BŁĘDY POMIARÓW

Imię i nazwisko : Remigiusz Kondracki

Wydział : Elektronika

Kierunek : Automatyka i Robotyka

Prowadzący : doc. A. Zborucki

Nr Indeksu : 88159

Rok studiów : pierwszy

Data : 1998-06-10

BŁĘDY POMIARÓW

Spis treści

1. Pojęcia ogólne i klasyfikacja błędów pomiarów.................................................................. 1

2. Błędy przypadkowe ............................................................................................................. 2

2.1. Ogólne wiadomości o rozkładzie normalnym .................................................................. 2

2.2. Odchylenie średnie kwadratowe ...................................................................................... 5

3. Odchylenie prawdopodobne ............................................................................................. 5

3. Odchylenie średnie ........................................................................................................... 5

4. Średnia arytmetyczna ze skończonej liczby pomiarów .................................................... 6

3. Błędy pozorne ...................................................................................................................... 6

3.1. Odchylenie średnie kwadratowe ze skończonej liczby pomiarów ................................... 6

3.2. Przedział ufności w przypadku dużej liczby pomiarów ................................................... 6

3.2.1. Przedział ufności dla poszczególnych wyników pomiarów ......................................... 6

3.2.2. Przedział ufności dla wartości średniej ......................................................................... 7

3.3 Rozkład Studenta .............................................................................................................. 8

3.4. Wyznaczanie przedziału ufności dla wartości średniej za pomocą rozpiętości ............... 8

4. Błędy nadmierne ................................................................................................................. 8

4.1. Przyczyny powstawania błędów nadmiernych ................................................................ 8

4.2. Wykrywanie Błędów nadmiernych ................................................................................. 9

5. Błędy systematyczne .......................................................................................................... 9

5.1. Definicja i podział błędów systematycznych .................................................................. 9

5.2. Przyczyny powstawania błędów systematycznych ......................................................... 10

5.3. Sposoby usuwania błędów systematycznych .................................................................. 10

Bibliografia ............................................................................................................................ 11

BŁĘDY POMIARÓW

1. Pojęcia ogólne, klasyfikacja błędów pomiarów.

Wynik każdego pomiaru obarczony jest błędami, których przyczynami mogą być: niedokładność metody i przyrządów pomiarowych, niedokładność ludzkich zmysłów, trudne do opanowania oraz zmieniające się w czasie pomiaru wartości wielkości wpływowych itp.

Ponieważ na wskutek występowania nieuniknionych błędów wartości mierzonej wielkości nie może być nigdy określona ściśle , należy więc znaleźć przedział, w którym znajduje się wartość rzeczywista. Do tego celu konieczna jest odpowiednia wiarygodna rachunkowa ocena błędów:

1.przpadkowe

2.systematyczne

3.nadmierne

Błędy pomiaru można przedstawić w postaci ich wartości bezwzględnej lub względnej. Różnica  między wartością zmierzoną x i wielkością rzeczywistą X_R nazywa się rzeczywistym błędem bezwzględnym wartości X.

=X-X_R (1)

W przypadku X>X_R błąd jest dodatni, natomiast dla X<X_R - ujemny. Stosunek rzeczywistego błędu bezwzględnego  do wartości X_R rzeczywistej nazywa się rzeczywistym błędem względnym wartości X.

δ_R= /X_R =(X-X_R)/X_R (2)

Ze wzorów (1,1), (1,2) wynika , że oba błędy : względny δ_R i bezwzględny  są niewyznaczalne , gdyż wartość rzeczywista jest pojęciem abstrakcyjnym i przeważnie nie może być znana. Dlatego też wyznacza się tkzw. wartość poprawną P - to jest przybliżoną w takim stopniu do wartości rzeczywistej, że różnica między tymi wartościami z punktu widzenia celu pomiaru może być pominięta ,stąd można obliczyć błąd bezwzględny poprawny ,zwany dalej błędem bezwzględnym.

q= X - P (3)

Granice , w których z dużym prawdopodobieństwem zawiera się prawdziwa wartość mierzonej wielkości określa zależność:

X - q X_R  X + q (4)

Stąd X_{R =} X_R  q

Ze stosunku obliczonego błędu q do wartości poprawnej P można wyznaczyć błąd względny

δ =  q / P (5)

Ponieważ   q , X_R  P , więc δ = δ_R..

Błąd względny najlepiej charakteryzuje dokładność pomiaru. Jako niemianowany nadaje się najbardziej do porównywania dokładności pomiarów różnych wielkości fizycznych. Wynik pomiaru bez jednoczesnej oceny jednego błędu jest bezwartościowy. Sposób zaś obliczania wartości błędu jest zależny od realizacji podstawowego zadania Należy najpierw rozważyć , która z metod oceny błędów najlepiej odpowiada użytej do badań aparaturze i metodzie pomiarowej . Ścisłe trzymanie się takiej metody chroni obserwatora od nieprawidłowego określenia niedokładności otrzymanych wyników.

2. Błędy przypadkowe

Błędami przypadkowymi są błędy o nieznanej bliżej wartości i przyczynach powstawania . Fakt ten tłumaczony jest występowaniem w czasie pomiarów wahań działania różnych czynników niezależnych od woli obserwatora , często przez niego nie dostrzeganych, np. zmiany warunków zewnętrznych i wewnętrznych przyrządów pomiarowych , temperatury , ciśnienia , stanu psychicznego obserwatora itp.

Błędy przypadkowe nie mogą być usunięte przez stosowanie poprawek .Są one bowiem w pojedynczych pomiarach zupełnie nieuchwytne .Ich wpływ na wynik pomiarów można oszacować natomiast statystycznie.

Istnienie błędów przypadkowych spostrzega się najczęściej wtedy , gdy przy próbach pomiaru tej samej wielkości tą samą aparaturą pozornie w tych samych warunkach z jednakową starannością otrzymuje się nieco różne wartości liczbowe wyników pomiarów.

Jeżeli posortuje się wyniki obserwacji kolejno według ich wzrastających wartości oraz przedstawi się je w postaci wykresu zaczynając na osi y liczby odczytów wyników o tej samej wartości - otrzymuje się tak zwaną krzywą schodkową .

W przypadku dużej liczby pomiarów n→ i bardzo wąskiego zaokrąglenia wykres wygładza się przechodząc w krzywą ciągłą .

2.1. Ogólne wiadomości o rozkładzie normalnym i jego zastosowaniu w rachunku błędów przypadkowych.

Wykonując bardzo dużą liczbę pomiarów n tej samej wielkości z jednakową dokładnością i w tych samych warunkach otrzyma się wyniki skupiające się wokół jakiejś szczególnej wartości. Jeżeli na osi odciętych  umieści się błędy rzeczywiste  tzn. różnicę między wartością poszczególnych wyników a wartością X_R występującą najczęściej a więc najbardziej prawdopodobną wartością rzeczywistą

i = Xi - X_R (6)

Natomiast na osi rzędnych naniesie się stosunek liczby pomiarów o tej samej wartości n  do liczby n wszystkich pomiarów (tkzw. częstość względna) występowania błędów o tej samej wartości otrzyma się krzywą rozkładu błędów przypadkowych przedstawioną poniżej

(RYS.1).

Rys.1. krzywa rozkładu normalnego błędów przypadkowych.

Rys.2.zależność kształtu krzywej rozkładu normalnego błędów przypadkowych od wartości odchylenia średniego kwadratowego.

Krzywa jest całkowicie symetryczna względem osi rzędnych . Dodatnie i ujemne błędy tej samej wartości są jednakowo prawdopodobne . Błędy o małej wartości są bardziej prawdopodobne niż o dużej . Błąd równy zero jest najbardziej prawdopodobny .

Wartość , przy której występuje błąd równy zero jest przy symetrii krzywej jednocześnie wartością średnią arytmetyczną wszystkich wyników pomiarów i jest najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej. Taki rozkład odpowiada rozkładowi normalnemu Gaussa, opisanego równaniem:

^(-
)

f()=(1/σ*
)*e (7)

gdzie : =X-X_R

X_R- średnia arytmetyczna odpowiadająca wartości rzeczywistej przy n→ pomiarach .

σ- odchylenie średnie kwadratowe(odchylenie standardowe).

Wysokość h krzywej jest miarą dokładności. Określa się ją jako wartość funkcji dla =0.

h=
_­­­­ (8)

Wysokość h jest odwrotnie proporcjonalna do odchylenia σ . Mniejszej wartości odchylenia odpowiada większa dokładność i krzywa przebiega bardziej stromo. Całkowita powierzchnia pola między krzywą , osią odciętych i rzędnymi w punktach ₁ i ₂ .

Przy ocenie dokładności pomiaru w przypadku normalnego używane są trzy sposoby wyrażenia błędów przypadkowych :

a) Odchylenie średnie kwadratowe σ. Określa ono rozrzut błędu wokół zera.

Przy n pomiarach i błędach _i(i=1,2,3...) tych pomiarów:

σ=

(9)

b) Odchylenie prawdopodobne p - dzieli wszystkie błędy danego szeregu n pomiarów na dwie równe części . W jednej znajduje się n/2 błędów większych od p , a w drugiej n/2 błędów mniejszych od p.

(10)

Zależność ta spełniona jest dla p=0.6745 , σ=2/3σ.

2.2 Odchylenie średnie (przeciętne)  - jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości wszystkich błędów szeregu z n pomiarów.

=
,gdzie = 0,7979σ0.8σ. (11)

Odpowiada to odciętym środków ciężkości powierzchni zawartych między osiami współrzędnych , a krzywą rozkładu normalnego.

Odchylenie σ , jako najbardziej odpowiednie do analizy statystycznej błędów , znajduje najczęstsze zastosowanie w obliczeniach . Wyraża się je w tych samych jednostkach co wielkość mierzoną.

2.3 Średnia arytmetyczna ze skończonej liczby pomiarów.

W praktyce najczęściej wykonujemy skończoną liczbę pomiarów, których wyniki różnią się co do wartości na skutek błędów przypadkowych . Mając dużą liczbę wyników pomiarów obarczonych błędami przypadkowymi X₁,X₂,...,X_N stawiamy pytanie , która wartość jest najbardziej prawdopodobna. Zakładamy , że jest nią wartość
, będąca funkcją wszystkich otrzymanych wyników
=f(X₁,X₂,...,X_N). Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów przyjmą następującą postać:

₁=X₁-
; ₂=X₂-
;.........;_N=X_N-
; (12)

gdzie
=
. (13)

2.4 Obliczanie wyników pomiarów o niejednakowej dokładności

Bardzo często poszczególne pomiary są wykonywane z różną dokładnością . Dotyczy to przede wszystkim przypadków , gdy:

• tę samą wartość mierzono w kilku lub kilkunastu niezależnych od siebie seriach , różnymi przyrządami , różnymi metodami lub w różnych warunkach;

• tę samą wartość wielkości mierzono w niezależnych od siebie seriach o różnej liczebności.

Wówczas jako najbardziej prawdopodobny wynik pomiaru przyjmuje się wartość średniej arytmetycznej ważonej

(14)

gdzie:
- współczynniki wagi poszczególnych serii.

Odchylenie średnie kwadratowe σ
tego wyniku oblicza się ze wzoru

(15)

w którym
- odchylenie średnie kwadratowe i-tej serii pomiarów.

3. Błędy pozorne

Różnice między poszczególnymi pomierzonymi X_i i wartością średnią
nazywamy błędami pozornymi:

(16)

Przy bardzo dużej liczbie pomiarów wartość średnia zbliża się do rzeczywistej X_R.

X_R =
(17)

3.1. Odchylenie średnie kwadratowe ze skończonej liczby pomiarów

Przy dużej , ale skończonej liczbie pomiarów n oblicza się odchylenie średnie kwadratowe poszczególnych wyników pomiarów X_i względem wartości średniej. Odchylenie to można obliczać w oparciu o znajomość błędów pozornych z zależności :

S=
=
(18)

W pomiarach mniej dokładnych przyjmuje się , że wartość średnia jest wynikiem ostatecznym. Założenie takie nie jest całkowicie słuszne , gdyż

X_R i średnia arytmetyczna ma też odchylenie
, zwane odchyleniem średniej arytmetycznej serii pomiarów. Oblicza się je ze wzoru:

(19)

wyraża się w tych samych jednostkach co wielkość mierzona.

3.2. Przedział ufności w przypadku dużej liczby pomiarów

Przedziałem ufności dla poszczególnych wyników pomiarów X_i, jak też dla wartości średniej
, oblicza się za pomocą tabeli.

3.2.1. Przedział ufności dla poszczególnych wyników pomiarów X_i

_x= k * s (20)

X_i-_x
, p=...... (21)

Lub

X_R= X_i
_x= X_i
k * s , p=..... (22)

3.2.2. Przedział ufności dla wartości średniej:

(23)

, p=..... (24)

lub

, p=..... (25)

3.3. Rozkład Studenta

Przy małej liczbie pomiarów odchylenie średnie kwadratowe S określone jest jedynie w przybliżeniu. Grosset (pseudonim Student) wykazał, że przedział ufności można wyrazić przez wartość odchylenia średniego kwadratowego S za pomocą nierówności:

(26)

Wartość parametru t przyporządkowana danemu poziomowi ufności musi zależeć od rozkładu
i S w postaci:

t=
(27)

Po scałkowaniu otrzymamy tkzw. t Studenta.

Tabela nr.1 Współczynnik t Studenta.

Liczba pomiarów n	P=0.683	P=0.95	P=0.99	P=0.997
2	1.8	12.7	64.0	235
3	1.32	4.30	9.90	19.2
4	1.20	3.20	5.80	9.20
5	1.15	2.80	4.60	6.60
6	1.11	2.60	4.00	5.50
8	1.08	2.40	3.50	4.50
10	1.06	2.30	3.25	4.10
20	1.03	2.10	2.90	3.40
30	1.02	2.00	2.80	3.30
50	1.01	2.00	2.70	3.16
100	1.00	2.00	2.60	3.10
200	1.00	1.97	2.60	3.04
>200	1.00	1.96	2.58	3.00

Przedział ufności dla poszczególnych wyników pomiarów jak ten dla wartości średniej można przedstawić w postaci:

(28)

(29)

3.4. Wyznaczanie przedziału ufności dla wartości średniej za pomocą rozpiętości

Rozpiętością D nazywa się różnicę między największą i najmniejszą wartością z grupy wyników obserwacji. Jest ona w pewnym stopniu miarą rozproszenia wyników.

Szacowanie w oparciu o rozpiętości jest mniej dokładne niż ocena oparta na teście studenta. Jest ono jednak proste i nie wymaga długich obliczeń. Stosuje się ją dla liczby pomiarów nie większych niż 20.

(30)

X_R=
(31)

D - rozpiętość reprezentująca oszacowanie odchylenia średniego kwadratowego .

4. Błędy nadmierne ( błędy grube)

4.1. Przyczyny powstawania.

Błędy nadmierne powodują jawne zniekształcenie wyniku pomiarów. Zalicza się do nich błędy nieusprawiedliwione wynikami pomiaru i dokładnością użytej aparatury. Przyczynami występowania błędów nadmiernych są:

1. nieprawidłowy odczyt

2. błędny zapis wyniku obserwacji

3. zmiana rozstawienia przyrządów lub zmiana układu pomiarowego, błąd systematyczny niezauważony w czasie pomiaru

4. niewłaściwe zastosowanie przyrządu

5. obserwacje prowadzone na przyrządzie , którego zasady działania i budowy obserwator nie zna

6. obniżenie progu czułości zmysłów obserwatora

7. wystąpienie błędów przypadkowych nie podporządkowanych się rozkładowi normalnemu.

4.2. Wykrywanie błędów nadmiernych.

Przy analizie wyników pomiarów należy opierać się na twierdzeniu , że błędy przypadkowe o dużych wartościach są mało prawdopodobne a w związku z tym , wyniki których prawdopodobieństwo otrzymania  jest dostatecznie małe i mogą praktycznie pojawić się tylko jako pomyłki. Zanim podejmie się decyzję , trzeba ustalić, przy jakich wartościach  - wynik można uznać za zbyt mało prawdopodobny .W przypadku, gdy znana jest wartość odchylenia średniego kwadratowego σ lub S ,korzysta się z tkzw. kryterium 3σ .Można więc przyjąć, że jeżeli w danym szeregu błędów pozornych, wyliczonych dla szeregu pomiarów o jednostkowej dokładności, znajduje się błąd a_k > 3σ to jest on prawdopodobnie spowodowany pomyłką , jeżeli któryś z błędów przekroczy 4σ , to odpowiadający mu pomiar jest na pewno pomyłką.

W przypadku małej liczby pomiarów nie należy się posługiwać powyższym kryterium. Prawdopodobieństwo  otrzymania wartości

V=

(32)

w ciągu złożonym z n pomiarów (Zeidel).

5. Błędy systematyczne.

5.1 Definicja i podział błędów systematycznych

Błędami systematycznymi są błędy , które podczas pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości , wykonywanych w tych samych warunkach , pozostają stałe co do wartości bezwzględnej i co do znaku lub błędy zmieniające swą wartość według jakiegoś mniej lub więcej skomplikowanego prawa wraz ze zmianą warunków. Możemy je podzielić na dwie grupy:

1. Błędy systematyczne stałe co do wartości i znaku podczas całego pomiaru . Na przykład błąd wzorcowania przyrządu .

2. Błędy systematyczne zmienne , dzielące się na:

a) błędy systematyczne postępowe- stale wzrastające lub stale malejące co do wartości według określonego prawa w funkcji pewnego parametru. Przyczynami mogą być np. zmiana temperatury przy pomiarze czasu ,stała zmiana napięcia akumulatora.

b) Błędy systematyczne okresowe - zmieniające podczas pomiaru okresowo w funkcji pewnego parametru znak i wartość.

5.2 Przyczyny powstawania błędów systematycznych

Biorąc pod uwagę przyczyny powstawania , błędy systematyczne można podzielić na:

a) Błędy narzędzi pomiarowych przy znamionowych wartościach wielkości wpływowych - błąd podstawowy. Główną ich przyczyną jest niedokładność wzorca i niedokładności konstrukcyjne.

2. Błędy narzędzi pomiarowych przy znamionowych wartościach wielkości wpływowych - błąd podstawowy. Główną ich przyczyną jest niedokładność wzorca i niedokładności konstrukcyjne.

c) Błędy narzędzi pomiarowych spowodowane odmiennością warunków ich pracy od warunków znamionowych - błędy dodatkowe.

d) Błędy wynikające ze złego lub niestarannego zestawienia układu pomiarowego. Przyczynami ich są najczęściej obce pola magnetyczne oraz elektryczne, sprzężenia indukcyjne pojemności i galwaniczne, obce siły termoelektryczne, opory przewodów łączących, opory przejścia na stykach.

e) Błędy metody . Wiążą się one z poborem mocy przez przyrządy, stosowaniem wzorców empirycznych lub przybliżonych.

f) Błędy wynikające ze zmian warunków pomiaru . Na przykład zmiany temperatury obiektu badanego są spowodowane zazwyczaj zbyt dużym natężeniem prądu pomiarowego lub zmianą temperatury otoczenia.

g) Błędy subiektywne popełniane stale przez obserwatora wskutek złych nawyków przy wykonywaniu odczytu , stałego przyspieszenia albo opóźnienia czasu rejestracji , złej interpolacji wskazań itp.

5.3. Sposoby usuwania błędów systematycznych

Ustalenie ogólnych przepisów na usuwanie błędów systematycznych jest z uwagi na dużą różnorodność przyczyn powstawania tych błędów praktycznie niemożliwe. Można jedynie podać pewne wskazówki jak należy postępować w najbardziej typowych przypadkach. Dlatego też do każdego pomiaru należy podchodzić indywidualnie , pozostawiając decydującą rolę eksperymentowi.

a) Usuwanie błędów systematycznych przez odpowiednie wykonanie układu i staranne przeprowadzenie pomiaru.

Prawidłowe i staranne wykonanie układu jest podstawową zasadą, bez zachowania której pomiar nie może być poprawnie wykonany. Dlatego układ pomiarowy należy montować bardzo starannie, zwracając szczególnie uwagę na wszystkie wpływy uboczne, mogące zniekształcić wynik.

b) Usuwanie błędów systematycznych przez stosowanie poprawek .

Sposób dotyczy tych uchybów , których przyczyny powstawania są znane , a ich wartości i znaki mogą być wystarczająco dokładnie wyznaczone przez wzorcowanie narzędzi pomiarowych lub analizę teoretyczną.

Błędy te powinny być eliminowane za pomocą poprawek z każdego wyniku pomiaru, aby nie zniekształcały wartości błędów przypadkowych.

c)Usuwanie błędów systematycznych za pomocą specjalnych metod pomiarowych. Najważniejsze z nich to:

1. Metoda zmiany znaku polegająca na tym , aby błąd systematyczny, od którego wpływu należy się uwolnić, wchodził do wyniku włącznie ze znakiem dodatnim, a drugi z ujemnym.

2. Metoda przez przestawienie umożliwiająca eliminowanie błędów systematycznych oporników stosunkowych w mostkach prądu stałego, wtedy , gdy mają one jednakowe wartości znamionowe.

3. Metoda przez zastępowanie , w której wielkość mierzona jest zastępowana inną wielkością tego samego rodzaju, której wartość jest znana.

Mimo podanych działań całkowita eliminacja błędów systematycznych nie jest możliwa. Pewna ich część zawsze pozostaje w wyniku pomiaru. Ta pozostałość błędu systematycznego, zwana niekiedy błędem resztkowym, jest sumowana z błędami przypadkowymi i wpływa na ich rozkład.

Bibliografia

1. Orzechowski Zbigniew. : „Wybrane działy z teorii pomiaru”. Wrocław 1974.

2. Chwaleba A., Poniński M., Siedlecki A. : „Metrologia elektryczna”. WNT 1994 Warszawa.

4

1

11

---