancji i temperatury.

Odwrotność oporu elektrycznego nazywamy przewodnością elektryczną.

ρ₀ oznacza tu opór właściwy w temperaturze 0⁰C, a współczynnik α jest ma wartość równą deg^-1. Jednostką oporu właściwego jest:

[ρ] = 1Ω ⋅ 1m .

Odwrotność właściwego oporu elektrycznego nazywamy przewodnictwem właściwym i oznaczamy symbolem σ.

Jednostką przewodnictwa właściwego jest:

[σ] = 1Ω^-1 ⋅ 1m^-1 .

Budując układy (sieci) elektryczne wykorzystujemy różne elementy, które łączymy z innymi za pomocą przewodów. Punkty sieci, w których łączą się ze sobą więcej niż 2 przewody nazywamy węzłami sieci. Obwód zamknięty zawierający różne elementy nazywać będziemy oczkiem tej sieci. Do węzłów i oczek sieci stosujemy Prawa Kirchoffa. Pierwsze prawo Kirchoffa (wynikające z zasady zachowania ładunku elektrycznego) mówi, że suma wartości natężeń prądów wpływających do węzła sieci jest równa sumie wartości natężeń prądów wypływających z tego węzła. Inaczej mówiąc suma prądów skierowanych - tzn. z odpowiednimi znakami (np. >0 dla wpływających i <0 dla wypływających) dla węzła sieci jedt równa zero.

Σ I_sk = 0

Drugie prawo Kirchoffa mówi, że suma spadków potencjału (napięć) liczona wzdłuż oczka jest równa 0. W przypadku stosowania tego prawa dobrze jest stosować wybrany algorytm postępowania.

Poniżej przedstawiono przykład takiego algorytmu i rysunek oczka.

Rys. 59 Oczko elektryczne

Mając dane oczko (rysunek 59):

1) wybieramy najpierw punkt początkowy (na rysunku A) i obieg dodatni (kółko z +),

2) zaznaczamy strzałkami kierunek rosnącego potencjału na siłach elektro-motorycznych ogniw (ε₁ i ε₂),

3) zaznaczamy strzałkami kierunek rosnącego potencjału na opornikach (przeciwnie do kierunku płynących przez nie prądów),

4) zaczynając od punktu A i przesuwając się po oczku zgodnie z obiegiem dodatnim (tu prawoskrętnie) dodajemy kolejne różnice potencjałów ze znakiem (+) jeśli zwrot jest zgodny z tym obiegiem i (-) jeśli przeciwny,

5) otrzymaną sumę przyrównujemy do 0.

W przypadku powyższego rysunku otrzymamy:

ε₁ + IR₁ - IR₂ - ε₂ = 0 .

Obliczymy wartości natężeń prądów w obu oczkach poniższego układu przyjmując, że wartości oporów wewnętrznych ogniw są równe r₁ i r₂ (rysunek60).

Rys. 60 Układ oczek elektrycznych

Z powyższego układu 3 równań na 3 niewiadome obliczamy wartości I, I₁ oraz I₂.

9.2. Opory zastępcze

Oporniki, podobnie jak kondensatory lub ogniwa, możemy łączyć szeregowo lub równolegle celem uzyskania zadanych wartości rezystancji. Weźmy pod uwagę układ oporników połączonych szeregowo.

Rys. 61 Połączenie szeregowe oporników

Dla układu zastępczego zamiast oporników R₁, R₂ i R₃ będzie jeden opór zastępczy R_z. Dla jego obliczenia wykorzystamy rysunek 61. Całkowite napięcie U jest równe sumie napięć na poszczególnych opornikach.

U = U₁ + U₂ + U₃

Wykorzystując prawo Ohma do powiązania napięcia z natężeniem prądu i rezystancją otrzymamy:

IR_z = IR₁ + IR₂ + IR₃ .

Dzieląc równanie obustronnie przez I uzyskamy wzór:

R_z = R₁ + R₂ + R₃ .

Tak więc widzimy, że opór elektryczny oporników połączonych szeregowo jest równy sumie oporów poszczególnych oporników.

Wykorzystując rysunek 47 wyprowadzimy teraz wzór na opór zastępczy oporników połączonych równolegle.

Rys.62 Połączenie równoległe oporników

Korzystając z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy:

I = I₁ + I₂ + I₃ ,

A po uwzględnieniu prawa Ohma:

.

Po podzieleniu obu stron równania przez U dostajemy:

Z wzoru tego widać, że dla układu oporników połączonych równolegle odwrotność oporu zastępczego jest równa sumie odwrotności oporów poszczególnych oporników.

Porównując powyższe wzory z wzorami na pojemności zastępcze układu kondensatorów widzimy, że ich postacie są odwrotne dla obu połączeń.

9.3. Praca i moc prądu stałego

W rozdziale dotyczącym pola elektrostatycznego obliczono pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną równoważąc --> [Author:S] ą siłę pola. Przekształcając uzyskany wzór otrzymamy:

W = E_p,B - E_p,A = qV_B - qV_A = q (V_B - V_A) = q U_AB.

Zakładając stałość natężenia prądu możemy wyliczyć z jego definicji ładunek q:

q = I ⋅ t,

który po wstawieniu do poprzedniego wzoru daje:

W = U ⋅ I ⋅ t .

Z tego wzoru wynika, że zachodzi następujący związek między jednostkami powyższych wielkości fizycznych:

1J = 1V ⋅ 1A ⋅ 1s = 1 VAs (woltoamperosekunda).

Wielkością pochodną do pracy wykonywanej przez prąd stały jest moc prądu, którą oznaczamy literą „P”. Definiujemy ją jako stosunek pracy do czasu, w którym została ona wykonana.

Jednostką mocy jest 1 wat.

W przypadku prądu o zmieniającej się w czasie wartości natężenia prądu moc chwilową definiujemy:

.

Obliczymy teraz maksymalną moc jaką można uzyskać z akumulatora o oporze wewnętrznym r.

Rys 63 Akumulator obciążony oporem zewnętrznym

Natężenie prądu w tym obwodzie będzie równe:

.

Moc dla oporu zewnętrznego będzie równa:

.

Otrzymaliśmy funkcję P(R). Policzenie jej pochodnej po R i przyrównanie do 0 daje warunek na maksimum mocy dla R = r .

Tak więc maksymalną moc dla oporu zewnętrznego uzyskamy gdy wartość jego rezystancji będzie równa wartości rezystancji wewnętrznej akumulatora.

10. Stałe pole magnetyczne

Omówiliśmy już dwa rodzaje pól: grawitacyjne i elektrostatyczne. Oba te pola są polami zachowawczymi i w obu przypadkach zarówno źródło jak i przedmiot obdarzone są tymi samymi cechami (masą w polu grawitacyjnym i ładunkiem w polu elektrostatycznym). Obowiązuje w nich zasada wzajemności oddziaływań mówiąca, że źródło danego pola może być przedmiotem oddziaływania ze strony przedmiotu tego samego typu. Inaczej mówiąc, jeśli ciało A jest źródłem pola działającego na przedmiot B, to i ciało B jest źródłem tego samego typu pola działającego na ciało A. Mówimy wtedy o tzw. wymienności źródła i przedmiotu. Podobnie ma się sprawa z polem magnetycznym. Musimy określić co wytwarza i na co oddziałuje pole magnetyczne. Makroskopowymi źródłami pola magnetycznego są tzw. magnesy i przewodniki z prądem. W obu przypadkach makroskopowe efekty wiążą się z ruchem ładunków elektrycznych. Tak więc możemy oczekiwać, że określenie tego pola będzie zawierać zależność siły działającej w polu magnetycznym od wartości i znaku ładunku oraz od wartości i zwrotu wektora prędkości tego ładunku. Zanim przejdziemy do tych mikroskopowych zależności przeanalizujmy makroskopowe siły działające na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnesu stałego. W tym celu zbadamy wartość siły działającej na tzw. wagę magnetyczną (rysunek 64).

Waga magnetyczna to przewodnik z prądem I, w którym dwa boki (pionowe na rysunku) są równoległe i nieskończenie długie. Siły działające na płynący w nich w przeciwne strony prąd powinny się kompensować. Zakładamy więc, że pole magnetyczne działa tylko na ramię o długości Δl. Kierunek pionowy to kierunek takiego ustawienia boku Δl, przy którym nie działa na niego siła ze strony pola i ten wyróżniony kierunek nazywać będziemy kierunkiem pola magnetycznego. Ustawiamy teraz tak wagę aby siła działająca na ten bok była maksymalna.

Rys.64. Waga magnetyczna

Zdefiniujemy wartość indukcji magnetycznej B opisującej to pole:

Natomiast kierunek wektora , będzie taki aby wektory , , tworzyły trójkę prawoskrętną, tzn.:

Jednostkę indukcji magnetycznej B nazywamy teslą i oznaczamy przez T.

[ B ] = 1 T

1 T = 1 N / ( 1 A ^. 1 m )

Kierunek wektora indukcji magnetycznej wskazuje (rysunek 64) pionowa strzałka skierowana w górę. W przypadku innej orientacji względem należy uwzględnić w rozważaniach składową prostopadłą wektora do kierunku wektora - Δl⋅sinα (α kąt między wektorami i ). Możemy napisać wzór na siłę działającą w polu magnetycznym na elementarny przewodnik z prądem:

.

10.1. Siła Lorentza

Uwzględniając, że oraz, że prędkość ładunku możemy obliczyć z wzoru otrzymamy wzór (Lorentza) określający siłę działającą na ładunek q poruszający się z prędkością .

Ten wzór wykorzystamy do określenia pola magnetycznego w ujęciu mikroskopowym. Polem magnetycznym będziemy nazywać obszar, w którym na ładunek q poruszający się z prędkością v będzie działać siła o następujących własnościach:

1)  ∼  q ,

2) q → -q ⇒ → - ,

3) ⊥ i ⊥ ,

4) = (α) .

Wynika stąd, że siła działająca w stałym polu magnetycznym ma wartość wprost proporcjonalną do wartości iloczynu ładunku i wektora prędkości. Zmiana znaku ładunku albo zmiana zwrotu prędkości powoduje zmianę zwrotu siły na przeciwny. Jest ona też prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i , a jej wartość zależy też od kąta między wektorem prędkości i kierunkiem wektora indukcji magnetycznej .

Z własności tych wynika również, że siła pochodząca od stałego pola magnetycznego nie wykonuje pracy i nie zmienia energii układu (dlaczego?).

W celu sprawdzenia umiejętności posługiwania się iloczynem wektorowym wyznacz kierunek i zwrot siły w poniższych przypadkach. Na rysunku 65 wprowadzono następujące oznaczenia:

kółko z kropką - wektor prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany przed nią,

kółko z krzyżykiem - wektor prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany za nią,

e⁺, e^-, α, p, n, Cl^- - odpowiednio: pozyton, elektron, cząstka alfa, proton, neutron i jon chloru.

Rys. 65 Przykłady orientacji wektorów i przy wyznaczaniu siły Lorentza

Pole magnetyczne wytwarzane jest przez poruszające się ładunki a więc także przez prąd elektryczny płynący w przewodniku. Kształt tego pola można zaobserwować rozsypując opiłki z żelaza i obserwując kształty tworzonych przez nie linii. Kilka takich prostych przypadków ilustruje rysunek 66. Prąd o natężeniu I (rysunek 66a), płynący przez nieskończenie długi, prostoliniowy przewodnik daje współśrodkowe okręgi, dla których przewodnik ten stanowi oś symetrii. Zwój z prądem (rysunek 66b) daje gładkie krzywe zamknięte wokół przewodnika. Środkowa linia pola magnetycznego jest jednocześnie osią symetrii przewodnika. Nieskończona płaszczyzna z prądem o stałej gęstości (rysunek 66c) daje jednorodne pole magnetyczne o liniach równoległych do tej płaszczyzny i jednocześnie prostopadłych do kierunku przepływu prądu.

Rys. 66 Linie pola magnetycznego dla różnych jego źródeł

Takie obrazowe przedstawienie linii pola magnetycznego wiąże się z interpretacją ilości i gęstości linii. Przeanalizujemy to na przykładzie magnesu sztabkowego (rysunek 67).

Rys. 67 Linie pola magnetycznego wokół magnesu stałego

Powyższy magnes, jako igła magnetyczna jest wykorzystywany do wyznaczenia północnego bieguna Ziemi. Ponieważ linie pola magnetycznego (dipola) Ziemi „wychodzą”, w pobliżu południowego bieguna geograficznego a następnie obiegają planetę nad jej powierzchnią w kierunku północnym, dlatego igła magnetyczna ustawia się w kierunku południka geograficznego. Jej wewnętrzne pole magnetyczne ustawia się zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym a więc w kierunku geograficznym bieguna północnego.

Nieporozumienie w nazewnictwie biegunów budzą pojęcia: geograficzny biegun północny, geomagnetyczny biegun północny i południowy biegun dipola magnetycznego Ziemi. Wszystkie znajdują się aktualnie w pobliżu siebie na półkuli północnej.

Innym zjawiskiem, o okresie kilkuset tysięcy lat jest zmiana orientacji osi magnetycznej i zamiana biegunów magnetycznych Ziemi. Zjawisko to niesie pewne zagrożenia bezpośrednie i pośrednie dla życia na Ziemi. Może zachwiać równowagę biologiczną szczególnie tam gdzie bazuje ono na orientacji magnetycznej (np. przeloty ptaków). Istnieje również niebezpieczeństwo zakłóceń urządzeń technicznych orientowanych na pole magnetyczne Ziemi. Brak pełnego poznania mechanizmu wytwarzającego to pole (jego źródłem jest jądro Ziemi) i powodującego jego zmiany budzi wątpliwości co do ewentualnego wpływu tych zmian na podatną na zakłócenia cienką skorupę Ziemi.

10.2. Strumień indukcji magnetycznej

Gęstość linii pola magnetycznego jest największa w pobliżu biegunów magnesu sztabkowego (powierzchnia S₁), gdzie indukcja magnetyczna ma wartość największą (w porównaniu z powierzchniami S₂, S₃). Tak więc wartość B będziemy kojarzyć z gęstością linii. Jaki sens fizyczny będzie mieć ilość tych linii? Wielkość tą będziemy nazywać strumieniem indukcji magnetycznej i oznaczać przez Φ. Wartość Φ obliczamy mnożąc powierzchnię przez wartość składowej indukcji magnetycznej w kierunku normalnym do tej powierzchni. Wykorzystamy w tym celu tzw. element skierowany powierzchni . Jest to wektor o wartości równej wartości pola powierzchni S wycinka i kierunku prostopadłym do niego. Możemy wówczas zapisać:

Jednostką strumienia indukcji magnetycznej w układzie SI jest weber.

[Φ ] = 1 Wb

1 Wb = 1 T ^. 1 m² = 1 N m / 1 A = 1 J / 1 A

Przyjmując powyższą interpretację strumienia indukcji magnetycznej możemy uzasadnić, że strumień ten liczony dla powierzchni zamkniętej równy jest 0 (ilość linii wchodzących do obszaru ograniczonego tą powierzchnią jest równy ilości linii wychodzących z niego). Z tego powodu mówimy, że pole magnetyczne jest wirowe.

10.3. Reguła Lenza

Z pojęciem strumienia indukcji magnetycznej wiąże się bardzo ważne zjawisko, które opisuje reguła Lentza. Mówi ona, że w dowolnym układzie magnetycznym każda ingerencja z zewnątrz prowadząca do jego zmiany wiąże się z powstaniem wirowego pola elektrycznego przeciwstawiającego się tym zmianom. Jeśli w omawianym układzie występują nośniki prądu elektrycznego (np. w przewodnikach) to powoduje to powstanie prądów wirowych przeciwstawiających się tym zmianom. Przeanalizujmy to na poniższym przykładzie (rysunek 68).

Rys. 68 Indukowanie prądu w obwodzie zewnętrznym

Sprawdź w którą stronę popłynie prąd indukcyjny w obwodzie B po włączeniu klucza K.

Aby znaleźć kierunek prądu indukcyjnego proponuję stosować się do następującego algorytmu:

1. określić stan początkowy (pierwotną wartość i kierunek ),

2. określić kierunek wymuszanej zmiany w badanym obwodzie,

3. wyznaczyć kierunek przeciwny do tej zmiany (wywołany przez prąd indukcyjny),

4. wyznaczyć kierunek prądu indukcyjnego realizującego pn. 3.

Stosując się do tego algorytmu otrzymujemy kolejno: pierwotną wartość indukcji w obwodzie B = 0. Włączenie prądu w obwodzie A daje w nim prawoskrętny prąd i indukcję magnetyczną skierowaną za kartkę w tym obwodzie, a przed kartkę w obwodzie B. Zmiana indukcji wymuszona w tym drugim obwodzie ma więc zwrot przed kartkę. musi być skierowane przeciwnie, a więc za kartkę. Taki zwrot wektora indukcji magnetycznej realizuje prąd indukcyjny zgodny z ruchem wskazówek zegara w obwodzie B.

Proponuję czytelnikowi odpowiedź na pytania:

• Jaki będzie kierunek prądu indukcyjnego w obwodzie B przy wyłączaniu klucza K w obwodzie A?

• Jaki będzie kierunek prądu indukcyjnego jeśli w obwodzie A będzie płynął prąd elektryczny o stałym natężeniu a zmieniać będziemy odległość obwodu B od obwodu A?

Odpowiedni wzór wynikający z reguły Lenza ma postać:

Mówi on, że powstająca siła elektromotoryczna indukcji jest równa prędkości zmian strumienia indukcji magnetycznej. Znak minus oznacza, że przeciwstawia się ona tym zmianom.

Rys.69. Pokaz potwierdzający istnienie pola magnetycznego Ziemi i regułę Lenza

Na rysunku 69 przedstawiono prosty pokaz wykazujący istnienie pola magnetycznego Ziemi. Końce cienkiej linki stalowej podłączono do płytek odchylania pionowego oscyloskopu. Następnie wprawiono ją w ruch jak skakankę. Obrót fragmentu linki zmienia strumień indukcji magnetycznej wewnątrz zwoju. Na ekranie obserwuje się sinusoidę o amplitudzie i częstotliwości zależnych od wychylenia linki i częstotliwości jej obrotu.

Rys. 70 Solenoid

Wartym zapamiętania jest też wzór wiążący siłę elektromotoryczną samoindukcji (powstającą w tym samym obwodzie) ze zmianami natężenia prądu elektrycznego solenoidu (cewki - rysunek 70):

,

gdzie L jest współczynnikiem samoindukcji liczonym dla nieskończonego solenoidu według wzoru:

[L]=1H (1 henr).

W powyższym wzorze μ_o oznacza przenikalność magnetyczną próżni, μ względną przenikalność magnetyczną materiału, z którego wykonano rdzeń, S - przekrój poprzeczny a l - długość solenoidu. Widać też, że największe wartości L uzyskujemy dla solenoidów krótkich o dużej wartości powierzchni przekroju poprzecznego. Z wzoru na ε_S wynika też, że uzyskuje ona wartości tym większe im większa jest wartość L i szybsze zmiany natężenia prądu I.

Przeanalizujmy ruch elektronu wchodzącego z prędkością v pod kątem α do jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B. Jego wektor prędkości możemy rozłożyć na dwie składowe: v_p - prostopadłą do wektora indukcji i v_r - równoległą do niego. Składowa równoległa nie ulega zmianie ponieważ iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy zero. Tak więc składowa ruchu elektronu wzdłuż linii pola jest ruchem jednostajnym, prostoliniowym (zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki dla ruchu postępowego). Dla składowej prędkości prostopadłej do tego pola otrzymujemy stałą siłę o wartości:

F_p = e v_p B = e B v sinα.

Ponieważ siła ta jest prostopadła do wektora prędkości v_p dlatego nie zmienia ona wartości prędkości i energii kinetycznej ciała. Ruch o takich własnościach jest ruchem jednostajnym po okręgu. Nałożenie na siebie ruchu jednostajnego wzdłuż pola i ruchu jednostajnego po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do niego daje ruch, którego torem jest tzw. krzywa śrubowa.

10.4. Właściwości elektryczne i magnetyczne ciał

Wiele ciał stałych występujących w przyrodzie wykazuje w pewnym zakresie temperaturowym swoiste własności elektryczne lub magnetyczne. Poniżej tzw. temperatury Curie powstaje w nich stan spontanicznego naelektryzowania (piroelektryki) lub namagnesowania (magnetyki).

Zajmiemy się najpierw własnościami elektrycznymi. Ciała krystaliczne charakteryzują się uporządkowaniem budowy wewnętrznej. Brak środka symetrii warunkuje występowanie w niektórych z nich własności piezoelektrycznych. Polegają one na indukowaniu ładunków elektrycznych na powierzchni kryształu pod wpływem zewnętrznego naprężenia mechanicznego. Najprostszym przykładem zastosowania tego zjawiska jest piezoelektryczna zapalniczka do gazu, w której impulsowe naprężenie przy uderzeniu w próbkę powoduje powstanie między elektrodami napięcia rzędu kV. Piezoelektryki wykazujące różną od zera polaryzację elektryczną nazywamy je piroelektrykami. Występująca w nich polaryzacja spontaniczna P_S zależy od temperatury. W niektórych piroelektrykach polaryzacja zależy nie tylko od temperatury ale i od wartości i kierunku zewnętrznego pola elektrycznego. Kryształy, w których zewnętrzne pole elektryczne może zmienić wartość i kierunek polaryzacji nazywamy ferroelektrykami.

Wektor indukcji elektrycznej związany jest z wektorem natężenia pola elektrycznego w ośrodku izotropowym równaniem:

= εε₀ ,

gdzie: ε jest względną przenikalnością elektryczną ośrodka a ε₀ przenikalnością elektryczną próżni. Zapiszmy teraz związek między wartościami indukcji elektrostatycznej w danym ośrodku i w próżni oznaczając ich różnicę jako polaryzację P.

D = D₀ + P = ε₀ E + (ε-1)ε₀E = D₀ + χD₀

Polaryzacja P jest efektem kolektywnego i dalekozasięgowego wzajemnego oddziaływania dipoli elektrycznych w obrębie domeny ferroelektrycznej materiału. W przypadku polikryształu różne orientacje tych domen dają wypadkową polaryzację równą 0. Przyłożenie zewnętrznego pola elektrycznego powoduje orientację dipoli (przez rozrost domen zgodnych i zanik niezgodnych z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego) i wzrost rejestrowanej polaryzacji.

Rys. 71 Pętla histerezy dielektrycznej

Wzrost wartości E powoduje wzrost wartości P aż do momentu gdy wszystkie dipole ustawią się zgodnie z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego. Dochodzimy wtedy do obszaru nasycenia (rysunek 71). Zmniejszenie wartości pola polaryzującego E do zera nie zeruje wartości polaryzacji ponieważ część przeorientowanych obszarów polarnych nie wraca do stanu pierwotnego. Odpowiadająca temu stanowi część polaryzacji nazywana jest polaryzacją pozostałą P_R. Dopiero przyłożenie zewnętrznego pola w kierunku przeciwnym (pola koercji E_k) doprowadza do wyzerowania polaryzacji próbki. Cykliczne (sinusoidalne, piłokształtne) zmiany zewnętrznego pola prowadzą do powtarzania się procesu przepolaryzowania próbki i uzyskania tzw. pętli histerezy dielektrycznej próbki (rysunek). Pole powierzchni tej pętli jest miarą pracy jaką trzeba wykonać przy przepolaryzowaniu próbki.

Ferroelektryki charakteryzują się występowaniem anomalii temperaturowych pewnych wielkości fizycznych (rysunek 72). Obserwuje się np. skokowy zanik polaryzacji przy ogrzewaniu próbki powyżej temperatury T_C przejścia (przyjmuje się, że w tej temperaturze połowa objętości materiału posiada fazę niskotemperaturową a druga połowa cechuje się fazą wysokotemperaturową). W temperaturze tej obserwuje się też skokową zmianę rozmiarów liniowych, a także gwałtowny wzrost przenikalności elektrycznej próbki opisany prawem Curie-Weissa:

,

gdzie ε oznacza względną przenikalność elektryczną, C stałą Curie-Weissa, T bieżącą temperaturę a T₀ temperaturę Curie-Weissa. Wartości względnej przenikalności elektrycznej w obszarze przemiany fazowej, w niektórych materiałach osiąga wartość10⁵.

Rys. 72 Temperaturowe zależności: polaryzacji, względnej przenikalności elektrycznej i względnej rozszerzalności objętościowej ferroelektryka w temperaturze przemiany fazowej

Przemiany fazowe w ferroelektrykach dzielimy, ze względu na charakter przemiany, na typu przemieszczenia i typu porządek-nieporządek. Pierwsze z nich charakteryzuje się przesunięciami ferroaktywnych jonów i powstawaniem dipoli elektrycznych i polaryzacji dipolowej dopiero w obszarze przemiany fazowej. Drugi typ charakteryzuje się istnieniem dipoli elektrycznych już w fazie paraelektrycznej (w temperaturach wyższych od temperatury para-ferroelektrycznej przemiany fazowej). W temperaturze przemiany następuje ich kolektywizacja (uporządkowanie) i wyróżnienie kierunku pola elektrycznego w obrębie domeny ferroelektrycznej. Wiele znanych obecnie ferroelektryków posiada mieszaną przemianę fazową. Pierwotnym jest w nich efekt typu porządek-nieporządek, który przez uporządkowanie kierunku dipoli prowadzi do ich wzajemnego zwiększania wartości momentu dipolowego. Objawia się to na zewnątrz jako efekt typu przemieszczenia. Typowym przedstawicielem grupy ferroelektryków jest tytanian baru - BaTiO₃.

Przejdźmy teraz do własności magnetycznych ciał stałych. W próbce umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym oprócz indukcji magnetycznej B₀ (dla próżni) powstaje pole B_wew wynikające z orientacji dipoli magnetycznych występujących w materiale.

= ₀ + _wew

Ze względu na orientację tych dipoli i ich wpływ na wartość B rozróżniamy:

- diamagnetyki dla których B jest nieco mniejsze niż B₀,

- paramagnetyki dla których B jest nieco większe niż B₀,

- ferromagnetyki dla których B jest znacznie większe niż B₀.

Podobnie jak w ferroelektrykach możemy zapisać związek między wartością indukcji magnetycznej w próżni i w danym ośrodku (dla ośrodka izotropowego).

B = μμ₀ H

Oznaczając jak poprzednio różnicę B i B₀ przez J (polaryzacja magnetyczna ośrodka) otrzymamy:

B = B₀ + J = μ₀ H + (μ-1)μ₀ H = B₀ + χ B₀ .

Podobnie jak przy ferroelektrykach uzyskujemy pętlę histerezy magnetycznej po przyłożeniu do próbki ferromagnetycznej zmiennego, zewnętrznego pola magnesującego H (przez umieszczenie jej w solenoidzie przez który płynie prąd zmienny).

Rys. 73 Pętla histerezy magnetycznej

Na rysunku 73 przedstawiono pętlę histerezy z charakterystycznymi wartościami: nasycenia polaryzacji magnetycznej J_n, jej pozostałości J_R i pola koercji H_k. Także w przypadku ferromagnetyków istnieje temperatura przemiany fazowej T_C, powyżej której znikają własności ferromagnetyczne materiału. Stosuje się tu też prawo Curie:

,

gdzie: χ oznacza podatność magnetyczną, C stałą Curie a Δ stałą o wymiarze temperatury.

Ferromagnetyki charakteryzują się również niewielkimi zmianami rozmiarów liniowych w zewnętrznym polu magnetycznym. Zjawisko to nazywamy magnetostrykcją. Istnieje również zjawisko odwrotne do niego i polegające na zmianach namagnesowania pod wpływem naprężenia mechanicznego przyłożonego do próbki.

Magnetyki znalazły m.in. zastosowanie do budowy: transformatorów, silnych elektro-magnesów i magnesów stałych. Materiały magnetyczne do budowy transformatorów wymagają małych wartości koercji H_k i dużych wartości J, do budowy elektromagnesów dużych wartości J, a magnesów stałych dużych wartości H_k.

Dla ferroelektryków i ferromagnetyków stosujemy wzory na gęstość energii:

ρ_el = E D ,

ρ_mag = H B .

10.5. Procesy cykliczne w przyrodzie i życiu człowieka

Przedstawione wcześniej zjawiska i własności dotyczące przebiegów zmiennych, ferroelektryków i ferromagnetyków są charakterystyczne nie tylko dla zjawisk fizycznych występujących w przyrodzie ale występują także powszechnie w ewolucji gatunków, ekonomii, polityce i wielu innych sferach życia człowieka.

Najbardziej znanym przykładem jest zmiana liczebności populacji w układzie dwóch osobników np. wilków i zajęcy żyjących na wspólnym terytorium. Korzystne warunki przyrodnicze (pogoda, szybki przyrost roślinności) prowadzą do szybkiego wzrostu liczebności populacji zajęcy. To z kolei oznacza poprawę warunków wyżywienia dla wilków i przesunięty w czasie (opóźniony w stosunku do zajęcy) wzrost ich populacji. Proces ten prowadzi do coraz szybszego spadku liczebności zajęcy a to z kolei do pogorszenia warunków wyżywienia wilków i spadku ich liczebności (pętla histerezy). Ostatni fakt prowadzi nas do początku cyklu. Przedstawiony przykład obrazuje poniższy rysunek.

Rys. 74 Zmienność i przesunięcie w czasie procesów cyklicznych w układzie sprzężonym dwuelementowym

W miejsce dwóch powyższych elementów można wstawić dwa konkurujące ugrupowania w walce politycznej. Można również wstawić w miejsce tych elementów układu cechy koniunktury i recesji w gospodarce. Poprawy warunków inwestowania prowadzą w tym przypadku do poprawy koniunktury i wzrostu gospodarczego (wraz z zanikiem niekorzystnych tendencji). Coraz większe przyspieszenie prowadzi do przeinwestowania gospodarki i budżetów domowych (przesady w pobieraniu kredytów i podejmowaniu zbyt dużych i przerastających możliwości inwestycji). Prowadzi to do załamania koniunktury, ucieczki od nowych inwestycji i zakupów oraz coraz gwałtowniejszego poszukiwania środków finansowych na spłaty długów i upadłości firm. Powoduje to powrót do recesji, gwałtownego spadku produkcji i cen towarów. Histeria i przesada w negatywnych prognozach co do przyszłości prowadzi do tak drastycznego obniżenia cen, że włącza się do gry kapitał spekulacyjny lub państwowy (co czasem oznacza to samo) i powstają warunki do odbicia się od dna. W ten sposób wracamy do początku cyklu. W ostatnim przykładzie poruszono wpływ kapitału „zewnętrznego” na gospodarkę. Miarą tego oddziaływania jest stan giełdy papierów wartościowych. Tu najlepiej widać procesy cykliczne. Skrajności histerii przeplatają się ze skrajnościami euforii. Elementarny cykl giełdowy wygląda jak pętla histerezy dielektrycznej. Początkowy stan „uśpienia” zostaje naruszony przez czynnik zewnętrzny. Narasta zainteresowanie giełdą i rusza „pociąg zakupów”. Spóźnialscy (tych jest najwięcej) próbujący wskoczyć do niego przy większej prędkości narażeni są na coraz większe ryzyko i „śmierć finansową”. Kiedy dochodzi do euforii (nasycenie pętli) oraz gdy panuje powszechna wiara w dalsze wzrosty następuje niepostrzeżenie (a na płytkich rynkach gwałtownie) odwrót. Prowadzi on najczęściej do utraty zysków a później także zastawiania ruchomości i nieruchomości (nasycenie po stronie wartości ujemnych). Wtedy to spóźnialscy sprzedają resztki posiadanych akcji w histerycznych odruchach ratowania resztek dobytku w okresie przechłodzenia koniunktury. I w ten sposób pozwalają wytrawnym graczom wejść na rynek przy najniższym poziomie cen. Ci ostatni ponownie podnoszą ciśnienie w kotle lokomotywy. Do ostatniego przykładu wytrawni koneserzy giełdy dopisują teorie (teoria Dowa, teoria fal Eliota), które tak naprawdę niespecjalnie służą rozjaśnieniu reguł gry ale dają zajęcie początkującym i odwracają ich uwagę od spraw najistotniejszych. A te ostatnie można ująć w najprostszej regule: wszystko co rośnie musi kiedyś spadać i na odwrót (jako żywo rzut pionowy do góry).

Wspomniane wyżej zachowanie domen ferroelektrycznych (materii nieożywionej) jako żywo przypomina zachowanie ławic ryb atakowanych przez drapieżnika. I w tym przypadku pasuje do tego zachowania pojęcie wzajemnego, dalekozasięgowego oddziaływania kolektywnego. Kolektywne oddziaływania daleko- i bliskozasięgowe (klastry) występują również w szybko rozwijającej się dziedzinie nanomateriałów i nanokompozytów. W materiałach tych wtrącenia materiałów „ferroaktywnych” o wielkościach rzędu mikro- lub nanometrów w matrycę nieferroaktywną prowadzą do uzyskania materiałów o niespotykanych wcześniej własnościach fizycznych. Kolektywizacje lokalne występują również w skali kosmicznej przy powstawaniu mgławic czy układów planetarnych.

11. Prąd zmienny

W rozdziale dotyczącym pola magnetycznego poznaliśmy regułę Lenza, która wiąże zmiany strumienia indukcji magnetycznej z siłą elektromotoryczną indukowaną w obwodzie zamkniętym.

11.1. Prądnica prądu zmiennego

Wyobraźmy sobie ramkę o powierzchni S wirującą w stałym polu magnetycznym o indukcji B (rysunek 75).

Rys. 75 Wirująca ramka w stałym polu magnetycznym

Strumień indukcji magnetycznej w przedstawionym wyżej momencie jest równy:

.

Przyjmując, że ramka obraca się wokół osi prostopadłej do pola magnetycznego z prędkością kątową ω otrzymamy:

.

Siła elektromotoryczna ε indukowana w ramce jest równa ujemnej pochodnej po czasie ze strumienia Φ.

Oznaczając maksymalną wartość ε, czyli amplitudę przez ε₀ otrzymamy wzór na napięcie zmienne sinusoidalnie:

.

Wykorzystując prawo Ohma otrzymamy:

,

a po podzieleniu przez R:

,

gdzie: I jest wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, I­₀ jego amplitudą, ω jego częstością kołową a α fazą początkową.

W celu wprowadzenia średniej (mierzonej) wartości natężenia prądu elektrycznego i napięcia elektrycznego wprowadza się pojęcia wartości skutecznych tych wielkości. Wartość skuteczna natężenia prądu zmiennego to taka wartość natężenia prądu stałego, który płynąc przez odbiornik o oporze R wykonuje taką samą pracę jak dany prąd zmienny w tym samym czasie równym jego okresowi. Ponieważ pole powierzchni pod wykresem funkcji sin²(ωt+α) jest równe T/2 dla czasu T dlatego można napisać:

Po podzieleniu przez RT i spierwiastkowaniu otrzymujemy:

,

oraz napięcie skuteczne:

.

Z wzorów tych wynika, że napięcie w sieci miejskiej (U_sk=230V) zmienia swą wartość od minus 325V do plus 325V.

W przypadku prądu zmiennego jego moc dla rezystancji obliczamy z wzoru:

P = U_sk ⋅ I_sk [P]=1VA=1W

Przebieg zmienny sinusoidalnie możemy również przedstawić jako zmiany wartości położenia rzutu końca wektora o długości równej amplitudzie na wybrany kierunek (rysunek 76).

Rys. 76 Konstrukcja wykresu napięcia zmiennego

11.2. Transformator, oscyloskop

Przekaz energii elektrycznej odbywa się liniami wysokiego napięcia. Przy dużych mocach umożliwia to obniżenie wartości natężenia prądu elektrycznego płynącego w przewodach. Do obniżenia (lub podniesienia) napięcia stosuje się tzw. transformator. Urządzenie to (rysunek 77) składa się z rdzenia (odizolowane płytki stalowe) i dwóch uzwojeń o ilości zwojów n₁ i n₂. Ponieważ dla każdego zwoju mamy tą samą zmianę wartości strumienia indukcji magnetycznej (zamknięty rdzeniem obwód magnetyczny), stąd z reguły Lentza w każdym z nich indukuje się taka sama wartość siły elektromotorycznej indukcji (samoindukcji). Stąd wartość napięcia w każdym uzwojeniu jest proporcjonalna do jego ilości zwojów.

Rys. 77 Transformator

Tak więc zachodzi równość:

.

Zakładając zerowe straty mocy w transformatorze i uwzględnieniu, że P=IU:

I₁ U₁ = I₂ U₂ ,

otrzymamy:

.

Widzimy, że przy pomocy transformatora możemy obniżyć napięcie zmienne i tyle samo razy zwiększyć wartość czerpanego prądu elektrycznego. Oczywiście można też przy jego pomocy zwiększać wartość napięcia przy jednoczesnym obniżeniu wartości natężenia prądu elektrycznego. Ten ostatni przypadek umożliwia obniżenie strat energii przy jej przesyłaniu liniami wysokiego napięcia ponieważ przy stałym oporze linii tracona moc jest proporcjonalna do kwadratu natężenia prądu elektrycznego (wysokie napięcie i małe natężenie prądu przy tej samej mocy).

Do obserwacji przebiegów zmiennych wykorzystujemy oscyloskop. Rysunek 77 przedstawia budowę lampy oscyloskopu katodowego. Jest on zbudowany z lampy próżniowej wewnątrz, której znajdują się: podgrzewana katoda (termoemisja elektronów), siatki przyspieszającej (regulacja jasności), elektrostatycznej lub magnetycznej soczewki skupiającej (ogniskowanie wiązki na ekranie) oraz płytek odchylania pionowego (płytki poziome) i poziomego (płytki pionowe).

Rys. 78 Oscyloskop

11.3. Składanie elektrycznych przebiegów zmiennych

Przebieg zmienny możemy obserwować na ekranie oscyloskopu po przyłożeniu do płytek odchylania pionowego napięcia zmiennego sinusoidalnie.

Przyłożone do płytek odchylania poziomego „x” napięcie piłokształtne umożliwia obserwację przebiegów zmiennych proporcjonalnie do upływu czasu i powtarzanie tych przebiegów w zadanym okresie czasu. Jeśli do płytek odchylania poziomego przyłożymy również napięcie zmienne sinusoidalnie to, w zależności od stosunku częstości i stosunku amplitud obu drgań możemy otrzymać w wyniku ich złożenia tzw. Krzywe Lissajous.

Proste składanie drgań w kierunkach wzajemnie prostopadłych przedstawiono w rozdziale 5. Rysunek 79 przedstawia krzywą Lissajous otrzymaną przy stosunku częstości ω_x/ω_y=2/3 i różnicy faz równej
. Widać na nim, że figura ta przecina linię pionową w 2 punktach a linię poziomą w 3. Stosunek ilości punktów przecięcia wyznacza stosunek częstości obu drgań. Własność ta znalazła zastosowanie do wyznaczania nieznanej częstotliwości z wykorzystaniem generatora o znanej (zmiennej) częstotliwości.

Rys. 79 Krzywa Lissajous

11.4. Układ RLC, rezonans elektryczny

W przypadku opornika, zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu elektrycznego jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do jego końców. Są jednak elementy elektroniczne w obwodach prądu zmiennego dla których nie obowiązuje to prawo w dowolnie wybranym momencie. Elementami takimi są kondensator posiadający pewną pojemność C i solenoid posiadający pewien współczynnik samoindukcji L. W ich przypadku zamiast wartości chwilowych I oraz U podajemy odpowiednie wartości skuteczne tych wielkości.

Przeanalizujmy najpierw zachowanie się kondensatora, do którego podłączamy źródło stałego napięcia (rysunek 80).

Początkowo kondensator nie posiada ładunku elektrycznego na swych okładkach i napięcie między nimi jest równe 0. Podłączone stałe napięcie powoduje początkowo przepływ prądu elektrycznego o maksymalnej wartości natężenia. Z upływem czasu gromadzący się na okładkach ładunek powoduje wzrost napięcia elektrycznego U_c na kondensatorze i malejącą wartość natężenia prądu elektrycznego.

Po przyłożeniu napięcia zmiennego otrzymujemy przebiegi jak w dolnej części rysunku. Czasowe zmiany wartości I oraz U świadczą o tym, że napięcie na kondensatorze jest opóźnione w fazie w stosunku do natężenia prądu o
. Przedstawiając I oraz U jak wektory otrzymujemy wykres wskazowy natężenia i napięcia z zaznaczonym przesunięciem fazowym (w prawym górnym rogu rysunku 80).

Rys 80 Schemat, wykres wskazowy oraz przebiegi prądu i napięcia dla kondensatora

Rys. 81 Schemat, wykres wskazowy oraz przebiegi prądu i napięcia dla solenoidu

Podłączenie stałego napięcia do solenoidu powoduje zgodnie z regułą Lenza powstanie siły elektromotorycznej indukcji (U_L na cewce), która blokuje przepływ prądu elektrycznego. Tak więc na początku mamy zerową wartość natężenia prądu elektrycznego i maksymalną wartość napięcia na cewce. Upływ czasu powoduje spadek wartości napięcia U_L i wzrost wartości natężenia prądu I co przedstawia rysunek 81. Po podłączeniu cewki do napięcia zmiennego obserwujemy, że napięcie U_L wyprzedza w fazie natężenie prądu I o
.

Układy ze źródłami napięcia stałego i wykresy na rysunkach 80 i 81 (górne zależności czasowe I oraz U) prezentują stany nieustalone między dwoma stanami ustalonymi dla klucza K wyłączonego i włączonego po długim czasie.

Zastosujmy uzyskane wnioski do układu szeregowego RLC.

Rys. 82 Układ szeregowy RLC

W obwodzie szeregowym, zgodnie z zasadą zachowania ładunku elektrycznego, natężenie prądu elektrycznego dla każdego elementu musi być jednakowe. Całkowite napięcie jest równe sumie wektorowej (ze względu na przesunięcia fazowe) napięć _R, _L i _C na poszczególnych elementach.

= _R +_L +_C

Wykres wskazowy dla tego układu przedstawia rysunek 83. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy następującą zależność:

U² = U_R² + (U_L - U_C)² .

Stosując prawo Ohma dla wartości skutecznych otrzymamy:

U = I Z , U_R = I R , U_L = I X_L , U_C = I X_C ,

gdzie: Z, R, X_L , X_C oznaczają odpowiednio: całkowity opór obwodu nazywany impedancją (zawadą), rezystancję opornika, opór indukcyjny (reaktancję indukcyjną) cewki i opór pojemnościowy (reaktancję pojemnościową) kondensatora.

Rys. 83 Wykres wskazowy dla układu szeregowego RLC

Dla elementów biernych:

X_L = ω L ,

X_C = .

Po uwzględnieniu tych wzorów (oraz podzieleniu obu stron przez I i spierwiastkowaniu) otrzymujemy wzór na impedancję:

Wykorzystując ten sam trójkąt określamy przesunięcie fazowe między natężeniem prądu a całkowitym napięciem:

.

Przyłożenie do układu szeregowego RLC napięcia zmiennego o stałej wartości skutecznej U powoduje, zgodnie z prawem Ohma dla prądu zmiennego, przepływ zmiennego prądu elektrycznego o wartości skutecznej natężenia I równej:

.

W układzie takim można uzyskać maksymalną wartość natężenia prądu I_max przy odpowiednim doborze wartości indukcyjności L, pojemności C i częstotliwości f (ω=2πf). Mówimy wówczas o tzw. rezonansie napięć w tym układzie. Dla I_max impedancja Z musi osiągać wartość minimalną. Ponieważ wartość rezystancji jest stała to z wzoru na impedancję wynika, że:

,

lub

ω²LC = 1

a stąd po uwzględnieniu, że ω=2∏f otrzymujemy wzór na częstotliwość rezonansową f_r :

.

Z powyższego wzoru wynika, że rezonans w układzie szeregowym RLC można uzyskać zmieniając jedną z trzech wartości f, L, C. Przykładem zastosowania tego zjawiska jest zmiana częstotliwości własnej różnego rodzaju nadajników i odbiorników przez zmianę pojemności układu rezonansowego przy wysyłaniu i odbieraniu fal elektromagnetycznych modulowanych przekazywaną informacją. Zgodność częstotliwości wysyłanych przez nadajnik fal elektromagnetycznych z częstością własną obwodu rezonansowego odbiornika powoduje maksymalny przekaz energii i uzyskanie maksimum sygnału w obwodzie wejściowym odbiornika. Po odpowiednim wzmocnieniu i przekazaniu do przetwornika możliwe jest uzyskanie sygnału dźwiękowego lub wizualnego.

12. Fale elektromagnetyczne

Zajmiemy się teraz podstawami teoretycznymi, powstawaniem i strukturą fali elektro-magnetycznej oraz własnościami falowymi i korpuskularnymi światła.

12.1. Równania Maxwella

W rozdziałach dotyczących pola elektrycznego i magnetycznego poznaliśmy kilka praw rządzących tymi polami w przypadku ich niezmienności w czasie (nieruchome ładunki w polu elektrostatycznym i stały prąd lub strumień indukcji magnetycznej w stałym polu magnetycznym) jak i przy zmianach w czasie (reguła Lenza). Przypomnimy je teraz w nieco innej formie i zestawimy w postaci tzw. równań Maxwella.

Zaczniemy od strumienia indukcji elektrostatycznej , który definiujemy:

lub

i który dla powierzchni zamkniętej jest równy całkowitemu ładunkowi Q zawartemu wewnątrz tej powierzchni.

Φ_{e, pow,zam} = Q

Powyższe równanie stanowi treść prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego. Można go również skomentować w ten sposób, że źródłem pola elektrostatycznego jest ładunek (pole elektrostatyczne jest źródłowe).

Przejdźmy teraz do stałego pola magnetycznego. Wiemy, że w polu tym dla dowolnej powierzchni zamkniętej tyle samo linii tego pola wchodzi do obszaru ograniczonego tą powierzchnią ile z niej wychodzi. Dzieje się tak dlatego, że linie tego pola są zamknięte. Ponieważ strumień pola interpretujemy jako ilość linii przechodzących przez powierzchnię z odpowiednim znakiem (+ dla linii wychodzących z obszaru ograniczonego tą powierzchnią i - dla wchodzących do niego) dlatego dla powierzchni zamkniętej strumień indukcji magnetycznej jest równy 0.

lub

Również to równanie możemy skomentować następująco: stałe pole magnetyczne nie jest źródłowe lecz jest wirowe (zamknięte linie pola magnetycznego).

Powyższe równania stanowią treść III i IV równania Maxwella.

Przejdźmy teraz do dwóch następnych. Przypomnijmy sobie regułę Lenza. Mówiła ona, że zmiany strumienia indukcji magnetycznej powodują powstawanie wirowego pola elektrycznego o natężeniu . Wiry tego pola elektrycznego wiążą się z powstawaniem siły elektromotorycznej .

lub

Iloczyn skalarny za znakiem sumy oznacza cząstkową siłę elektromotoryczną powstającą na fragmencie krzywej zamkniętej c obejmującej powierzchnię, po której liczymy strumień indukcji magnetycznej. Prawa strona równania oznacza ujemną pochodną po czasie z tego strumienia. Wzór ten stanowi treść kolejnego równania Maxwella (przy braku stałych sił elektromotorycznych) i można go interpretować podobnie jak regułę Lenza.

Następne równanie Maxwella wiąże się z powstawaniem wirów pola magnetycznego (człon w nawiasie w poniższym wzorze) wokół powierzchni przez którą przepływają prądy I.

lub

Oprócz przepływających prądów uwzględniono w powyższym wzorze tzw. prąd przesunięcia I_przes, który związany jest ze zmiennym strumieniem pola elektrycznego i obliczamy go z wzoru:

.

Poniższe równania wiążą wektory indukcji z wektorami natężenia odpowiednich pól oraz wektor gęstości prądu z wektorem natężenia pola elektrycznego (odpowiednik prawa Ohma).

Równania te stanowią podstawę zrozumienia, powstawania i rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Napiszmy jeszcze raz równania związane ze zmiennym polem elektrycznym i magnetycznym dla próżni (brak ładunków i prądów). Wprowadzimy w tym celu pojęcie rotacji informującej o krążeniu wektora danej wielkości fizycznej (całka po krzywej zamkniętej z
lub
) przypadającym na jednostkę powierzchni.

12.2. Powstawanie i widmo fal elektromagnetycznych

Z powyższych równań wynika, że zmienne pole elektryczne powoduje powstawanie wirowego, zmiennego pola elektrycznego a to z kolei powstawanie wirowego, zmiennego pola elektrycznego itd. Rozpatrzmy teraz zachowanie tych pól wokół drgającego dipola elektrycznego (rysunek 84).

Rys. 84 Powstawanie fali elektromagnetycznej

Z rysunku widać, że powstające wiry pól leżą w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych a wektory i drgają prostopadle do kierunku propagacji (rozchodzenia się) fali . Wersory tych trzech kierunków tworzą trójkę prawoskrętną:

Układ zmieniających się wektorów w strukturze fali elektromagnetycznej przedstawia rysunek 85.

Rys. 85 Struktura fali elektromagnetycznej

Płaszczyznę wyznaczoną przez kierunek drgań wektora pola elektrycznego i kierunek propagacji fali nazywamy płaszczyzną drgań fali elektromagnetycznej. Płaszczyznę wyznaczoną przez kierunek drgań wektora pola magnetycznego i kierunek propagacji fali nazywamy płaszczyzną polaryzacji fali elektromagnetycznej. Zwróćmy uwagę, że ta ostatnia jest prostopadła do kierunku drgań wektora elektrycznego.

Zaznaczona na rysunku długość fali λ wiąże się z prędkością rozchodzenia się fali elektromagnetycznej v i okresem drgań źródła T wzorem:

λ = v T .

Informacja a więc i energia pola elektromagnetycznego są przenoszone w postaci paczek fal elektromagnetycznych zwanych też kwantami promieniowania elektromagnetycznego lub fotonami. Paczki te powstają w wyniku nałożenia się na siebie ciągu fal o częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej f (). Obiekt ten zajmuje niewielki obszar i może poruszać się w przestrzeni z prędkością nie przekraczającą prędkości światła w próżni c. Przenosi on energię E równą:

E = h f ,

gdzie h = 6,625⋅10^-34 J⋅s jest tzw. stałą Plancka.

Promieniowanie elektromagnetyczne (rysunek 86) ze względu na długości fal lub częstotliwości pogrupowano w przedziały różniące się własnościami i zastosowaniami. Grupę fal radiowych o największych długościach fal podzielono na zakresy fal długich, średnich i ultrakrótkich. Najbardziej znanym ich zastosowaniem jest komunikacja radiowa, telewizyjna i „komórkowa”. Pochłanianie tych fal rośnie ze wzrostem ich częstotliwości. W zakresie długości fal 10^-3-10^-1m znajdują się mikrofale wykorzystywane w technice grzewczej (kuchenki mikrofalowe), defektoskopii i radiolokacji. Następny zakresy fal z promieniowania słonecznego przepuszczane przez atmosferę: to promieniowanie podczerwone (ogrzewanie), światło widzialne (zmysł wzroku u zwierząt, fotosynteza u roślin), promieniowanie ultrafioletowe (szkodliwe dla tkanek). Kolejne przedziały fal elektromagnetycznych, ujawniające w niektórych zjawiskach własności korpuskularne, to promienie Roentgena i promieniowanie
. Pierwsze z nich wykorzystano w diagnostyce medycznej i analizie fazowej ciał krystalicznych. Promieniowanie
jako najbardziej energetyczne prowadzi do rozpadu wiązań chemicznych i jako promieniowanie jonizujące jest jednym z najbardziej szkodliwych czynników niszczących organizmy żywe.

Rys. 86 Widmo fal elektromagnetycznych

12.3. Dualizm falowo-korpuskularny

Światło składające się z fotonów (paczek fal elektromagnetycznych) zachowuje się w zależności od częstotliwości jak fala lub jak korpuskuła (cząstka materialna posiadająca masę spoczynkową). Własności falowe światła ujawniają się w takich zjawiskach fizycznych jak: ugięcie i interferencja, polaryzacja, zjawisko Dopplera oraz przy anihilacji par cząstek elementarnych. Własności korpuskularne światła ujawniają się w widocznej zmianie jego kierunku propagacji w pobliżu wielkich mas (oddziaływanie grawitacyjne) oraz w zjawiskach: fotoelektrycznym, Comptona i przy kreacji par cząstek elementarnych. Prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska korpuskularnego (przy spełnieniu określonych warunków) rośnie ze wzrostem energii fotonu (częstotliwości). Również typowe cząstki obdarzone masą spoczynkową mogą wykazywać własności falowe. Na przykład wiązka elektronów po przejściu przez cienką folię metalową daje obraz interferencyjny.

12.3.1. Zjawiska falowe

polaryzacja

Fale elektromagnetyczne, jako fale poprzeczne ulegają polaryzacji. Zjawisko to polega na wyróżnieniu kierunku drgań wektora elektrycznego w wiązce światła o różnych kierunkach tych drgań. Przyrządy polaryzujące wiązkę światła nazywamy polaryzatorami. Działanie tych przyrządów oparte jest na takich zjawiska jak: anizotropia (niejednakowe własności w różnych kierunkach) pochłaniania, anizotropia odbicia i załamania, dwójłomność w kryształach. Do badania wiązki spolaryzowanej używa się drugiego polaryzatora, który ze względu na pełnioną funkcję nazywany jest analizatorem.

Rys. 87 Polarymetr

Jeśli między polaryzator i analizator wstawimy substancję czynną optycznie, która może skręcić płaszczyznę polaryzacji o pewien kąt α to otrzymamy urządzenie zwane polarymetrem (rysunek 87). Może on służyć np. do wyznaczania stężenia roztworu cukru. Skręcenie płaszczyzny polaryzacji α dla ciał stałych i roztworów zależy od grubości warstwy d, skręcalności właściwej „w” (czyli od rodzaju substancji), od temperatury i wykorzystywanej długości fali świetlnej. W przypadku roztworu zależy też od jego stężenia s.

α = w ⋅s ⋅ d

Dla światła monochromatycznego przy obrocie analizatora o kąt α (bez substancji skręcających płaszczyznę polaryzacji) otrzymamy składową:

E_ = E₀ ⋅ cosα .

Ponieważ energia przenoszona przez fale elektromagnetyczne (jasność) jest proporcjonalna do kwadratu E stąd wzór na intensywność wiązki po przejściu przez analizator:

I_ = I₀ ⋅ cos²α .

interferencja

Fale elektromagnetyczne, podobnie jak mechaniczne, ulegają ugięciu na niejednorodnościach środowiska (patrz odbicie i załamanie światła), superpozycji i interferencji. Superpozycja polega na wektorowym nakładaniu się natężeń pól elektrycznych. Z interferencją mamy do czynienia gdy nakładające się fale są spójne (koherentne) tzn. gdy mają tą samą częstotliwość.

Warunkiem uzyskania stabilnego obrazu interferencyjnego jest stałość różnicy faz drgań dochodzących do danego punktu z dwóch źródeł Z₁ i Z₂.

Jak wykazano w rozdziale 6 dla uzyskania interferencji wystarczająca jest równość częstotliwości drgań źródeł.

zjawisko Dopplera

Zjawisko to, podobnie jak w akustyce, powoduje zmianę rejestrowanej częstotliwości światła przy względnym ruchu źródła światła i obserwatora. Uwzględniając efekt relatywistyczny dla oznaczeń jak na rysunku:

Rys. 88 Zjawisko Dopplera

otrzymujemy:

,

gdzie ω oznacza częstość odbieraną, ω₀ częstość wysyłaną przez źródło poruszające się z prędkością v w układzie obserwatora i pod kątem Θ względem kierunku obserwacji.

Rys.89 Zjawisko Dopplera w akustyce

Na rysunku 89 u₁ i u₂ oznaczają odpowiednio prędkość źródła fal akustycznych i obserwatora, ₁ i ₂ odpowiednie kąty do tych prędkości liczone od kierunku obserwacji. dpowiedni wzór na częstotliwość f rejestrowaną przez obserwatora ma postać:

,

gdzie v oznacza wartość prędkości dźwięku.

12.3.2. Zjawiska korpuskularne

zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z powierzchni metalowej pod wpływem padającego promieniowania elektromagnetycznego. Energia padającego fotonu jest zużywana na pracę wyjścia W elektronu z powierzchni i nadanie mu energii kinetycznej E. Konsekwencją zasady zachowania energii jest tu równanie Einsteina:

hν = W + .

Fotokomórkę i jej charakterystykę prądowo-napięciową z oświetloną katodą przedstawiają rysunki 89 i90.

Rys. 90 Fotokomórka i wykres zależności I(U)

Widać z wykresu I(U), że nawet bez przyłożenia zewnętrznego napięcia U między katodą i anodą płynie prąd elektryczny spowodowany wybijanymi fotoelektronami. Dodatnie spolaryzowanie elektrod zwiększa wartość natężenia prądu aż do nasycenia, przy którym wszystkie fotoelektrony dochodzą do anody. Dalszy wzrost natężenia prądu jest ograniczony ilością nośników prądu elektrycznego. Aby zwiększyć wartość I_n należałoby zwiększyć natężenie oświetlenia katody co spowodowałoby zwiększenie ilości fotoelektronów. Wyzerowanie wartości natężenia fotoprądu możliwe jest po przyłożeniu do elektrod przeciwnie skierowanego zewnętrznego napięcia -U₀, którego praca skompensuje maksymalną energię kinetyczną fotoelektronów. Otrzymamy wówczas równanie:

hν = W + eU₀.

Równanie to można wykorzystać do wyznaczenia stosunku e/h. Potrzebne są do tego przynajmniej dwa filtry przepuszczające światło o częstotliwości odpowiednio ν₁ i ν₂, fotokomórka, zasilacz, woltomierz i amperomierz. Proponuję czytelnikowi zaprojektowanie tego doświadczenia i wyprowadzenie odpowiedniego wzoru.

zjawisko Comptona

Polega ono na rozpraszaniu fotonu na spoczywającym elektronie lub innym obiekcie. Zjawisko to z zaznaczonymi pędami przedstawia rysunek 91.

Rys. 91 Zjawisko Comptona

Po uwzględnieniu zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii otrzymujemy:

Δλ = λ' - λ = 2 λ_C sin ² = 2 sin ² .

Tak więc rejestrowana zmiana długości fali Δλ rośnie ze wzrostem kąta rozproszenia fotonu i maleje ze wzrostem masy centrum rozpraszającego.

kreacja i anihilacja par

Zjawisko kreacji polega na zniknięciu wysokoenergetycznego fotonu i powstaniu pary elektron - pozyton. Zjawisko odwrotne (anihilacja) polega na zniknięciu pary elektron - pozyton przy ich zderzeniu i powstaniu pary fotonów gamma. W obu zjawiskach spełnione są zasady zachowania pędu, energii i ładunku elektrycznego. Minimalna wartość energii fotonu z którego powstaje para elektron pozyton wynosi 2m_ec² (m_e - masa spoczynkowa elektronu).

12.4. Światło jako fala prawdopodobieństwa

Patrząc na wzór Plancka (E=hf=hc/) rodzi się podstawowa wątpliwość. We wzorze tym występuje typowa wielkość falowa - długość fali  trudno przyjąć, że foton jest falą rozciągającą się w nieskończoność. Wątpliwości te związane są z analizą doświadczenia Younga.

Rys.92 Doświadczenie Younga

Płaska wiązka światła po przejściu przez obie szczeliny daje na ekranie miejsca o większej lub mniejszej jasności (pominięto różnicę wysokości pików). Gdybyśmy przesuwali wzdłuż ekranu rejestrator fotonów to uzyskalibyśmy przypadkowy rozkład, który z czasem zacząłby przypominać rozkład jak na rysunku 92. Wynika stąd, że falę o długości  stowarzyszoną z fotonami powinniśmy potraktować jako falę prawdopodobieństwa determinującą „przypadkowe” zachowanie fotonów. Prawdopodobieństwo to (przypadające na jednostkę czasu i objętości) jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy wektora pola elektrycznego w danym punkcie.

Wersja jednofotonowa powyższego doświadczenia polega na stosowaniu w powyższym doświadczeniu bardzo słabej wiązki światła. Możemy wówczas przyjąć, że pojedyncze fotony emitowane są niejednocześnie (jeden za drugim). Okazuje się, że również wówczas otrzymujemy po pewnym czasie taki sam obraz. Powstają pytania: skąd foton „wie” przez którą szczelinę ma się poruszać i skąd pojedynczy foton „wie” o istnieniu obu szczelin i czy może on przechodzić przez obie jednocześnie? Ponieważ o istnieniu fotonu dowiadujemy się w procesie oddziaływania z materią (nikt nie widział wędrującego fotonu) dlatego można przyjąć, że jest to energia zdeponowana w przestrzeni znikająca w procesie absorpcji przez materię i sterowana przez falę prawdopodobieństwa stowarzyszoną z tą energią.

Podobne doświadczenie można przeprowadzić zastępując fotony elektronami (korpuskuły). W tym przypadku korpuskule przyporządkowujemy falę materii o długości =h/p (p-pęd cząstki) zwaną długością fali de Broglie'a. Fala materii opisywana jest przez funkcję falową występującą w równaniu Schroedingera. Kwadrat jej amplitudy pełni rolę gęstości prawdopodobieństwa wykorzystywanej do wyznaczenia prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pewnym przedziale czasu w pewnym otoczeniu punktu.

13. Optyka geometryczna

Optyka geometryczna zajmuje się ruchem promieni i konstrukcją obrazów w układach optycznych bez analizy własności promieniowania elektromagnetycznego.

1. Prawo odbicia i załamania światła

Podstawą teoretyczną optyki geometrycznej jest zasada Fermata mówiąca, że światło porusza się po takim torze aby czas jego ruchu między położeniem początkowym A i końcowym B był minimalny. Wyobraźmy sobie, że punkty te leżą w dwóch ośrodkach 1 i 2 (rysunek 93). W ośrodku pierwszym prędkość światła wynosi v₁ a w ośrodku drugim v₂. Niech odległości punktów A i B od płaskiej granicy ośrodków wynoszą y_A i y_B, a odległość ich rzutów na tą płaszczyznę d. Położenie punktu, w którym nastąpi załamanie jest nieznane. Niech będzie ono określone przez zmienną x.

Rys. 93 Załamanie na granicy dwóch ośrodków

Drogi przebyte przez promień w obu ośrodkach obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

s₁² = x² + y_A²

s₂² = (d-x)² + y_B²

Całkowity czas przejścia z punktu A do B wyniesie:

t = t_A + t_B = = .

Ponieważ czas ten ma być minimalny to pochodna z powyższej funkcji t(x) po x musi być równa 0.

Po uproszczeniu przez 2 zauważyć można, że oba ułamki zawierają funkcje trygonometryczne kątów α i β. Kąt α nazywamy kątem padania i znaczymy go między kierunkiem promienia padającego i normalną (prostą prostopadłą) do powierzchni granicznej w punkcie padania. Kąt β nazywamy kątem załamania i znaczymy go między kierunkiem promienia załamanego i normalną do powierzchni granicznej w punkcie padania. Dla obu kątów zachodzą następujące związki:

sin α = ,

sin β = .

Wstawiając ostatnie dwa wzory do poprzedniego otrzymujemy:

.

Wprowadzając definicję bezwzględnego współczynnika załamania światła n_i (informującego ile razy prędkość w danym ośrodku jest mniejsza od prędkości światła w próżni):

n₁ = ,

n₂ =

oraz względnego współczynnika załamania n₁₂ ośrodka 2 względem 1 (równego stosunkowi prędkości światła lub stosunkowi bezwzględnych współczynników załamania w tych ośrodkach):

n₁₂ = ,

otrzymamy:

.

Powyższy wzór wyraża prawo załamania światła, które mówi, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest wielkością stałą równą stosunkowi prędkości światła w obu ośrodkach (lub względnemu współczynnikowi załamania ośrodka drugiego względem pierwszego) i oba kąty leżą w jednej płaszczyźnie.

Z prawa załamania wynika, że promień świetlny przechodzący z ośrodka rzadszego optycznie (większa prędkość, mniejszy współczynnik załamania) do gęstszego optycznie załamuje się do (odchyla się w kierunku) normalnej. Poruszając się w stronę przeciwną załamuje się od normalnej. Zjawisko to powoduje, że patrząc np. na przedmioty w wodzie widzimy je pod innym kątem i na innej wysokości.

Niech czytelnik sam przeprowadzi podobną analizę dla odbicia światła. Ponieważ w tym przypadku v₁ = v₂ stąd prawo odbicia będzie brzmiało: kąt padania jest równy kątowi odbicia i oba kąty leżą w jednej płaszczyźnie.

Z prawa tego wynika, że przy odbiciu zmienia się na przeciwną składowa prostopadła do powierzchni granicznej obu ośrodków. Fakt ten znalazł zastosowanie przy budowie świateł odblaskowych. Zbudowane one są z wielu naroży sześciennych i wykorzystują wewnętrzne ścianki odbijające. Ponieważ ścianki te zorientowane są wzajemnie prostopadle dlatego wchodzący do środka promień po odbiciu od każdej po kolei zmienia za każdym razem jedną z trzech współrzędnych na przeciwną. Oznacza to, że promień wychodzący ma wszystkie współrzędne przeciwne do odpowiednich w promieniu padającym, a więc wychodzi w tym samym kierunku lecz z przeciwnym zwrotem. Oznacza to, że promienie po oświetleniu poprzedzającego ciała wracają do obiektu, który je oświetlił (np. światła samochodu).

Promień świetlny padający na granicę dwóch ośrodków najczęściej ulega odbiciu i załamaniu dzieląc swą energię na dwie części. Jak już powiedzieliśmy dla promienia wychodzącego z ośrodka gęstszego optycznie (większe n) kąt załamania jest większy od kąta padania. Przy kącie padania, któremu odpowiada kąt załamania równy 90⁰ następuje całkowite wewnętrzne odbicie. Znika wówczas promień załamany a cała energia promienia padającego wraca do pierwszego ośrodka w postaci promienia odbitego (rysunek 94).

Rys. 94 Całkowite wewnętrzne odbicie

Dla kąta granicznego (promień 2) zachodzi związek:

Przyjmując, że drugim ośrodkiem jest powietrze (n₂ ≈ 1) oraz n₁ = n otrzymujemy wzór na kąt graniczny przy całkowitym wewnętrznym odbiciu:

.

Całkowite wewnętrzne odbicie zachodzi więc dla kątów padania większych od α_gr. Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia znalazło powszechne zastosowanie w telekomunikacji światłowodowej, w telewizji kablowej, w medycynie do obserwacji i operacji organów wewnętrznych (laparoskopia) oraz w wielu działach techniki związanych z laserami a także przy konstrukcji przyrządów optycznych (np. pryzmaty odwracające bieg promienia i wydłużające jego drogę w lornetkach, lunetach, spektrografach itp.).

1. Pryzmat, zwierciadło, soczewki

Rysunek 95 przedstawiona bieg promienia w pryzmacie.

Rys. 95 Bieg promienia monochromatycznego w pryzmacie

Pryzmatem nazywamy część ciała przezroczystego (o współczynniku załamania n) ograniczoną dwoma półpłaszczyznami o wspólnej krawędzi zwanej krawędzią pryzmatu. Kąt ϕ między tymi półpłaszczyznami nazywamy kątem łamiącym pryzmatu. Znajdziemy teraz związki występujące między odpowiednimi kątami zaznaczonymi na rysunku. Niech na zewnątrz pryzmatu będzie środowisko (z dobrym przybliżeniem powietrze) o współczynniku załamania równym 1. Oznaczmy kąty w tym środowisku przez α₁ i α₂ . Odpowiednie kąty w pryzmacie oznaczymy przez β₁ i β₂. Zgodnie z prawem załamania zachodzi między nimi związek:

.

Przyjmując, że dla małych kątów:

sin α ≈ tg α ≈ α ,

otrzymamy:

α₁ ≈ n β₁

oraz

α₂ ≈ n β₂ ,

Weźmy teraz pod uwagę dwa trójkąty leżące wewnątrz pryzmatu. Wykorzystamy odpowiednie twierdzenie matematyczne mówiące, że wartość kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie wartości kątów wewnętrznych tego trójkąta. Tak więc dla odpowiednich trójkątów otrzymamy następujące wzory:

ϕ = β₁ + β₂ ,

oraz

Θ = (α₁ - β₁) + (α₂ - β₂) = α₁ + α₂ - (β₁ + β₂) = α₁ + α₂ - ϕ .

Łącząc ostatnie wzory otrzymujemy:

Θ = n β₁ + n β₂ - ϕ = n ϕ -ϕ = (n-1) ϕ .

Z wzoru tego wynika, że odchylenie promienia od kierunku pierwotnego Θ zależy przy małych kątach od kąta łamiącego pryzmatu i od współczynnika załamania światła n. Współczynnik załamania światła jest (w pierwszym przybliżeniu) odwrotnie proporcjonalny do długości fali światła λ . Ponieważ długość fali światła fioletowego jest mniejsza niż długość fali światła czerwonego dlatego współczynnik załamania dla światła fioletowego jest większy niż współczynnik załamania dla światła czerwonego. Wykorzystując tą informację i ostatni wzór dochodzimy do wniosku, że jeśli pryzmat oświetlimy wiązką światła białego to ulegnie ona rozszczepieniu na pierwszej powierzchni pryzmatu i po przejściu przez niego najbardziej będzie odchylona składowa fioletowa a najmniej czerwona.

Przejdźmy teraz do przyrządów optycznych wykorzystujących prawo odbicia światła a mianowicie do zwierciadeł. Zwierciadłem nazywamy powierzchnię regularną odbijającą światło. Jeśli powierzchnią tą jest fragment sfery kulistej to mówimy o zwierciadłach kulistych skupiających (strona wewnętrzna sfery) lub rozpraszających (jeśli jest to strona zewnętrzna). Jeśli powierzchnią tą jest fragment paraboloidy obrotowej to mamy do czynienia ze zwierciadłem parabolicznym. Gdy powierzchnią tą jest płaszczyzna to mamy do czynienia ze zwierciadłem płaskim. W ostatnim przypadku, jak mówiliśmy wcześniej, przy odbiciu od takiego zwierciadła mamy do czynienia ze zmianą składowej prostopadłej do jego powierzchni. Jeśli więc dla promienia padającego i układu prawoskrętnego zachodzi związek między wersorami:

to po odbiciu od płaszczyzny zwierciadła prostopadłej np. do wersor ten zmieni się na wersor ^* = - co prowadzi do zależności:

= -=
.

Ostatnie równanie charakteryzuje układ lewoskrętny. Oznacza to, że patrząc na tekst widzimy go jakby był napisany od strony prawej do lewej. Dlatego często można spotkać napisy na pojazdach uprzywilejowanych napisane odwrotnie tak aby kierowca jadący z przodu widział je po odbiciu w lusterku wstecznym we właściwym kierunku.

Zajmijmy się teraz zwierciadłem kulistym wklęsłym (rysunek 96).

Rys. 96 Zwierciadło kuliste wklęsłe

Zwierciadło kuliste wklęsłe jest wewnętrzną częścią odbijającej sfery kulistej o środku w punkcie S i promieniu o długości SO (O nazywamy wierzchołkiem zwierciadła). Punkty S i O wyznaczają główną oś optyczną. W połowie odcinka SO znajduje się punkt F nazywany ogniskiem zwierciadła. Dzieli on odcinek SO na dwie równe części co oznacza, że leży w odległości równej połowie promienia krzywizny od punktu O. Odległość tą nazywamy ogniskową zwierciadła „f”. Wąska wiązka, równoległa do głównej osi optycznej po odbiciu od tego zwierciadła skupia się w jego ognisku (wszystkie promienie przechodzą przez punkt F). Tak więc możemy podać teraz własności promieni odbijanych od zwierciadła kulistego wklęsłego potrzebne do konstrukcji obrazów w tym zwierciadle:

1. promień padający, równoległy do osi optycznej po odbiciu przechodzi przez ognisko zwierciadła (1 1'),

2. promień padający na wierzchołek zwierciadła po odbiciu porusza się symetrycznie do padającego względem osi optycznej,

3. promień padający, przechodzący przez ognisko po odbiciu porusza się równolegle do osi optycznej (3 3').

Jeśli przez x oznaczymy odległość przedmiotu a przez y odległość obrazu od wierzchołka zwierciadła O, oraz przez R promień krzywizny zwierciadła to dla promieni przyosiowych otrzymamy równanie zwierciadła:

.

Spróbujemy znaleźć teraz związki między odległością przedmiotu i obrazu od wierzchołka zwierciadła O oraz wysokościami przedmiotu i obrazu wykorzystując rysunek 97 i podobieństwo odpowiednich trójkątów.

Rys. 97 Bieg promieni w zwierciadle kulistym wklęsłym

Powiększenie p możemy zdefiniować:

.

Wstawiając do ostatniego równania poprzednie otrzymujemy:

.

Z wzoru tego wynika, że obraz pomniejszony (p<1) uzyskamy dla x>2f czyli przedmiotów leżących w odległości większej od podwójnej ogniskowej (x>2R). Dla x=2f otrzymujemy obraz o tej samej wielkości. Dla x<2f oraz x>f otrzymujemy obraz rzeczywisty, powiększony. Przy 0<x<f powiększenie p<-1 i otrzymujemy obraz powiększony, pozorny (jako przecięcie przedłużeń promieni odbitych) leżący za zwierciadłem.

Te same wnioski uzyskamy przeprowadzając badanie funkcji y(x) otrzymanej z równania zwierciadła.

Z symetrii funkcji (x zamienne z y w równaniu zwierciadła) wynika, że funkcja ta posiada asymptoty x=f oraz y=f. Zbadajmy teraz jej monotoniczność. Obliczymy w tym celu pochodną:

.

Widać z otrzymanego wzoru, że jest ona mniejsza od 0 w całej dziedzinie, a więc funkcja y(x) jest malejąca. Wykres funkcji y(x) przedstawia rysunek 98.

Rys. 98 Zależność y(x) dla zwierciadła kulistego

Dyskusja przebiegu otrzymanej funkcji prowadzi do wniosków, które zestawiono w tabeli 5.

Zwierciadła kuliste i paraboliczne wklęsłe znalazły zastosowanie w przyrządach astronomicznych, antenach satelitarnych, reflektorach i.t.p. Zwierciadła kuliste i paraboliczne wypukłe znalazły zastosowanie np. jako zwierciadła zwiększające pole widzenia w samochodach i na skrzyżowaniach ulic. Zwierciadła metaliczne umożliwiają też ogniskowanie promieniowania elektromagnetycznego o różnych długościach fal i uzyskiwanie odpowiednio dużej mocy na jednostkę powierzchni odbiornika.

Przedstawione wyżej równanie zwierciadła można również zastosować do zwierciadła kulistego, wypukłego wstawiając ogniskową ze znakiem minus (środek krzywizny leży po przeciwnej stronie zwierciadła).

x	y	p=y/x
∞	f	0	wiązka równoległa skupia się w ognisku
x>2f	f<y<2f	p<1	obraz rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony
2f	2f	1	obraz rzeczywisty, odwrócony
f<x<2f	y>2f	p>1	obraz rzeczywisty, odwrócony, powiększony
f	∞	∞	świecące ognisko daje odbitą wiązkę równoległą
0<x<f	y<0	p<-1	obraz pozorny, prosty, powiększony
x<0	0<y<f	-1<p<0	obraz rzeczywisty, prosty, pomniejszony przedmiotu pozornego,

Tabela.5. Własności obrazów uzyskiwanych za pomocą zwierciadła

Przejdźmy teraz do analizy biegu promieni w soczewkach. Soczewką nazywamy część ośrodka przezroczystego ograniczoną dwoma powierzchniami kulistymi (lub parabolicznymi). Ma ona taką własność, że wiązka równoległa po przejściu przez nią skupia się w jednym punkcie zwanym ogniskiem rzeczywistym F soczewki. Mówimy wtedy o soczewce skupiającej. Jeśli wiązka równoległa po przejściu przez soczewkę jest rozbieżna tak, że przedłużenia promieni przecinają się w jednym punkcie (ognisku pozornym F') to soczewkę nazywamy rozpraszającą (rysunek 99).

Rys. 99 Ognisko soczewki skupiającej i rozpraszającej

Dla soczewek stosujemy podobny jak dla zwierciadeł wzór soczewkowy:

,

gdzie: x, y oznaczają odpowiednio odległość przedmiotu i obrazu od soczewki, f jej ogniskową, n₁₂ względny współczynnik załamania materiału soczewki względem materiału otoczenia oraz R₁ i R₂ promienie krzywizn sfer ograniczających soczewkę (rysunek 100).

Rys. 100 Znaki parametrów z wzoru soczewkowego

Umówimy się, że promienie poruszają się od lewej do prawej strony oraz , że przedmiot umieszczony z lewej strony będzie miał wartość x dodatnią (z prawej ujemną). Analogicznie dla obrazu powstającego z prawej strony y>0. Jeśli pierwsza sfera, na którą padają promienie ma środek krzywizny po prawej stronie a druga po lewej to we wzorze soczewkowym wstawiamy dodatnie wartości R₁ i R₂. Jeśli po wstawieniu do wzoru soczewkowego powyższych wartości otrzymamy dodatnią wartość ogniskowej to mamy mówimy o soczewce skupiającej, jeśli ujemną to o soczewce rozpraszającej.

Proponujemy czytelnikowi jako ćwiczenie podanie znaków R₁ i R₂ oraz rodzaju soczewki (znaku f) dla przykładów na rysunku 101. Zwróćmy uwagę, że soczewki wykonane z materiału gęstszego optycznie w stosunku do otoczenia (np. szkło w powietrzu) są skupiające gdy są grubsze w środku i węższe na brzegach. Pamiętajmy też, że dla płaszczyzny przyjmujemy nieskończoną wartość promienia krzywizny. Zauważmy też, że przeniesienie soczewki z ośrodka rzadszego optycznie do ośrodka o współczynniku załamania większym od materiału soczewki zmienia znak ogniskowej. Oznacza to, że soczewka skupiająca zmieni się w rozpraszającą a rozpraszająca w skupiającą. Tak więc należy pamiętać, że nie tylko kształt soczewki decyduje o jej ogniskowej ale i względny współczynnik załamania światła materiału soczewki względem otoczenia.

Rys. 101 Rodzaje soczewek

Symbolicznie będziemy zaznaczać oba rodzaje soczewek jak na rysunku 102.

Rys. 102 Symbole soczewek

Dla soczewek definiujemy zdolność skupiającą d jako odwrotność ogniskowej f.

Jednostką zdolności skupiającej jest 1 dioptria (1D).

[ d ] = 1D = 1m^-1

Zdolność skupiająca układu soczewek jest równa sumie zdolności skupiających poszczególnych soczewek. Własność tą można wykorzystać do wyznaczenia ogniskowej soczewki rozpraszającej. Soczewka taka nie daje na ekranie rzeczywistego obrazu świecącego przedmiotu (w miejscu przecięcia rzeczywistych promieni a nie ich przedłużeń). Dlatego wykorzystujemy soczewkę skupiającą o zdolności skupiającej większej od bezwzględnej wartości d soczewki rozpraszającej (czyli o mniejszej wartości ogniskowej) i zestawiamy ją z badaną soczewką rozpraszającą w jeden układ. Układ ten będzie miał dodatnią zdolność skupiającą a więc umożliwi otrzymanie rzeczywistego obrazu na ekranie. Wyznaczając odległości x i y obliczymy zdolność skupiającą układu a stąd ogniskową soczewki rozpraszającej.

Zauważmy, że obraz powstały po przejściu przez soczewkę (także pozorny) staje się rzeczywistym przedmiotem dla drugiej soczewki.

Zasady konstrukcji obrazu w soczewkach skupiających i rozpraszających przedstawia rysunek 103.

Rys. 103 Bieg promieni przez soczewki

Dla soczewki skupiającej brzmią one następująco:

• promień padający równolegle na soczewkę po przejściu przez nią przechodzi przez jej ognisko rzeczywiste F,

• promień przechodzący przez ognisko F przed soczewką porusza się za nią równolegle do osi optycznej,

• promień padający na środek soczewki O nie zmienia za nią swego kierunku.

Analogicznie dla soczewki rozpraszającej:

• promień padający na soczewkę równolegle do osi optycznej, po przejściu przez nią odchyla się od osi optycznej tak, że jego przedłużenie do tyłu przecina ognisko pozorne F',

• promień padający na środek soczewki O nie zmienia za nią swego kierunku.

Zasady te umożliwiają konstrukcje obrazów dla soczewek skupiających i rozpraszających (rysunk 104).

Rys. 104 Zasady konstrukcji obrazów dla soczewek

Dla soczewki skupiającej otrzymano w powyższym przypadku obraz rzeczywisty (z przecięcia promieni rzeczywistych) odwrócony i pomniejszony. W przypadku soczewki rozpraszającej otrzymano obraz pozorny (z przecięć przedłużeń promieni wychodzących z soczewki), prosty (nie odwrócony) i pomniejszony. Oczywiście w drugim przypadku nie można tego obrazu uzyskać na ekranie.

13.3. Układy optyczne

Należy pamiętać, że w przypadku układu soczewek obraz uzyskany w poprzedzającej (rzeczywisty a także pozorny) traktowany jest przez następną soczewkę jako jej przedmiot. Zasada ta znalazła zastosowanie przy konstrukcji przyrządów optycznych. Lupa jest najprostszym przyrządem optycznym. Zbudowana jest z jednej soczewki skupiającej (rysunek 105).

Gdybyśmy obserwowali przedmiot z tzw. odległości dobrego widzenia δ to widzielibyśmy go pod kątem ϕ₁ takim, że:

tg ϕ₁ = .

Przedmiot o wysokości h umieszczamy w odległości x między soczewką i ogniskiem F blisko tego ostatniego. Patrząc z drugiej strony widzimy powiększony obraz przedmiotu o wysokości h' (widzimy obraz pozorny dzięki odpowiedniej zdolności skupiającej oka). Soczewkę ustawiamy tak aby obraz powstał w odległości dobrego widzenia δ a oko umieszczamy tuż przy lupie. W tym przypadku widzimy przedmiot pod kątem ϕ₂ , takim, że:

tg ϕ₂ = .

Powiększenie kątowe w jakie daje lupa będzie równe:

w = .

Rys. 105 Powstawanie obrazu w lupie

Wykorzystując podobieństwo trójkątów na powyższym rysunku znajdujemy:

.

Wyznaczmy x z równania soczewkowego dla y = -δ

Po wstawieniu do wzoru na powiększenie kątowe dla lupy otrzymujemy:

.

Z powyższego wzoru wynika, że większe powiększenie uzyskujemy przy małej wartości ogniskowej soczewki lupy.

Kolejnym, bardzo ważnym z punktu widzenia zastosowań praktycznych, przyrządem optycznym jest mikroskop. Służy on do obserwacji szczegółów przedmiotu przy dużym powiększeniu. Mikroskop optyczny składa się z dwóch soczewek: obiektywu S­₁ i okularu S₂ ustawionych w odległości l, równej długości tubusa mikroskopu. Bieg promienia w mikroskopie przedstawia rysunek 106.

Rys. 106 Konstrukcja obrazu w mikroskopie.

W mikroskopie otrzymujemy obraz pozorny, powiększony i odwrócony. Powiększenie kątowe mikroskopu optycznego jest iloczynem powiększeń obiektywu i okularu.

Powiększenie to dochodzi w praktyce do wartości 1000 przy najmniejszym rozróżnialnym szczególe ok. 0,3 μm.

14. Elementy fizyki mikroświata

W poprzednich rozdziałach omawiane były zjawiska z otaczającego nas świata w skalach (przestrzennych, czasowych i masowych) opowiadających bezpośrednim możliwościom percepcyjnym człowieka. W ostatnim rozdziale będzie mowa o zjawiskach zachodzących w skali mikro- i nano-, tzn. będzie mowa o zjawiskach zachodzących w bardzo krótkich czasach i w bardzo małych obszarach przestrzeni (patrz rozdział 1). Rozpoczniemy od elementów fizyki atomowej, a więc budowy materii na poziomie atomów i cząsteczek tworzących ciała materialne. Atom zbudowany jest z jądra atomowego, w którym znajdują się obojętne elektrycznie neutrony i dodatnio naładowane protony (ich wspólna nazwa to nukleony). Wokół jądra, po orbitach kołowych krążą ujemnie naładowane elektrony. Klasycznie taki ruch ładunku (z przyspieszeniem dośrodkowym) powinien spowodować emisję fali elektromagnetycznej, utratę energii elektronu i jego „spadek” na jądro atomowe. Spowodowało to konieczność wprowadzenia pewnych postulatów kwantowych.

14.1. Postulaty Bohra

Pierwszy postulat Bohra mówi, że istnieją stany stacjonarne (stabilne) atomu, w których nie emituje on energii. W stanach tych elektron atomu znajduje się na takiej orbicie, dla której moment pędu jest wielokrotnością stałej Diraca (stała Plancka podzielona przez 2
).

W równaniu tym n jest główną liczbą kwantową. Elektron obsadza ujemny poziom energetyczny:

(R - stała Rydberga)

Rys. 107 Poziomy energetyczne w atomie wodoropodobnym

Drugi postulat Bohra mówi, że atom przechodząc z jednego stanu stacjonarnego (m) do innego (n) emituje lub absorbuje porcję energii (foton, kwant) o energii
równej różnicy poziomów energetycznych obsadzanych przez elektron po i przed procesem.

14.2. Liczby kwantowe

Zastosowanie mechaniki kwantowej i rozwiązanie równania Schroedingera prowadzą do wartości momentu pędu elektronu w atomie:

,

gdzie: l jest orbitalną liczbą kwantową i przyjmuje wartości:

l = 0, 1, 2, ...,n-1 .

Wynika stąd, że n-ta powłoka elektronowa atomu (powłoki oznaczamy dużymi literami: K, L, M, N ...) składa się z n podpowłok numerowanych przez orbitalną liczbę kwantową. Te ostanie oznaczamy małymi literami s, p, d, f,...

Umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym powoduje, że wektor momentu pędu orientuje się tak w przestrzeni, że jego rzut na kierunek tego pola (rysunek 108) jest równy wielokrotności stałej Diraca.

m_l nazywamy orbitalną, magnetyczną liczbą kwantową. Przybiera ona 2l+1 wartości (od -l, ..., 0, ...., l).

Rys.108. Moment pędu elektronu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Kolejna spinowa, magnetyczna liczba kwantowa: m_s przyjmuje wartości
. Wiąże się to z faktem, że rzut spinowego momentu pędu elektronu w polu magnetycznym może przyjmować tylko dwie wartości.

1. Układ okresowy pierwiastków

Powyższe informacje oraz zasada minimalizacji energii i zakaz Puliego są podstawą zrozumienia budowy układu okresowego pierwiastków. Zakaz Pauliego mówi, że w atomie nie mogą znajdować się dwa elektrony o tych samych czterech liczbach kwantowych. Zasada minimalizacji energii mówi, że w kolejnych pierwiastkach (kolejne wartości liczby porządkowej Z) elektrony obsadzają poziomy energetyczne w kolejności rosnących wartości energii (1s_1, 1s₂, 2s₁, 2s₂, 2p₁, 2p₂, 2p₃ ..... ). Z powyższych faktów wynika też, że na podpowłoce l może być co najwyżej 2(2l+1) elektronów (2, 6, 10, ...) a na powłoce n może być co najwyżej 2n² elektronów (2, 8, 18 ....).

2. Widma emisyjne i absorpcyjne

Substancja pobudzona (np. termicznie) do świecenia zawiera atomy w stanie wzbudzonym, które emitują promieniowanie charakterystyczne (liniowe) nakładające się na ciągłe tło termiczne. Mówimy wtedy o widmie emisyjnym (maksima intensywności) charakterystycznym dla atomów, z których zbudowana jest ta substancja. Zjawisko to wykorzystywane jest w spektralnej analizie jakościowej. Jeśli badana substancja znajdzie się na drodze wiązki świetlnej o widmie ciągłym wysyłanym przez źródło o wyższej temperaturze to zostaną z tej wiązki wychwycone fragmenty widma energetycznego odpowiadające różnicom poziomów energetycznych badanego materiału. Powtórna emisja fotonów odbywa się już w pełny kąt bryłowy, co prowadzi do obniżenia intensywności wiązki przechodzącej w zakresie absorbowanym przez badany materiał (rysunek 109).

Rys. 109 Widmo emisyjne (dolny wykres) i absorpcyjne (górny wykres)

Do badania widma promieniowania atomu wykorzystuje się spektrometry siatkowe lub pryzmatyczne. Pierwsze z nich charakteryzują się liniową zależnością odchylenia określonej składowej od jej długości fali. Dla małych kątów sin   
, gdzie: x oznacza odległość danego prążka od prążka zerowego a l odległość tego prążka od siatki dyfrakcyjnej. W doświadczeniu Younga uzyskano zależność wzmocnienia w k-tym rzędzie interferencyjnym:

.

Przy powyższych założeniach otrzymujemy więc:

x ~  

W rozdziale 13 wyprowadzono wzór na odchylenie  wiązki przechodzącej przez pryzmat. Odchylenie to dla małych kątów jest wprost proporcjonalne do współczynnika załamania n.

Ponieważ, poza obszarami pochłaniania (z dokładnością do stałej):

,

stąd wynika, że dla spektrometru pryzmatycznego:

.

W spektrometrze pryzmatycznym (rysunek 110) wiązka światła wychodząca z pobudzonej do świecenia substancji pada na soczewkę S₁ dającą wiązkę równoległą. Ta z kolei pada na pryzmat Pr. Na jego pierwszej powierzchni następuje załamanie i rozszczepienie wiązki na składowe. Promienie o tej samej długości fali (barwie) wychodzą z pryzmatu jako równoległe do siebie i są ogniskowane przez soczewkę S₂ w jednym miejscu jako barwny prążek.

Rys.110. Schemat spektrometru pryzmatycznego

Spektrometry wykorzystywane są zarówno do analizy jakościowej (określenie pierwiastków wchodzących w skład próbki) jak i ilościowej (skład procentowy) badanej substancji.

Rysunek 111 Przedstawia zdjęcie spektrofotometru pryzmatycznego Helios sterowanego i przetwarzającego automatycznie dane za pomocą wbudowanego komputera.

Rys.111 Sterowany komputerowo spektrofotometr Helios (z lewej, u góry - wykres transmisji dla herbaty z cytryną, niżej - automatyczny podajnik z kuwetami, z prawej - wyświetlacz i klawiatura komputera).

Promieniowanie elektromagnetyczne o dużej energii i długościach fal od 10^-12 do 10^-9 m pochodzące od emisji przy przeskokach elektronów na nisko położone poziomy energetyczne nazywamy promieniowaniem rentgenowskim. Ze względu na jego przenikliwość i długości fal znalazło ono zastosowanie do diagnostyki medycznej i w nauce do badania struktury wewnętrznej ciał.

14.5 Półprzewodniki

Jedną z najdynamiczniej rozwijających się w ostatnich dziesięcioleciach dziedzin nauki jest elektronika. Jej szybki rozwój umożliwiło zastosowanie elementów półprzewodnikowych takich jak dioda i tranzystor.

Ciała stałe, ze względu na właściwości elektryczne, dzielimy na przewodniki, półprzewodniki i izolatory. Pierwsze z nich charakteryzują się największym przewodnictwem elektrycznym. Najmniejsze przewodnictwo wykazują izolatory. Półprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami przewodnictwa właściwego σ w zakresie od 10^-6 do 10⁶ ^-1m^-1.

Przewodnictwo właściwe σ jest odwrotnością oporu właściwego ρ występującego we wzorze na rezystancję (opór) R regularnego przewodnika:

,

gdzie ρ zależy od temperatury:

,

„” jest temperaturowym współczynnikiem oporu (ρ₀ - dla temperatury 0⁰C), l oznacza długość przewodnika a S pole powierzchni jego przekroju poprzecznego.

Z ostatniego wzory wynika, że opór przewodników rośnie z temperaturą.

W poprzednim rozdziale przedstawiono układ poziomów energetycznych odosobnionego atomu. Jeśli atomy znajdują się w strukturze krystalicznej ciała stałego to wpływ sąsiednich atomów powoduje rozszczepienie poziomu energetycznego w układ bardzo blisko leżących poziomów, które nazywamy pasmem energetycznym. Na rysunku 112 przedstawiono układ pasm energetycznych dla przewodników, półprzewodników i izolatorów.

Rys. 112 Układ pasm energetycznych dla przewodników, półprzewodników i izolatorów (pp-pasmo przewodnictwa, pw-pasmo walencyjne, pe-przerwa energetyczna, pd-poziom donorowy, pa-poziom akceptorowy)

Pasmo przewodnictwa pp to najniższe pasmo posiadające wolne poziomy energetyczne. Pasmo walencyjne to najwyższe pasmo zawierające elektrony. Warunkiem przepływu prądu jest aby w danym paśmie były wolne poziomy energetyczne i nośniki prądu (elektrony, dziury). Przewodniki spełniają ten warunek ponieważ oba pasma zachodzą na siebie. W półprzewodnikach samoistnych (bez domieszek) warunek ten można uzyskać w procesie generacji par elektron - dziura przy podgrzewaniu lub naświetlaniu półprzewodnika (fotorezystor). Wprowadzenie do półprzewodnika, zbudowanego z atomów 4 grupy układu okresowego, atomów z 5 grupy układu okresowego daje elektrony na poziomie donorowym pd. Termiczne wzbudzenia przenoszą elektrony do pasma przewodnictwa gdzie biorą one udział w przewodnictwie typu n. Wprowadzenie do półprzewodnika atomów z 3 grupy układu okresowego daje poziom akceptorowy pa. Termiczne wzbudzenia przenoszą elektrony z pasma walencyjnego pw na poziom pa. Powstałe w paśmie walencyjnym wolne miejsca - dziury biorą udział w przewodnictwie typu p w tym paśmie.

Połączenie półprzewodnika typu n z półprzewodnikiem typu p daje złącze pn wykorzystywane w technice jako dioda półprzewodnikowa. Na złączu tym występuje zjawisko rekombinacji polegające na kompensowaniu przez elektrony z półprzewodnika typu n dziur w półprzewodniku typu p (na złączu). Prowadzi to do nadmiaru ładunku dodatniego w pierwszym i ujemnego w drugim. Powstająca różnica potencjałów blokuje dalszą migrację elektronów. Przyłożenie zewnętrznego napięcia + do półprzewodnika typu n i - do półprzewodnika typu p zwiększa różnicę potencjałów na złączu i uniemożliwia przepływ prądu elektrycznego. Odwrotna polaryzacja zmniejsza to napięcie i umożliwia przepływ prądu. Wynika stąd, że dioda w obwodzie prądu zmiennego stanowi element prostowniczy (zastosowanie w prostownikach). Dioda jest więc elementem nieliniowym. W przypadku diody nie ma zastosowania prawo Ohma (brak liniowej zależności natężenia prądu od napięcia - rysunek 113).

Rys.113 Charakterystyka prądowo-napięciowa i symbol graficzny diody ( strzałka wyznacza kierunek przepływu prądu przez diodę).

Wyprowadzenie diody od strony półprzewodnika p jest nazywane anodą A, a drugie jest nazywane katodą K. Prąd wsteczny diody jest zwykle o kilka rzędów mniejszy niż prąd przewodzenia dlatego przyjmuje się, że jest on równy zeru. Jest tak do momentu gdy napięcie zaporowe przekroczy pewną granicę, tak zwane napięcie przebicia. Wówczas popłynie prąd porównywalny z prądem w kierunku przewodzenia. Zjawisko to wykorzystywane jest w diodzie Zenera do stabilizacji napięcia.

Diody wykorzystywane są do prostowania jednopołówkowego (1 dioda) lub dwupołówkowego z dwoma diodami (przy podwójnym uzwojeniu wtórnym transformatora) lub z czterema w układzie Gretza (przy pojedynczym uzwojeniu wtórnym transformatora).

Na rysunku 114 przedstawiono układ trzech półprzewodników typu p-n-p stosowany w technice jako tranzystor.

Rys. 114 Rozkład prądów w tranzystorze p-n-p (E-emiter, B-baza, C-kolektor)

Pojedyncze złącze nie przepuszcza prądu w kierunku zaporowym. Wynika to z działania bariery potencjału na nośniki większościowe w obu półprzewodnikach. Bariera ta przenosiłaby jednak bez problemu nośniki mniejszościowe (przeciwny zwrot siły pola elektrycznego). Złącze BC blokuje przepływ elektronów od bazy do kolektora. Ale gdyby wstrzyknąć tam dziury to byłyby natychmiast przerzucone do obszaru kolektora. Do tego służy złącze emiter-baza, które spolaryzowane jest w kierunku przewodzenia powodując wstrzykiwanie dziur z emitera do bazy. Dla ograniczenia rekombinacji w obszarze bazy jest ona bardzo cienka co zmniejsza prawdopodobieństwo zajścia tego zjawiska. W układzie tym sterując niewielkim prądem bazy uzyskujemy duże zmiany prądu kolektora. Dlatego tranzystor wykorzystywany jest w układach elektronicznych jako wzmacniacz (prądowy i napięciowy). Stosunek przyrostu prądu kolektora do przyrostu prądu bazy określa współczynnik wzmocnienia prądowego . Jego wartość dla układu o wspólnym emiterze przekracza 10².

W technice wykorzystywane są też elementy wielowarstwowe (diaki, tyrystory, triaki) służące do regulacji małych i dużych mocy w układach elektrycznych.

14.6. Budowa jądra atomowego

Dalszym krokiem w kierunku poznania mikroświata jest model budowy jądra atomowego. Składa się ono z nukleonów (protonów i neutronów). Między protonami występują siły odpychania, które kompensowane są przez krótkozasięgowe siły przyciągania występujące między nukleonami. Oznacza to, że neutrony pełnią rolę stabilizującą trwałość jądra atomowego. Ze wzrostem liczby porządkowej Z (liczby protonów) rośnie też liczba neutronów. Gdyby policzyć masę jądra atomowego i sumę mas poszczególnych jego nukleonów to otrzymamy różnicę nazywaną defektem masy. Wykorzystując wzór Einsteina możemy przeliczyć ten defekt na tzw. energię wiązania. Dzieląc ją przez liczbę nukleonów otrzymamy tzw. właściwą energię wiązania (przypadającą na jeden nukleon). Rysunek 115 przedstawia zależność właściwej energii wiązania od liczby nukleonów A (tzw. krzywa Wszechświata).

Rys.115. Krzywa Wszechświata

14.7. Reakcje rozszczepienia i syntezy

Z rysunku tego wynika, że zarówno reakcje rozszczepienia ciężkich jąder jak i reakcje syntezy lekkich jąder prowadzą do wydzielenia energii ze względu na rosnącą wartość właściwej energii wiązania produktów końcowych. Widać też, że produkcja tej energii musi być dużo większa w przypadku reakcji syntezy. I faktycznie w niechlubnych przypadkach wybuchów bomb wodorowych (synteza wodoru w hel) uzyskiwano znacznie większe efekty energetyczne (i polityczne) niż w przypadku wybuchu konwencjonalnych bomb atomowych (rozszczepienie uranu). Warunkiem reakcji lawinowej jest w ostatnim przypadku przekroczenie tzw. masy krytycznej dla danej geometrii ładunku. W przypadku bomby wodorowej niezbędne jest też uzyskanie odpowiedniej temperatury inicjującej syntezę. Do tego celu wykorzystywana jest zapalnik w postaci bomby atomowej.

1. Promieniotwórczość

Niektóre jądra nietrwałe ulegają samorzutnemu rozpadowi na jądra lżejszych pierwiastków z jednoczesną emisją cząstek
,
i
. Rysunek 116 przedstawia zachowanie tych cząstek w polu magnetycznym.

Rys.116 Tory cząstek , , γ w polu magnetycznym (skierowanym za kartkę)

Ponieważ promienie γ nie posiadają ładunku elektrycznego, dlatego poruszają się po liniach prostych. Cząstki  to elektrony (-e) a cząstki  to jądra helu zawierające dwa protony (+2e). Porównując siłę dośrodkową i jej źródło - siłę Lorentza otrzymujemy:

,

.

Ze względu na znacznie większą wartość m/q dla cząstki  jej promień krzywizny jest większy (mniejsza krzywizna) niż dla cząstki . Ze względu na ich przeciwne znaki cząstki te odchylają się w przeciwne strony.

Wzory opisujące rozpady promieniotwórcze podano w rozdziale 2 przy omawianiu zasady zachowania ładunku elektrycznego. Rozpady te podlegają prawu rozpadu promieniotwórczego. Ilość jąder ulegających rozpadowi jest proporcjonalna do bieżącej ilości jąder i czasu dt tego rozpadu.

Znak minus oznacza ubytek bieżącej liczby jąder przy rozpadzie. Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja:

.

Przyjmując, że w czasie t=T_1/2 (czas połowicznego zaniku) rozpadowi uległa połowa początkowej ilości jąder otrzymujemy:

stąd:

.

Średni czas życia substancji promieniotwórczej definiuje się jako:

Po upływie czasu
aktywność substancji promieniotwórczej maleje e-krotnie.

---