1 Opisz własności modeli czynników roboczych

a) gazu doskonały

Matematyczny model gazu, spełniający następujące warunki:

1. brak oddziaływań międzycząsteczkowych

2. objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu

3. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste

4. cząsteczki znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu

5. spełnia równanie Clapeyrona pV=nRT

6. ciepło właściwe jest stałe nie zależne od temp

7. spełnia prawo Avogadro

Stosowany dla powietrza i innych tego typu gazów dla parametrów umiarkowanych tzn.

- do ok. 2-3 MPa,

- do ok. 1000K

b) gaz półdoskonały

- spełnia prawo Avogadro

- r-nie stanu Clapeyrona

- ciepło właściwe zależne od temp

2. Wymień i krótko opisz główne założenia metody rozwiązywania zagadnień nieliniowej optymalizacji

Met.rozw.zadań optymalizacyjnych.

-simpleks(primalny,dualny)-zadania liniowe

-metody nieliniowe

*metody gradientowe, *metody bezgradientowe, *metody hybrydowe.

Simpleks: (metoda rozwiązywania zadań linowych)

założenia: ograniczenia są liniowe, dziedziny wszystkich zmiennych są ciągłe, rozważane jest jedno kryterium optymalności, funkcja celu jest liniowa.

z założenia o linowych ograniczeniach wynika że zbiór rozwiązań jest wypukły

o ile funkcja celu nie jest liniowo zależna od żadnego z ograniczeń to rozwiązanie znajduje się w jednym z naroży.

Lineryzacja:-rozwiązanie zadania nieliniowego przy pomocy metod liniowych, - etapy rozwiązania zadania:*zastąpienie równań nieliniowych równaniami liniowymi,*rozwiązania zadania liniowego, *określenie wartości funkcji celu z wykorzystaniem równań nieliniowych (pierwotnych), *jeżeli rozwiązanie nieliniowe i liniowe różnią się nie wiele zakończenie obliczeń.

Gradientowa: (rozwiązywanie zadań nieliniowych)

1. Przyjąć punkt startowy xo, długość kroku e, współczynnik redukcji kroku a<1, dokładność wyznaczenia ekstremum, zerowanie się gradientu. Przyjąć i=0.

2. Obliczyć w punkcie xi wartość funksji celu f(x) i jej gradientu g(x).

3. Wyznaczyć kierunek poszukiwań, d=-g(x) dla minimum i d=g(x) dla maksimum.

4. Wykonać z punktu xi krok w wyznaczonym kierunku d o długości e przechodząc do punktu xi+1=xi+e*d

5. Obliczyć wartość funkcji celu i jej gradientu w nowym punkcie.

6. Jeśli gT-g<ε zakończyć postępowanie. Jeśli nie przejść dalej.

7. jeśli f(xi+1)<f(xi) minimalizacja

jeśli f(xi+1)>f(xi) maksymalizacja

powtórzyć postępowanie dla wyznaczonego punktu xi+1, czyli przyjąć i=i+1 przejść do pkt.2.

8. W przypadku przeciwnym cofnąć się do poprzedniego punktu i zmniejszyć krok, czyli przyjąć e=ae i przejść do pkt.4.

Metoda ta jest dobrze zbieżna ale obliczenia mogą utkwić w ekstremum lokalnym.

3.Omów metody rozwiązywania równań algebraicznych metodą otwartą i zamkniętą

Metody:

-reziduum

y=a-x

y-a+x=0

y-a+x=r r-reziduum

= min powinno być bliskie zeru lub najlepiej zero

metoda nie zależy od wejść i wyjść, metoda dość pracochłonna

- połowienia przedziału Aby można było zastosować metodę równego podziału, muszą być spełnione założenia:

1. funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a;b]

2. funkcja przyjmuje różne znaki na końcach przedziału: f(a)f(b) < 0

Przebieg algorytmu:

1. Należy sprawdzić, czy pierwiastkiem równania jest punkt
   , czyli czy f(x₁) = 0.

2. Jeżeli tak jest, algorytm kończy się. W przeciwnym razie x₁ dzieli przedział [a,b] na dwa mniejsze przedziały [a,x₁] i [x₁,b].

3. Następnie wybierany jest ten przedział, dla którego spełnione jest drugie założenie, tzn. albo f(x₁)f(a) < 0 albo f(x₁)f(b) < 0. Cały proces powtarzany jest dla wybranego przedziału.

Działanie algorytmu kończy się w punkcie 2, lub po osiągnięciu żądanej dokładności przybliżenia pierwiastka.

- stycznych Metoda Newtona przyjmuje następujące założenia dla funkcji
:

1. W przedziale
   znajduje się dokładnie jeden pierwiastek.

2. Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj.
   .

3. Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.

W pierwszym kroku metody wybierany jest punkt startowy
(zazwyczaj jest to wartość
, lub
), z którego następnie wyprowadzana jest styczna w
. Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią OX jest pierwszym przybliżeniem rozwiązania (ozn.
).

Jeśli to przybliżenie nie jest satysfakcjonujące, wówczas punkt
jest wybierany jako nowy punkt startowy i wszystkie czynności są powtarzane. Proces jest kontynuowany, aż zostanie uzyskane wystarczająco dobre przybliżenie pierwiastka

Kolejne przybliżenia są dane rekurencyjnym wzorem:

Szacowanie błędu

Błąd k-tego przybliżenia można oszacować poprzez nierówności (x* to dokładna wartość pierwiastka):

- siecznych metoda rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych (interpolacji liniowej, Eulera) polega na przyjęciu, że funkcja na dostatecznie małym odcinku <a,b> w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku <a,b> krzywą y=f(x) zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji f(x), mającej pierwiastek w przedziale < a,b > można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

4.Podaj podstawowe zależności opisujące zjawisko wpływu gazu ze zbiornika z uwzględnieniem ciepła zgromadzonego w ściankach zbiornika; założenie: zbiornik izolowany,znana i dana jest geometria zbiornika,znana jest masa zgromadzonego w nim gazu (mg),znane są wielkości początkowe(p0,t0).

(dm/dt)= mα - mw

p=ρRT ρ=1/V V=f(p,T) i0=f(p0,T0)

(dl/dt)=Σmα iα - Σmw iw + V(dp/dt) - Q-lm

5.Dane są r-nia. y=a1x1+a2x1x2+a3x1 (1) oraz y= sin(a1x1+a2x1x2+a3x3) (2) Opisz jakie metody identyfikacji należy zastosować do identyfikacji r-nia (1) i (2)

y=a1x1+a2x1x2+a3x3 (1)

y= sin(a1x1+a2x1x2+a3x3) (2)

R-nia te identyfikujemy poprzez 3 metody:1.Metoda oszacowania empirycznego momentów rozkładu.2. minimalizacja empirycznej wartości oczekiwanej.3.Metoda aproksymacji stachostycznej. (1)

Jeśli chodzi o skutek to dwie pierwsze metody są bliźniacze. Wymagany jest tutaj rodzaj funkcji, układ liniowy względem wsp.

Q=Σ(yj-yj)^2 = min

3 metoda - nie ma wymagań co do funkcji E[[y(w)-y(w,a)]^2]=[v(a)]E

Szukamy różnicy między wartościami z pomiarem a wartością z modelem dla wszystkich wartości. Szuka się min czyli wartości V(a), najlepiej by było równą zeru. Stosuje się tutaj metodę gradientową. Najpierw zakłada się współczynnik.który nie ma nic wspólnego z rzeczywistością,czyli z wartościami z parametrem np. N=0,5m1Δh1+0,3m2Δh2=bezwzględna wielkość

6.Opisz zasady rozwiązywania r-nia różniczkowego postaci y'=f(x,y) metodą Eulera.

Prowadzi się styczną do funkcji i przybliżeniem rozwiązania jest punkt znajdziemy się na tej prostej. y(xi+h)=y(xi)+y'(xi)h

---