Wektory, skalary

________________________________________________________

1. Dane są dwa wektory:

i

Oblicz

a) długość każdego wektora,

b) iloczyn skalarny
,

c) kąt zawarty między wektorami,

d) iloczyn wektorowy

2. Dwie cząstki zostały wysłane z początku układu współrzędnych i po pewnym czasie ich położenia opisane są wektorami

i

gdzie a₁ = 4, a₂ = 3, a₃ = 8

b₁ = 2, b₂ = 10, b₃ = 5

Oblicz a) długości wektorów,

b) wektor położenia cząstki pierwszej względem drugiej
,

c) kąty między wszystkimi parami tych wektorów,

d) rzut wektora
na
,

e) iloczyn wektorowy
.

3. Dany jest wektor:

a) Ile wynosi długość rzutu tego wektora na płaszczyznę xy?

b) Czy wektor
o postaci
i własności
jest prostopadły do
?

4. Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w następujący sposób:

Znajdź zależność od czasu prędkości punktu materialnego oraz jego przyspieszenia.

5. dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami

W chwili t = 0 są one w punktach o współrzędnych: x_A=-3 m, y_A = 0, x_B = 0, y_B = -3 m

Znaleźć wektor

który określa położenie cząstki B względem A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie obie te cząstki będą najbliżej siebie?

4. Samolot przebywa odległość 130 km, lecąc wzdłuż linii prostej tworzącej kąt 22,5⁰ z północą, w kierunku północno-wschodnim. Jak daleko na wschód i jak daleko na północ oddali się on od swego początkowego położenia?

5. Samochód jedzie po poziomej drodze prosto na wschód, przebywając odległość 30 km. Następnie skręca na północ i jadąc dokładnie w kierunku północnym przebywa drogę równą 40 km, po czym zatrzymuje się. Znaleźć wypadkowe przemieszczenie samochodu.

6. Zależność przebytej przez ciało drogi od czasu t podaje równanie : s = a -bt + ct , gdzie

a = 6 m, b = 3 m/s. c =2 m/s . Wyznaczyć wartość prędkości po upływie czasu t = 2 s.

7. Dany jest poniższy wykres przyspieszenia cząstki poruszającej się wzdłuż osi x. Narysuj wykresy położenia i prędkości. Przyjmij, że dla t = 0 x = 0 a = 100 m/s², t₁ = 2000 s,

t₂ = 1000 s, t₃ = 5000 s.

8. Cząstka porusza się w płaszczyźnie x,y tak, że jej wektor położenia jest określony równaniem :

Udowodnij, ze w tym ruchu

a) prędkość
jest prostopadła do
,

b) przyspieszenie
jest skierowane do środka układu, znaleźć jego wartość,

c)
jest stałym wektorem, znaleźć jego wartość.

9. W pierwszej połowie czasu ciało poruszało się z

prędkością
= 20 m/s pod kątem α = 60⁰ do poziomu względem zadanego kierunku, a w drugiej połowie czasu - pod kątem β = 120⁰ względem tego samego kierunku z prędkością
= -240 m/s. Znaleźć średnią prędkość ruchu.

10. Ciało zostało wyrzucone z prędkością
pod kątem α do poziomu. Znaleźć jego prędkość po czasie t oraz równanie toru.

a

t₂

t₃

t₁

---