zadania przykladowe2011 3


1. Rozkład sygnału okresowego w zespolony szereg Fouriera oraz całkowe przekształcenie Fouriera. Widma sygnałów okresowych, prawie okresowych i impulsowych

Zespolony szereg Fouriera

Całkowe przekształcenie Fouriera

0x01 graphic
(wzór syntezy)

0x01 graphic
(wzór analizy)

0x01 graphic
(wzór analizy)

0x01 graphic
(wzór syntezy)

W rozwiązaniach zadań należy zwracać szczególną uwagę na różnicę w rysowaniu widm {Xk} i X(jΩ).

1.1 Oblicz i narysuj widmo {Xk} sygnału okresowego o okresie T (rozkładając sygnał w zespolony szereg Fouriera) a) prostokątnego o wypełnieniu D i amplitudzie A; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A, c) piłokształtnego o wartości międzyszczytowej 2A (rysunki poniżej).

0x01 graphic

Odp.

Dla przykładu a)

0x01 graphic

1.2 Oblicz i narysuj widmo X(jΩ) impulsu a) prostokątnego 0x01 graphic
; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A 0x01 graphic
; c) 0x01 graphic
.

Odp.

Dla przykładu a)

0x01 graphic
.

W przykładzie b) aby uniknąć całkowania przez części i żmudnych obliczeń, należy zauważyć, że symetryczny impuls trójkątny o czasie trwania 2T i amplitudzie A jest splotem własnym impulsu prostokątnego o czasie trwania T i amplitudzie 0x01 graphic
. Następnie należy skorzystać z właściwości przekształcenia Fouriera i zastąpić splatanie w dziedzinie czasu wymnażaniem widm. Ostatecznie więc0x01 graphic
. W każdym przypadku warto sprawdzić, czy wartość otrzymanej funkcji w zerze jest równa polu „pod” sygnałem: 0x01 graphic
.

1.3 Oblicz widmo symetrycznie przyciętej sinusoidy: 0x01 graphic
, przyjmując Ω0 = 4π/T.

Odp.

Metoda 1 (z definicji przekształcenia Fouriera)

0x01 graphic

Otrzymaliśmy zatem sumę dwóch funkcji samplujących przesuniętych względem zera o +Ω0 i -Ω0.

Metoda 2 (z wykorzystaniem właściwości przekształcenia Fouriera)

Sygnał x(t) można potraktować jako iloczyn nieskończenie długiej sinusoidy 0x01 graphic
i okna prostokątnego 0x01 graphic
. Widmo iloczynu dwóch sygnałów jest splotem ich widm, ważonym przez współczynnik 1/2π:

0x01 graphic

Ponieważ widmem sinusoidy s(t) jest para delt Diraca: 0x01 graphic
, natomiast widmem impulsu (okna) prostokątnego funkcja samplująca: 0x01 graphic
, więc

0x01 graphic
.

Splot funkcji z przesuniętą deltą Diraca przesuwa funkcję z zachowaniem jej wartości, ponadto splot jest rozdzielny względem dodawania, zatem ostatecznie

0x01 graphic
.

1.4 Udowodnij, że na wyjściu filtru o rzeczywistej odpowiedzi impulsowej i znanej transmitancji H(s) przy pobudzeniu sygnałem 0x01 graphic
pojawi się sygnał 0x01 graphic
. Wykorzystaj symetrię Hermite'a: H(jΩ)= H*(-jΩ).

Odp.

Sygnał wyjściowy y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej h(t) i pobudzenia x(t), gdzie h(t) jest rzecz jasna transformatą odwrotną transmitancji H(s):

0x01 graphic

Po podstawieniu w miejsce sygnału x(t) mamy:

0x01 graphic

Korzystamy ze wzorów Eulera, zamieniając funkcję kosinus na parę zespolonych eksponent:

0x01 graphic

Pod obiema całkami zmienna t pełni rolę parametru, a zatem

0x01 graphic

Porównując obie całki z definicją przekształcenia Fouriera, dostajemy:

0x01 graphic

Liczby zespolone 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są wartościami charakterystyki amplitudowo-fazowej dla pulsacji 0 i -0. Ponieważ zgodnie z warunkami zadania odpowiedź impulsowa systemu, h(t), była rzeczywista, zatem charakterystyka amplitudowo-fazowa wykazuje właściwość symetrii Hermite'a: charakterystyka amplitudowa jest funkcją parzystą 0x01 graphic
, charakterystyka fazowa jest funkcją nieparzystą 0x01 graphic
. Wynika z tego, że

0x01 graphic

z czego ostatecznie otrzymujemy:

0x01 graphic

Zastanówmy się jeszcze nad interpretacją powyższego wzoru. Współczynnik przed funkcją kosinus jest nową amplitudą; sygnał został zatem wzmocniony 0x01 graphic
razy. Wyraz wolny w argumencie kosinusa jest nowym przesunięciem początkowym; sygnał wyjściowy jest więc przesunięty o 0x01 graphic
radianów w stosunku do sygnału wejściowego.

Wypływa stąd ważny wniosek, że odpowiedzią systemu liniowego na pobudzenie sinusoidalne jest również sinusoida, a z trzech wielkości, które ją opisują, tj. amplitudy, pulsacji i fazy początkowej, zmianie mogą ulec wyłącznie amplituda i faza.

1.5 Narysuj i zapisz wzorem widmo sygnału x(t) = 1 + sin(t) + cos(πt) + exp(j5t) oraz widmo odpowiedzi y(t) tzw. filtru analitycznego o charakterystyce częstotliwościowej 0x01 graphic
na pobudzenie x(t).

Odp.

Widmo pobudzenia: 0x01 graphic

Widmo odpowiedzi: 0x01 graphic

(sygnał wyjściowy y(t) = 1 + exp(t-π/2) + exp(πt) + 2exp(j5t))

Filtr analityczny jest przykładem filtru specjalnego, którego zasadniczym zadaniem jest zamiana sinusoidy rzeczywistej (lub sumy sinusoid) w zespoloną (lub w sumę sinusoid zespolonych) z zachowaniem składowej stałej. Sygnał wyjściowy jest nazywany równoważnikiem analitycznym sygnału rzeczywistego x(t), jego moduł 0x01 graphic
- amplitudą chwilową, natomiast pochodna fazy po czasie 0x01 graphic
- pulsacją chwilową. Wymienione wielkości mają fundamentalne znaczenie w teorii modulacji. Sygnał y(t) można bowiem przedstawić w postaci: 0x01 graphic
, czyli jako iloczyn zawsze nieujemnego sygnału 0x01 graphic
i tzw. fazora zespolonego o - w ogólnym przypadku - zmieniającej się pulsacji chwilowej. Każdy sygnał można traktować jako wynik jednoczesnej modulacji amplitudy i częstotliwości lub fazy. Sinusoida zespolona Aexp(j0t) jest szczególnym przypadkiem sygnału o stałej amplitudzie chwilowej a(t) = A i stałej pulsacji chwilowej Ω(t) = Ω0.

2. Próbkowanie

Min

Max

Częstotliwość sygnału

przed próbkowaniem [Hz]

- ∞

+∞

Częstotliwość unormowana [1/Sa]

0x01 graphic

0x01 graphic

Częstotliwość po rekonstrukcji [Hz]

0x01 graphic

0x01 graphic

2.1 Podaj twierdzenie o próbkowaniu. Jakie zjawisko wystąpi w przypadku niespełnienia jego założeń? Co to jest częstotliwość Nyquista, a co oznacza szybkość Nyquista?

2.2 Falę prostokątną o amplitudzie A, częstotliwości podstawowej F0 i wypełnieniu D = 50% (patrz: zad. 1.1a)) spróbkowano z szybkością FS = 8F0. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.

Wskazówka: Narysuj widmo sygnału przed próbkowaniem i po spróbkowaniu, a następnie po rekonstrukcji.

2.3 Symetryczny sygnał trójkątny o amplitudzie A i częstotliwości podstawowej F0 (patrz: zad. 1.1b)) spróbkowano z szybkością FS = 4F0. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.

0x08 graphic
2.4 Sygnał x(t) = 5cos(6000πt) + 4cos(12000πt) + 8cos(24000πt) spróbkowano z szybkością FS = 8000 Sa/s (próbek na sekundę). Podaj postać sygnału x[n] po spróbkowaniu. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych tego sygnału po rekonstrukcji. Jaka jest częstotliwość Nyquista? Co się zmieni, gdy sygnał przed próbkowaniem poddamy filtracji antyaliasingowej w filtrze dolnoprzepustowym o charakterystyce amplitudowej jak na rysunku i zerowej charakterystyce fazowej (F0 = 3 kHz) ?

Zwróć uwagę na dobór częstotliwości granicznej filtru. Jaki ma to związek z szybkością próbkowania i z tym, że filtr aby być przyczynowy, nie może być idealny?

Odp.

Sygnał po spróbkowaniu:

0x01 graphic

W powyższym sygnale tylko pierwsza składowa ma częstotliwość unormowaną nie większą od 0x01 graphic
. Pozostałe składowe wymagają przekształcenia, w którym skorzystamy z tego, że kosinus jest funkcją okresową z okresem 2π.

0x01 graphic

Sygnał po rekonstrukcji:

0x01 graphic

W przypadku użycia filtru antyaliasingowego zmienią się amplitudy dwóch składowych. Ze względu na spadek wzmocnienia powyżej częstotliwości F0 = 3 kHz, wynoszący -12 dB/okt, amplituda składowej o częstotliwości 6 kHz zmniejszy się czterokrotnie, natomiast amplituda składowej o częstotliwości 12 kHz 16 razy. Ostatecznie sygnał po rekonstrukcji będzie miał następującą postać:

y(t) = cos(4000πt) + 5cos(6000πt) + 0.5cos(8000πt).

W rozwiązaniu należy sprawdzić, czy częstotliwości składowych po rekonstrukcji są nie większe od częstotliwości Nyquista (FS/2).

3. Splot (liniowy)

0x01 graphic

3.1 Oblicz splot sygnałów x[n] i hk[n], metodą graficzną i metodą algebraiczną, korzystając z właściwości delty Kroneckera. Zwróć uwagę na różnice w sygnałach. Jakie ogólne prawo obrazują?

a) h1[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2], x[n] = {1, 2}

b) h2[n] = δ[n+1] + 2δ[n] + 3δ[n-1], x[n] = {1, 2}

c) h3[n] = δ[n-1] + 2δ[n-2] + 3δ[n-3], x[n] = {1, 2}

Odp.

Dla przykładu a)

0x01 graphic

Czyli y1[n] = {1, 4, 7, 6}. Skorzystaliśmy tu z rozdzielności splotu względem dodawania. Właściwość tę można wykorzystać w przypadku dowolnych sygnałów.

3.2 Znajdź odpowiedzi systemów cyfrowych o danych odpowiedziach impulsowych h[n] na podane sygnały pobudzające x[n], stosując jedną z dwóch metod graficznych. Czy systemy te są typu FIR (SOI) czy IIR (NOI)? Czy są przyczynowe? Które są stabilne?

  1. h[n] = u[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N > 0;

  2. h[n] = u[n] - u[n-N], x[n] = u[n] - u[n-M], 0 < N < M;

  3. h[n] = anu[n], x[n] = u[n], 0 < a < 1;

  4. h[n] = nu[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N > 0;

  5. h[n] = anu[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N > 0, 0 < a < 1;

  6. h[n] = n(u[n] - u[n-N]), x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0 < N < M;

  7. h[n] = [n] - [n-N], x[n] = u[n] - u[n-M], 0 < N < M;

  8. h[n] = [n] - [n-N], x[n] = u[n] - u[n-M], 0 < M < N;

  9. h[n] = [n] - [n-N], x[n] = nu[n], N > 0;

  10. h[n] = [n] + [n-N], x[n] = nu[n], N > 0;

  11. h[n] = [n+N] - [n], x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0 < N < M;

  12. h[n] = [n+N] + [n], x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0 < N < M;

  13. h[n] = [n+N] - [n], x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0 < M < N;

  14. h[n] = [n+N] + [n], x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0 < M < N.

Zastanów się, jak zapisać sygnały h[n] i x[n], stosując symbol sumowania.

Odp.

a) 0x01 graphic
. Oba zapisy (z nawiasem klamrowym i za pomocą skoków jednostkowych) są oczywiście równoważne. W rozwiązaniach wystarczy podać jeden z nich.

System jest typu IIR i jest niestabilny, ponieważ 0x01 graphic
.

b) 0x01 graphic
0x01 graphic
, system typu FIR, stabilny, gdyż suma 0x01 graphic
jest skończona

c) 0x01 graphic
, system typu IIR, stabilny dla 0x01 graphic

i) 0x01 graphic
, system typu FIR, stabilny

j) 0x01 graphic
, system typu FIR, stabilny

Systemy z przykładów od a) do j) są przyczynowe, cztery ostatnie - nieprzyczynowe.

3.3 Oblicz odpowiedzi filtrów grzebieniowych o odpowiedziach impulsowych a) h1[n] = {1, 1}; b) h2[n] = {1, -1} na sygnał 0x01 graphic
.

Odp.

a) 0x01 graphic

Wniosek: 0x01 graphic
jest nową amplitudą przefiltrowanej sinusoidy, natomiast0x01 graphic
jej fazą początkową.

3.4 W kaskadę połączono dwa systemy, jeden o odpowiedzi impulsowej 0x01 graphic
, drugi o odpowiedzi impulsowej0x01 graphic
. Wyznacz wypadkową odpowiedź impulsową h[n].

Odp.

Odpowiedź impulsowa kaskady systemów jest splotem ich odpowiedzi impulsowych:

0x01 graphic

A stąd

0x01 graphic

Splot z pierwszym składnikiem h2[n] wynosi:

0x01 graphic

Splot z drugim składnikiem:

0x01 graphic

Odpowiedź impulsowa jest sumą powyższych splotów:

0x01 graphic

3.5 Wyznacz i naszkicuj odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej 0x01 graphic
na pobudzenie ciągiem „rzadkich” delt Kroneckera, opisanym wzorem 0x01 graphic
, gdzie M > N oznacza odstęp między kolejnymi deltami.

3.6 Zamodeluj w dziedzinie czasu dyskretnego odbicia dźwięku od dwóch równoległych nieskończenie długich i nieskończenie wysokich ścian „pomieszczenia”. Opisz zjawisko wielokrotnego echa za pomocą odpowiedzi impulsowej. Jaki charakter powinna mieć (jaką funkcją należy ją wyrazić), aby odpowiadała zjawisku fizycznemu? Jak obliczyć odpowiedź „pomieszczenia” na dowolny sygnał pobudzający?

3.7 Udowodnij, że wynikiem splotu sygnału z opóźnioną deltą Kroneckera jest opóźnienie sygnału:

0x01 graphic

Odp.

Dowód przeprowadzimy wprost z definicji:

0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
, to po rozpisaniu powyższej sumy dostajemy:

0x01 graphic
,

co należało wykazać.

4. Przekształcenie Z

0x01 graphic
(proste)

0x01 graphic
(odwrotne)

4.1 Oblicz transmitancje systemów z zadania 3.2. Napisz równania różnicowe opisujące te systemy.

Odp.

  1. 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic
    , 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic
    ,

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic
    , 0x01 graphic

  2. Korzystamy z następującej właściwości: Jeżeli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    . Wówczas szukana transmitancja wynosi: 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic
    , 0x01 graphic

4.2 Stosując przekształcenie Z, wyznacz odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej h[n]=(1/3)nu[n] na pobudzenie sygnałem x[n] = (1/2)nu[n]. Czy system jest przyczynowy i czy jest stabilny? Podaj jego równanie różnicowe.

Odp.

Transmitacja systemu:0x01 graphic
, transformata pobudzenia:0x01 graphic
. Transformata odpowiedzi:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

Odpowiedź impulsowa systemu przyjmuje wartości zerowe dla ujemnych chwil n, zatem system jest przyczynowy. W równaniu różnicowym, 0x01 graphic
, nie występują składniki typu x[n+1], x[n+2] itd. Transmitancja systemu jest funkcją wymierną, w której stopień licznika jest nie większy niż stopień mianownika.

Aby system był stabilny, jego odpowiedź impulsowa musi być bezwzględnie sumowalna lub sumowalna z kwadratem (drugi warunek oznacza, że jej energia jest skończona). Ponieważ

0x01 graphic

więc system jest stabilny. Aby wykazać, że system jest stabilny na podstawie transmitancji H(z) wystarczy sprawdzić położenie jej biegunów. Jeżeli wszystkie bieguny transmitancji leżą wewnątrz okręgu jednostkowego, czyli ich moduły są nie większe od jedności, system jest stabilny. W naszym przypadku mamy pojedynczy biegun 0x01 graphic
, więc system jest stabilny.

4.3 Oblicz odpowiedź y[n] systemu DLS y[n] = x[n] + ay[n-1] na pobudzenie sygnałem x[n]=10u[n]. Przyjmij a=1/2. Sprawdź poprawność rozwiązania za pomocą splotu. Oblicz transmitancję H(z) i odpowiedź impulsową h[n] systemu. Czy ten system jest przyczynowy? Czy jest stabilny? (zadanie z egzaminu z PCPS z 2003r., E. Hermanowicz)

4.4 Wyznacz odpowiedź y[n] systemu o transmitancji H(z) na pobudzenie x[n]. Narysuj schemat systemu. Czy system jest stabilny? Czy jest przyczynowy?

a) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

c) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Odp.

a) 0x01 graphic
, stabilny (biegun transmitancji leży wewnątrz okręgu jednostkowego)

b) 0x01 graphic
, stabilny (jw.)

c) 0x01 graphic
, niestabilny (co najmniej jeden z biegunów nie leży wewnątrz okręgu jednostkowego, w tym przypadku żaden z biegunów nie spełnia tego warunku)

Wszystkie systemy są przyczynowe, ponieważ stopnie liczników transmitancji są nie większe od stopni mianowników.

4.5 Dane są sygnały:

a) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Jaką transmitancję ma system, który pobudzony sygnałem x[n] daje na wyjściu odpowiedź y[n]? Podaj równanie różnicowe opisujące ten system i jego odpowiedź impulsową. Następnie sprawdź metodą splotu, że 0x01 graphic
. Który z filtrów jest typu FIR, a który IIR? Kiedy są stabilne?

Odp.

a)0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b)0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Metodą splotu rozwiążemy drugi przykład z tego zadania jako mniej trywialny. Skorzystamy tu ze wzoru definicyjnego:

0x01 graphic

Wymnożenie przez skok jednostkowy otrzymaliśmy z warunku, że suma typu 0x01 graphic
ma sens tylko wtedy, gdy górna granica sumowania jest nie mniejsza od dolnej. W tym przypadku n musi być nieujemne. Pierwsza próbka sygnału 0x01 graphic
ma wartość zero, z czego wynika równość sygnałów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012

4



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zadania przykladowe PS-y - 2011-12, Semestr 3
testy ~$ Zadania przykladowe
Łazarowicz, cw4 zadania, Przykład 1
biofizyka, Zadania przykładowe do egzaminu z biofizyki, Zadania przykładowe do egzaminu z biofizyki
cw2 zadania przyklad
zadania przykladowe 2
sciaga kowalczyk zadaniakot, Przykład 1
Matematyka zadania przykładowe, przygotowujące do sprawdzianu szóstoklasisty
Zadania przykladowe na kolokwium, Zarządzanie, Finanse
H&H Zadania Przyklady 20150113 Nieznany
Zadania przykladowe.cz2.2012, Semestr 3
kolokwium nr 1 a i b - zadania przykładoweee, Semestr I, Chemia
Czarny, egzamin z makroekonomii, ZADANIA PRZYKŁADOWE z makroekonomii
Zadania przykładoweDSZ - Kopia, SgSp 2011, 2013
zadania przykladowe z ćwiczeń
zadania przyklady, Politechnika Lubelska, Studia, semestr 5, Sem V, Sprawozdania, sprawozdania, Spra

więcej podobnych podstron