06.03.2008

Kloc Aleksandra

Paszylk Łukasz

Piekarski Filip

ĆWICZENIE 13: WYZNACZENIE ŚRODKA ZGINANIA

W przekrojach cienkościennych można znaleźć taki punkt, że po przyłożeniu do niego siły tnącej będziemy mieli do czynienia jedynie ze zginaniem pręta (nie wystąpi jego skręcanie). Jest to tzw. środek zginania (lub ścinania), który dla przekrojów bisymetrycznych jest jednocześnie punktem ciężkości tych przekrojów, natomiast w przekrojach monosymetrycznych leży na ich osi symetrii.

Celem wykonywanego w laboratorium ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie środka zginania dwóch cienkościennych belek wspornikowych - jednej o przekroju rurowym (rys. 1) i drugiej o przekroju kątowym (rys. 2). Doświadczenie polegało na notowaniu odczytów pomiarów kąta skręcenia belki czujników zegarowych (4 i 5) dla różnych położeń (określanych za pomocą miarki (3)) obciążonej szalki (2).

rys. 1 rys. 2

Na początku należało zatem ustawić nie obciążoną odważnikami szalkę w punkcie zerowym i dokonać odczytów początkowych obydwu czujników zegarowych (f_L¹ i f_P¹). Następnie, po obciążeniu szalki pięciokilogramowym odważnikiem, przesuwać szalkę w przedziale od -40mm do +40mm, notując wskazania czujników zegarowych co 10mm. Na koniec, po zdjęciu obciążenia z szalki i ustawienia jej ponownie w punkcie zerowym, jeszcze raz dokonać odczytów obydwu czujników zegarowych (f_L² i f_P²).

Średni odczyt początkowy wynosił:

• dla przekroju rurowego: f_L⁰ = 0,5 ∙ ( f_L¹ + f_L² ) = 0,5 ∙ (3,00 + 3,00) = 3,00 mm

f_P⁰ = 0,5 ∙ ( f_P¹ + f_P² ) = 0,5 ∙ (5,00 + 4,98) = 4,99 mm

• dla przekroju kątowego: f_L⁰ = 0,5 ∙ ( f_L¹ + f_L² ) = 0,5 ∙ (2,00 + 2,00) = 2,00 mm

f_P⁰ = 0,5 ∙ ( f_P¹ + f_P² ) = 0,5 ∙ (3,00 + 3,01) = 3,005 ≈ 3,01 mm

Ugięcia punktów liczone były wg wzorów:

• ugięcia punktów lewych: u_L = f_L - f_L⁰

• ugięcia punktów lewych: u_P = f_P - f_P⁰

Kąty skręcenia były liczone natomiast ze wzoru: ф = (u_L - u_P) / a = (u_L - u_P) / 20.

Wyniki pomiarów oraz obliczeń ugięć punktów oraz kątów skręcenia zostały umieszczone w poniższych tabelach (tabelach 1 i 2).

Tabela 1. zawierająca wyniki pomiarów dla belki o przekroju rurowym:

Przyłożenie siły	Wskazania czujników		Ugięcie punktów		Kąt skręcenia
[mm]	Lewego fL	Prawego fP	Lewego uL	Prawego uP	ф
-40	1,11	5,96	-1,89	0,97	-0,1430
-30	1,49	5,57	-1,51	0,58	-0,1045
-20	1,86	5,18	-1,14	0,19	-0,0665
-10	2,23	4,81	-0,77	-0,18	-0,0295
0	2,61	4,41	-0,39	-0,58	0,0095
10	3,10	4,00	0,10	-0,99	0,0545
20	3,35	3,64	0,35	-1,35	0,0850
30	3,72	3,26	0,72	-1,73	0,1225
40	4,11	2,89	1,11	-2,10	0,1605

Ilustracja wyników z tabeli 1 w postaci wykresu:

Punkt przecięcia odczytany z wykresu: A₁(4,745; -0,479).

Tabela 2. zawierająca wyniki pomiarów dla belki o przekroju kątowym:

Przyłożenie siły	Wskazania czujników		Ugięcie punktów		Kąt skręcenia
[mm]	Lewego fL	Prawego fP	Lewego uL	Prawego uP	ф
-40	0,84	4,90	-1,16	1,895	-0,15275
-30	1,09	4,63	-0,91	1,625	-0,12675
-20	1,32	4,39	-0,68	1,385	-0,10325
-10	1,56	4,12	-0,44	1,115	-0,07775
0	1,81	3,87	-0,19	0,865	-0,05275
10	2,02	3,66	0,02	0,655	-0,03175
20	2,27	3,42	0,27	0,415	-0,00725
30	2,51	3,20	0,51	0,195	0,01575
40	2,74	2,96	0,74	-0,045	0,03925

Ilustracja wyników z tabeli 2 w postaci wykresu:

Punkt przecięcia odczytany z wykresu: A₂(7,323; 0,347).

Wyniki doświadczeń konfrontowaliśmy z teoretycznymi obliczeniami środków zginania dla obu przekrojów.

Obliczenia dla przekroju rurowego:

Naprężenie ścinające można wyznaczyć ze wzoru:

R=3,92 cm

dA=dSδ dS=Rdϕ

dA=Rδdϕ

y=Rcosϕ

Środek zginania- punkt w którym należy przyłożyć siłę, aby zredukować wypadkową naprężeń stycznych ( siła w tym punkcie nie wywołuje skręcania )

czyli:

∑ MsO=0 , stąd :

T x - ∫ dt R = 0

T x - t R = 0 (1) t-wypadkowa naprężeń stycznych

τ = (Sx T)/(Ix δ) Ix-moment bezwładności przekroju:

Ix = 0,5 Π R³δ

Sx-moment statyczny:

Sx = ∫ y dA

Sx = ∫ R cosϕ R δ dϕ = ∫ R² δ cosϕ dϕ = R² δ cosϕ + c

Wiedząc , że dla: Sx (ϕ = 0) = 0 , stała c = 0 .

Sx = R² δ sinϕ .

τ = (R² δ sinϕ T)/( 0,5 Π R³δ δ) = ( 2 sinϕ T)/(R δ Π )

t = ∫ τ dA = ∫ (( 2 sinϕ T )/( R δ Π )) R δ dϕ = ( 2 T ) / Π [ - cosϕ ] = ( 2 T ) / Π [ - ( -1-1)] = 4 T / Π .

Podstawiając do równania (1) , otrzymujemy :

T x = (4 T / Π) R

x = ( 4/Π ) R = 4 (3,92/Π) = 4,99 cm

Zgodnie z przyjętym układem wsp. w doświadczeniu odległość od punktu zginania równa się :

e = - 4,99 cm .

4

---