I Pole elektryczne

1. Ładunek elektryczny

Podstawowe prawa

Ładunek jest pewną cechą cząstek o różnej od zera masie spoczynkowej. W ich wnętrzu znajduje się kilka najbardziej elementarnych składników materii, jakie obecnie znamy. Są to kwarki, posiadające ładunki dwojakiego rodzaju, umownie nazwane dodatnim i ujemnym. Odpowiednie kombinacje kwarków dają cząstki naładowane dodatnio jak protony, ujemnie jak elektrony lub obojętne jak neutrony.

Elementarne prawa związane z ładunkiem elektrycznym są bardzo proste:

i) W przyrodzie istnieją dwa rodzaje ładunku,

ii) Ładunki różnego znaku przyciągają się a jednakowego znaku odpychają się,

iii) Obowiązuje prawo zachowania ładunku, to znaczy ładunek może pozornie zniknąć

tylko wtedy gdy zwiążą się dwie cząstki o identycznych ładunkach przeciwnego znaku,

iv) Ładunku nie można dzielić na dowolnie małe części. Cząstki elementarne (elektron, proton) mają ładunki równe
, natomiast wszystkie ciała makroskopowe mogą mieć ładunek równy wielokrotności
. Mówi się, że ładunek elektryczny jest kwantowany.

Wytwarzanie ładunku elektrycznego

Ilość cząstek naładowanych dodatnio w naszym wszechświecie jest taka sama jak naładowanych ujemnie. Ponieważ obydwa rodzaje ładunku się przyciągają więc cząstki o przeciwnych ładunkach się łączą w odpowiedni sposób i materia wokół nas jest zazwyczaj obojętna elektrycznie. Aby jakiś przedmiot naładować elektrycznie trzeba z niego usunąć (albo dodać mu) pewną ilość naładowanych cząstek. Najczęściej są to elektrony, gdyż np. protony byłoby bardzo trudno przemieszczać. Dokonać tego można na co najmniej trzy sposoby zależnie od rodzaju materiału:

i) Przez zdzieranie (pocieranie innym przedmiotem) elektronów (izolatory)

ii) Przez przeniesienie elektronów z innego naładowanego przedmiotu (metale, półprzewodniki)

iii) Przez indukcję, elektrony są przepędzane w jeden koniec przedmiotu. To miejsce

gdzie się gromadzą w nadmiarze zostaje naładowane ujemnie, inne miejsca stają się naładowane dodatnio (metale, półprzewodniki). Jeżeli z jednego z tych końców usuniemy nadmiar ładunku to cały przedmiot będzie miał nadmiar ładunku jednego rodzaju - zostanie naładowany,

Zazwyczaj niezrównoważona część ładunku po jakimś czasie zniknie, zostanie uniesiona gdzie indziej przez zderzające się z przedmiotem jony, cząsteczki pyłu, pary wodnej.

Prawo Coulomba

Już dość dawno temu ustalono na drodze doświadczalnej, że siłę oddziaływania między dwoma ładunkami elektrycznymi można opisać wzorem

Litery q oraz Q oznaczają wielkości ładunków, r odległość między środkami małych (punktowych) naładowanych przedmiotów a k jest stałą wielkością o wartości
w próżni, powietrzu. Powyższy wzór jest matematycznym sformułowaniem prawa Coulomba. Podaje on tylko liczbową wartość siły oddziaływania. Później okazało się, że współczynnik proporcjonalności
jest związany z ważną właściwością próżni i ciał materialnych jaką jest ich stała dielektryczna, oznaczana literą

.

Prawo Coulomba można zmodyfikować tak aby zawierał szczegółowe informacje o zależności siły od stałej dielektrycznej, położenia ładunków i podawał również kierunek siły, która jest przecież wektorem. Współcześnie prawo Coulomba zapisuje się w postaci wzoru

.

Jeżeli ładunki otacza powietrze (lub próżnia) to stałą dielektryczną należy zastąpić przez

.

Przykład

Dwa ładunki umieszczone są w odległości 5cm na osi x jak na rysunku. Wartości ładunków są następujące
,
. Należy obliczyć siłę z jaką oddziałują ładunki.

W celu rozwiązania problemu wprowadzimy układ współrzędnych wybrany tak aby ładunek
znalazł się w początku układu. Teraz możemy znaleźć składowe siły oddziaływania między nimi.

2. Pole elektryczne ładunków punktowych

W podobny do pola grawitacyjnego sposób wprowadzamy pojęcie pola elektrycznego jako własności przestrzeni wokół naładowanego elektryczne przedmiotu. O obecności pola elektrycznego informuje nas siła działająca na ładunek elektryczny (pełni on rolę kamyka w polu grawitacyjnym). Natężenie pola elektrycznego jest równe sile działającej na jednostkowy ładunek próbny

.

Zaletą koncepcji pola elektrycznego jest także możliwość graficznego przedstawienia sił działających w polu na ładunki oraz torów ruchu ładunków jeżeli pozwolimy im poruszać się swobodnie. Graficznym obrazem pola elektrycznego są linie sił pola, to znaczy linie w przestrzeni fizycznej, do których styczne w każdym punkcie mają kierunek wyznaczony przez wektory
. Z definicji wynika, że próbny ładunek pozostawiony w polu elektrycznym samemu sobie będzie się poruszał wzdłuż linii sił pola.

Teraz trzeba odpowiedzieć na pytanie skąd bierze się pole elektryczne. Jeżeli trzymać się analogii z polem grawitacyjnym to odpowiedź jest prosta: pole elektryczne wytwarzają ładunki elektryczne. W pewnych wypadkach natężenie tego pola łatwo przewidzieć.

Przykład

Pole elektryczne ładunku o wielkości Q znajdującego się na małej metalowej kulce umieszczonej w początku układu współrzędnych. Jeżeli promień kulki będzie bardzo mały to otrzymamy pewne przybliżenie ładunku punktowego.

Ładunek rozłożony jest sferycznie symetrycznie, zatem wytworzone przez niego pole elektryczne także będzie miało symetrię sferyczną, czyli natężenie pola będzie zależało jedynie od odległości od ładunku Q. Możemy powyższy wniosek napisać w postaci matematycznej

. Spróbujmy znaleźć nieznaną funkcję
. W tym celu w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek Q umieścimy w odległości r drugi znacznie mniejszy od Q ładunek q i z prawa Coulomba obliczymy siłę działającą na niego

. Następnie korzystając z definicji wyliczymy natężenie pola wytworzonego przez ładunek Q

.

Jeżeli ładunek Q jest dodatni to pole ma taki kierunek jak wektor wodzący punktu
, a przeciwny gdy ładunek jest ujemny.

Linie sił pola elektrycznego izolowanych ładunków

Pole elektryczne dwóch ładunków przeciwnego znaku

Rysunki są równocześnie ilustracją graficznej reprezentacji pola elektrycznego, jak widać pole reprezentują skierowane linie sił pola elektrycznego a równocześnie tory ruchu umieszczonego w nim dodatniego ładunku elektrycznego.

Jeżeli źródłem pola jest kilka ładunków to jego natężenie można obliczyć sumując natężenia pola wytworzonego przez każdy ładunek z osobna.

Pole elektryczne dwóch dipoli

Pole elektryczne wewnątrz i w pobliżu przewodnika w stanie równowagi

Po naładowaniu przewodnika np. przez wprowadzenie do niego dodatkowych elektronów, ten dodatkowy ładunek wskutek odpychania między elektronami będzie się starał rozmieścić elektrony tak aby znalazły się jak najdalej od siebie. Zgromadzą się więc na powierzchni przewodnika przy czym ich liczba na jednostkę powierzchni będzie największa w miejscach wypukłości, wypustek na powierzchni, a mniejsza tam gdzie powierzchnia jest wklęsła.

Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika jest równe zeru. Gdyby było inaczej na każdy elektron działałaby siła
tak długo dopóki elektrony w nowym położeniu nie wytworzą wewnątrz przewodnika pola o zerowym natężeniu.

Natężenie pola elektrycznego na powierzchni przewodnika jest prostopadłe do powierzchni. Uzasadnienie tej własności jest podobne jak powyżej. Mianowicie gdyby pole miało składową styczną do powierzchni to działałoby na elektrony siłą powodującą ich przemieszczenie wzdłuż powierzchni tak długo dopóki składowa styczna będzie różna od zera.

3. Energia ładunku w polu elektrycznym

Jak już wiemy, na ładunek q znajdujący się w polu elektrycznym działa siła dana wzorem
. Wobec tego podczas przemieszczania ładunku wykonywana jest praca równa

. Jeżeli siła przemieszczająca ładunek pochodzi z zewnątrz to ładunek zyskuje energię. Podobnie zyskuje mechaniczną energię potencjalną przedmiot unoszony nad powierzchnię Ziemi, a miarą energii na wysokości h jest praca potrzebna na podniesienie przedmiotu z powierzchni Ziemi na tą wysokość.

Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki maleje podczas oddalania się od nich i w nieskończoności jest równe zeru. Zatem siła działająca na ładunek próbny w nieskończoności też jest równa zeru, podobnie jego energia potencjalna. Przez analogię z mechaniczną energią przyjmujemy, że elektryczna energia potencjalna ładunku q w punkcie P jest równa pracy potrzebnej na przeniesienie go z nieskończoności do tego punktu

Przykład

Pole elektryczne wytwarza ładunek punktowy Q , należy obliczyć energię potencjalną innego ładunku q w punkcie P znajdującym się w odległości r od Q.

Natężenie pola wytworzonego przez ładunek Q wynosi
. Ładunek q będziemy przesuwać z nieskończoności wzdłuż osi x, zatem wektor
, a wektor nieskończenie małego przesunięcia
. Podstawiamy to wszystko do wyrażenia na energię potencjalną

.

Potencjał pola elektrycznego

Energia potencjalna jednostkowego ładunku dodatniego nazywa się potencjałem pola elektrycznego. Z powyższego wzoru wynika, że potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego jest dany wzorem

.

Widać z niego, że potencjał ma taką samą wartość w wszystkich punktach znajdujących się w tej samej odległości od ładunku czyli na sferach o środku wewnątrz ładunku. Wobec tego sfery otaczające ładunek są powierzchniami stałego potencjału (ekwipotencjalnymi). W ogólności kształt powierzchni ekwipotencjalnych zależy od charakteru pola, od kształtu jego linii sił. Poniższe rysunki ilustrują dwa przypadki.

Linie sił pola elektrycznego i przekrój powierzchni stałego potencjału

Potencjał pola elektrycznego dipola

Zauważmy, że linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych, gdyby było inaczej mielibyśmy sprzeczność. Z jednej strony różnica potencjałów między punktami na powierzchni ekwipotencjalnej jest równa zeru , a zatem ładunki próbne nie mają powodu się po niej przemieszczać. Z drugiej, gdyby pole miało różną od zera składową styczną do powierzchni ekwipotencjalnej to ładunki próbne musiały by się przemieszczać wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej.

Z powyższych dwóch wzorów wynika, że energia potencjalna ładunku q w polu wytworzonym przez ładunek Q ma postać

.

Ten wzór jest poprawny w każdym polu elektrycznym. W życiu codziennym częściej spotykamy się z napięciem czyli różnicą potencjałów. Powyższy potencjał jest równocześnie napięciem między punktem o wektorze wodzącym
a punktem w nieskończoności. Ze względów praktycznych (do nieskończoności jest daleko natomiast Ziemia ma olbrzymią pojemność i drobne zmiany jej ładunku nie zmieniają jej potencjału) przyjmuje się, że Ziemia ma również potencjał zero.

4.Magazynowanie energii elektrycznej

Energię pola elektrycznego możemy gromadzić dostarczając ładunek na dowolny przewodnik.

Przykład

Energia pola naładowanej kuli o promieniu R. Kulę ładujemy małymi porcjami ładunku sprowadzanego z nieskończoności. W pewnej chwili na kuli znajduje się już ładunek q, wprowadzamy na nią niewielki ładunek dq . Wymaga to pracy
. Zatem praca niezbędna do wprowadzenia na kulę ładunku Q wynosi

.

I taka jest energia pola wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q.

Kondensatory są to specjalnej konstrukcji urządzenia do magazynowania energii pola elektrycznego w niewielkiej objętości. Najprostszy kondensator tworzy kawałek przewodnika, np. sfera o promieniu R . Bardziej skomplikowany zbudowany jest z dwóch płytek lub folii metalowych rozdzielonych materiałem nieprzewodzącym - dielektrykiem (izolatorem). Jedna z płyt (okładek) jest naładowana dodatnim ładunkiem elektrycznym, druga ujemnym. Ładunek zgromadzony na jednej z okładek jest proporcjonalna do różnicy potencjałów U między okładkami. Jeżeli oznaczymy przez Q dodatni ładunek zgromadzony na okładce, a przez C współczynnik proporcjonalności to

.

Współczynnik proporcjonalności C nazywa się pojemnością elektryczną kondensatora i zależy od szczegółów konstrukcyjnych kondensatora. W szczególności pojemność kondensatora kulistego wynosi

.

Pojemność kondensatora płaskiego zależy od powierzchni okładek, odległość między nimi, rodzaju dielektryka między okładkami.

Gromadzenie ładunku a zatem i energii w kondensatorze płaskim

Pojemność jest miarą ilości ładunku jaką kondensator może pomieścić. W kondensatorze płaskim okładki są kawałkami płaszczyzn o powierzchni S odległymi od siebie o d, przestrzeń między nimi wypełnia dielektryk o stałej dielektrycznej ε.

Linie sił pola elektrycznego w kondensatora płaskim

Przy pomocy prawa Gaussa można obliczyć natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora, wynosi ono w przybliżeniu

,

stąd

.

Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego nie zależy od współrzędnych punktu (z dala od brzegu okładek), o takim polu mówimy, że jest jednorodne. Różnica potencjałów między okładkami kondensatora płaskiego (z dala od brzegu okładek) zależy wtedy od natężenia pola następująco
. Podstawiając powyższe dwa wzory do definicji pojemności otrzymamy
, a stąd wzór na pojemność kondensatora płaskiego

.

Jednostką pojemności elektrycznej jest farad
. Przeciętne kondensatory mają pojemność o wielokrotnie mniejszą, rzędu pikofaradów. Przy tej samej geometrii kondensatora pojemność rośnie liniowo ze wzrostem stałej dielektrycznej izolatora oddzielającego okładki.

Zależność pojemności kondensatora od stałej dielektrycznej ośrodka między okładkami spowodowana jest budową atomową dielektryka. Atomy i cząsteczki zbudowane są z dwóch rodzajów cząstek elementarnych dodatnio naładowanych protonów i ujemnie naładowanych elektronów. Pod wpływem pola elektrycznego w ładunki dodatnie i ujemne w cząsteczce przesuwają się w przeciwnych kierunkach, nazywa się to polaryzacją. Polaryzację ilustruje poniższy rysunek

Polaryzacja cząsteczek dielektryka

Ładunek powstały w wyniku polaryzacji pozornie zmniejsza ładunek na okładkach. Przy niezmienionym rzeczywistym ładunku płytek natężenie pola między okładkami kondensatora maleje, maleje również różnica potencjałów. Stała dielektryczna jest ilorazem natężenia pola w próżni i w dielektryku
.

Energię zgromadzoną w kondensatorze kulistym znaleźliśmy powyżej, jej wielkość podaje wzór

,

który można przepisać za pomocą pojemności

.

Korzystając z zależności między ładunkiem na okładce a różnicą potencjałów U między okładkami
można energię kondensatora wyrazić bardziej praktycznym wzorem

.

Kondensatory są dobrym magazynem energii, którą chcemy wykorzystać w krótkim czasie, na przykład w lampach błyskowych lub do uzyskiwania krótkich impulsów silnego pola magnetycznego. Bardziej powszechne jest wykorzystanie kondensatorów w obwodach prądu zmiennego do redukcji fluktuacji napięcia oraz jako elementy generatorów lub odbiorników drgań elektromagnetycznych.

Ogniwa i akumulatory

Kondensatory nie nadają się do przechowywania energii przez długi czas i oddawania jej w niewielkich ilościach. Takie wymagania można zaspokoić za pomocą ogniw przetwarzających jednorazowo energię chemiczną w elektryczną lub akumulatorów przekształcających energię elektryczną w energię chemiczną, która następnie można przekształcić na powrót w energię elektryczną. Ogniwa i akumulatory mogą przechowywać (przy niewielkich stratach) energię dłużej niż kondensatory oraz oddawać ją niewielkich ilościach i dogodnym czasie. Konstrukcja obydwu urządzeń jest podobna, dwa wykonane z różnych materiałów przewodniki, katoda o wyższym potencjale i anoda o niższym, zanurzone są w elektrolicie, którym jest zasada lub kwas (np. siarkowy). W wyniku reakcji chemicznych między kwasem i materiałem elektrod pojawia się między nimi różnica potencjałów wymuszająca dryfowanie elektronów w przewodzie łączącym elektrody na zewnątrz baterii. Prędkość dryfu jest niewielka, kilka mm/s. Opis działania ogniw można znaleźć na stronie http://www.duracellusa.com/Education/index.html.

II Prąd elektryczny

1. Natężenie prądu, opór elektryczny

Różnicę potencjałów można sobie wyobrażać jako różnicę ciśnienia wymuszającą ruch elektronów przewodnictwa wewnątrz drutu wbrew oporowi, którego głównym źródłem są drgania cieplne atomów. Analogia formalna do przepływu cieczy w instalacji centralnego ogrzewania jest bardzo bliska. Odpowiednikiem ilości cieczy przepływającej przez przekrój rury jest ładunek a zatem liczba elektronów przepływający przez przekrój przewodzącego drutu, jest to natężenie prądu I.

Mikroskopowy obraz prądu elektrycznego

Jednostką natężenia prądu jest 1 A, czyli natężenie, przy którym przez przekrój przewodnika przepływa ładunek 1C w ciągu 1 sekundy. Podobnie jak w wypadku cieczy opór elektryczny R materiału jest proporcjonalny do długości drutu przewodnika l odwrotnie proporcjonalny do powierzchni przekroju S. Współczynnikiem proporcjonalności jest parametr ρ zwany oporem właściwym, zależny od rodzaju materiału, z którego jest wykonany drut. Powyższe można przedstawić wzorem

.

Jednostką oporu elektrycznego jest ohm (Ω). Równolegle do oporu właściwego używa się innej charakterystyki właściwości elektrycznych materiału a mianowicie przewodnictwa właściwego
. Przewodnictwo metali jest ok. 10²⁰ razy większe niż izolatorów (dielektryków).

Ponieważ częstość drgań cieplnych atomów przewodnika rośnie ze wzrostem temperatury więc rośnie również rozpraszanie elektronów, a zatem opór elektryczny. Na tej podstawie można przewidzieć, że opór właściwy będzie rosnącą funkcją temperatury, w przybliżeniu liniową

.

Oczywiście w ten sam sposób będzie zależał od temperatury opór elektryczny przewodnika.

Znane jest wiele materiałów, których opór spada do zera poniżej pewnej granicznej temperatury
, są to nadprzewodniki. U większości
wynosi kilka stopni Kelvina, więc mają ograniczone praktyczne zastosowanie. Jednak u kilku wynosi ona powyżej 20K (np. Nb₃Ge - 23K), a nawet sięga 130K (np. Tl₂Ca₂Ba₂Cu₃O₁₀ - 125K), czyli powyżej temperatury wrzenia ciekłego azotu.

Podczas rozpraszania elektronów przewodnictwa na drganiach cieplnych atomów i domieszkach część ich energii zamienia się na ciepło, efektem jest wzrost temperatury przewodnika i spadek napięcia miedzy jego końcami. Drugi z tych efektów w większości przewodników opisuje prawo Ohma

.

Przykład

Obliczymy natężenie prądu przepływającego przez drut z miedzi o średnicy przekroju 0,1mm i długości 1m, do którego końców przyłożono napięcie 1,5 V. Opór właściwy miedzi
.

Wpierw znajdujemy opór drutu
. Następnie korzystamy z prawa Ohma
.

2. Praca i moc prądu

Pamiętamy, że praca jaką wykonuje ładunek q pokonując różnicę potencjałów U jest równa
. Dotyczy to również elektronów w przewodniku, jeżeli tych elektronów jest N to praca wynosi
. Jest zatem równa iloczynowi natężenia prądu, różnicy potencjałów i długości czasu płynięcia prądu. Wzory równoważne powyższemu to

.

Jeżeli natężenie, napięcie prądu są wyrażone w standardowych jednostkach a czas w sekundach to wzory podają pracę w dżulach.

Ilość pracy wykonana w 1 sekundzie jest mocą, zatem z powyższych wzorów wynikają równoważne wyrażenia na moc prądu elektrycznego

.

Tak wyliczona moc wyrażona jest w watach.

Równoważność energetyczna prądu stałego i przemiennego

Z pewnych względów praktycznych, które wyjaśnią się później, prąd stały nie jest najlepszym źródłem energii. Bardzo dużo zalet ma prąd płynący na przemian w jedną stronę przewodu i w przeciwną. Potocznie nazywa się prądem zmiennym. Jest oczywiste, że natężenie tego prądu jest funkcją czasu, okazuje się, że zależność harmoniczna, to znaczy poprzez funkcję sinus lub kosinus jest najlepsza zarówno na podczas wytwarzania prądu jak i jego przesyłania. Naturalnie, różnica potencjałów

generująca taki prąd też musi być harmoniczną funkcją czasu. Wobec tego

oraz
.

Zależność napięcia od czasu ilustruje wykres.

Częstotliwość zmian kierunku napięcia i natężenia w sieciach europejskich wynosi
Hz, wobec czego
rad/s.

Amplituda natężenia zależy od mocy źródła pobierającego prąd, natomiast amplituda napięcia jest w zasadzie stała w całej sieci odbiorców indywidualnych i wynosi
325V. Większa niż nominalne 230V amplituda napięcia bierze się stąd, że średnia moc prądu w okresie
jest dane wzorem

.

Różni się o czynnik 1/2 od wzoru na moc prądu zmiennego, aby nie prowadzać zamieszania wprowadza się pojęcie skutecznego napięcia
dzięki czemu moc prądu zmiennego jest dana takim samym wzorem jak dla prądu stałego
.

3. Sieć przewodów elektrycznych

Sieci przewodów elektrycznych często mają skomplikowaną topologię, dostosowaną na przykład do wielkości mocy jaką trzeba dostarczyć odbiornikom energii w jej gałęziach. Prawidłowe zaprojektowanie sieci wymaga znajomości praw rozkładu napięć i natężeń prądu we wszystkich jej gałęziach.

Istnieją dwa takie prawa

I prawo Kirchoffa, które jest konsekwencją prawa zachowania ładunku mówi o rozkładzie natężeń prądu w przewodach zbiegających się w węźle. Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z niego.

II prawo Kirchoffa, które jest konsekwencją prawa zachowania energii mówi o rozkładzie napięć prądu w przewodach tworzących zamknięty skierowany (w umownym kierunku) obwód (potocznie ”oczko”). Suma spadków napięć w zamkniętym obwodzie jest równa zeru.

Przykład

W poniższym obwodzie znane są napięcie źródła prądu - U oraz wartości oporów R_i , należy obliczyć natężenie prądu w obwodzie - I. W takich schematach (modelach) obwodów jak poniżej przyjmuje się, że obwody łączące oporniki nie stawiają prądowi oporu. Ich rzeczywisty opór zawarty jest w opornikach.

Rachunki poprowadzimy dla obwodu z trzema szeregowo połączonymi opornościami. Obwód jest zamknięty, kierunek w nim określa hipotetyczny kierunek przepływu prądu, nie ma rozgałęzień więc można do niego zastosować jedynie II prawo Kirchoffa. Spadki zgodnie z kierunkiem obwodu są dodatnie, pozostałe ujemne. Wobec tego

.

Stąd znajdujemy

.

Ponadto widać, że można wprowadzić pojęcie oporu równoważnego (wypadkowego), którym można zastąpić trzy rzeczywiście istniejące opory

.

Spadek napięcia na oporności R₁ (między punktami a,b) wynosi
, jest mniejsze niż siła elektromotoryczna źródła. Efekt ten znajduje zastosowanie w dzielnikach napięcia.

Schemat dzielnika napięcia

W powyższym dzielniku napięcie na wyjściu wynosi
.

Przykład

W poniższym obwodzie znane są napięcie źródła prądu - U, wartości oporów R_i , należy obliczyć natężenie prądu w obwodzie - I.

Rachunki poprowadzimy dla obwodu z trzema równolegle połączonymi opornościami. Obwód zawiera dwa węzły oraz trzy oczka. Przyjmiemy, że kierunek w każdym oczku określa strzałka w jego górnej poziomej krawędzi. W lewym węźle zachodzi

.

W dwóch oczkach zachodzi kolejno

.

Z ostatnich trzech równań wyliczamy
,
,
i podstawiamy do pierwszego, otrzymując
. Zatem znamy natężenia wszystkich prądów. Ponadto widać, że można wprowadzić pojęcie oporu równoważnego (wypadkowego), którym można zastąpić trzy rzeczywiście istniejące opory

,

w tym sensie, że

.

Przykład

Podane są wartości oporu oporników R₁ = 5Ω, R₂ = 4Ω, R₃ = 6Ω, R₄ = 2Ω oraz siły elektromotoryczne generowane przez ogniwa Ε₁ = 15V, Ε₂ = 5V, Ε₃ = 3V. Należy obliczyć natężenia prądów we wszystkich gałęziach obwodu oraz spadki napięć na wszystkich opornikach.

Przyjmujemy umowne kierunki prądów. Stosujemy I prawo Kirchoffa do jednego z węzłów

,

w drugim jest to samo oraz drugie do dwóch spośród trzech oczek

,

.

Podstawowe przyrządy pomiarowe.

Do pomiaru natężenia prądu służy amperomierz, włączony w obwód jak na rysunku mierzy natężenie prądu w przewodniku.

Do pomiaru różnicy potencjałów (napięcia między dwoma punktami przewodnika) służy woltomierz. Włączony jak na rysunku mierzy napięcie (potocznie mówi się spadek napięcia) między końcami opornika.

4. Zjawiska przejściowe

Dotychczas przyjmowaliśmy milcząco, że natężenie prądu jest stałe w czasie, mówimy, że w obwodzie zachodzą zjawiska stacjonarne. Jest to prawdą dopiero chwilę po zamknięciu obwodu elektrycznego. Wcześniej w obwodzie zachodzą tak zwane zjawiska przejściowe (niestacjonarne), które charakteryzuje między innymi zmieniające się w czasie natężenie prądu. Szczegóły zjawisk niestacjonarnych zależą od budowy obwodu. Omówimy je na przykładzie obwodu RC przedstawionego na rysunku

Rozładowywanie kondensatora

Wpierw przy otwartym obwodzie ładujemy kondensator, uzyskuje on ładunek
o wartości wynikającej z drugiego prawa Kirchoffa
. Po naładowaniu kondensatora odłączamy źródło prądu i zamykamy obwód. Zaczyna w nim płynąć prąd o chwilowej wartości
wywołujący spadek potencjału na oporniku. Maleje ładunek na okładce kondensatora, oraz napięcie między okładkami. Oznaczymy przez
chwilową wartość tego ładunku, a przez
chwilową wartość napięcia. Między obydwoma wielkościami istnieje zależność
. Prawa Kirchoffa stosują się również w tym przypadku, w szczególności z drugiego wynika, że podczas rozładowywania kondensatora spełnione jest równanie
. Różniczkując obie strony równania po czasie otrzymamy

,

ale
czyli

.

Rozwiązanie tego równania prowadzi do wniosku, że natężenie prądu w obwodzie maleje wykładniczo

a początkowe natężenie prądu
.

Z powyższego prawa Kirchoffa można również odgadnąć, że ładunek na okładce także maleje wykładniczo

.

Funkcje
oraz
podczas rozładowywania kondensatora

Iloczyn oporności i pojemności elektrycznej
ma wymiar czasu i jest miarą czasu trwania zjawisk przejściowych w obwodzie.

Zjawiska przejściowe w innych obwodach można znaleźć przy pomocy podobnego rozumowania jak powyżej.

13

---