Politechnika Wrocławska Instytut Techniki Cieplnej i Mechaniki Płynów
|
Temat:
|
nr. ćw:
|
|
Piotr Pazdan Inż. Œrod. rok II gr IV sekcja I
|
Data wykonania ćwiczenia:
|
Data i ocena:
|
|
Uwagi prowadzącego:
|
|||
1. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doœwiadczalne wyznaczenie kształtu swobodnej powierzchni cieczy wirującej w naczyniu cylindrycznym wokół osi pionowej i poziomej.
2. Podstawy teoretyczne:
Ciecz znajdująca się naczyniu wirującym ze stałą prędkoœcią kątową wokół osi pionowej osiąga stan równowagi względnej, czego wizualnym efektem jest ukształtowanie swobodnej powierzchni cieczy. W takim przypadku ciecz pozostaje w spoczynku względem œcian naczynia, gdyż suma wszystkich sił działających na element płynu jest równa zero:
Xdx + Ydy + Zdz = 0
w przypadku ruchu wokół osi pionowej składowe przyjmują postać:
X = 2x Y = 2y Z = g
co po podstawieniu i scałkowaniu daje ostatecznie:
z =
r - promień paraboloidy na odpowiednim poziomie z;
- prędkoœć kątowa naczynia;
g - przyspieszenie ziemskie;
z0 - położenie wierzchołka;
Z porównania objętoœci cieczy w spoczynku i ruch otrzymujemy wartoœć z0 = H -;
H - wysokoœć cieczy w naczyniu w stanie spoczynku;
h - wysokoœć cieczy w naczyniu w ruchu;
z0 - wysokoœć położenia wierzchołka paraboloidy;
Po podstawieniu za z0 otrzymujemy ostateczne równanie kształtu swobodnej powierzchni cieczy wyrażone wzorem:
z = H +
W przypadku naczynia wirującego wokół osi poziomej równanie opisujące kształt powierzchni swobodnej przyjmuje postać:
x2 + = C co po uproszczeniu daje:
x2 +
Równanie to dla !" opisuje powierzchnię jednakowego ciœnienia, która jest walcem o osi pokrywającej się z osią naczynia.
3. Schemat stanowiska:
przyrząd do pomiaru i regulacji urządzenie do
prędkoœci obrotowej pomiarów wewn.
naczynie
silnik elektr.
4. Pomiary doœwiadczalne:
4.2.1. Dane początkowe:
H = 17,25 - 11,20 = 60,5 * 10-3 m. - wysokoœć cieczy w naczyniu;
R = 45 * 10-3 m - promień powierzchni naczynia;
4.2.2. Wyniki:
Dla trzech wartoœci prędkoœci obrotowej naczynia wyznaczyliœmy wartoœci okreœlające kształt rzutu paraboloidy na płaszczyznę zOx:
Tabelka wyników:
|
1 = 140 obr/min |
2 = 230 obr/min |
3 = 270 obr/min |
|||
Lp. |
X1 [mm] |
Y1 [mm] |
X2 [mm] |
Y2 [mm] |
X3 [mm] |
Y3 [mm] |
1. |
0 |
123 |
0 |
140.5 |
0 |
152.0 |
2. |
5 |
122.9 |
5 |
140.0 |
5 |
149.0 |
3. |
10 |
122.0 |
10 |
140.0 |
10 |
147.0 |
4. |
15 |
121.0 |
15 |
135.0 |
15 |
144.0 |
5. |
20 |
118.0 |
20 |
130.5 |
20 |
137.5 |
6. |
25 |
116.8 |
25 |
124.0 |
25 |
119.0 |
7. |
30 |
113.5 |
30 |
116.0 |
30 |
118.0 |
8. |
35 |
110.0 |
35 |
107.0 |
35 |
105.0 |
9. |
40 |
104.0 |
40 |
96.0 |
40 |
89.5 |
10. |
45 |
102.0 |
45 |
86.5 |
45 |
75.0 |
4.2.3. Liczenie wartoœci prędkoœci kątowych naczynia:
= ;
T - okres drgań;
- częstotliwoœć drgań naczynia:
1 = 140 obr/min = obr/s = 2.(3) [1/s] ! 1 = 2 * 3,141592654 * 2.(3) = 14.66 [1/s]
2 = 3.8(3) [1/s] ! 2 = 24.085 [1/s]
3 = 4.5 [1/s] ! 3 = 28.274 [1/s]
4.2.4. Teoretyczne wyznaczenie kształtu swobodnej powierzchni cieczy:
z1 =
z2 = 0.0605 + 29.5874(x2 - 0.001)
z3 = 0.0605 + 40.7476(x2 - 0.001)
4.2.4. Wyznaczanie prędkoœci krytycznej:
Z wyników doœwiadczenia wynika, że dla pewnej wartoœci wierzchołek paraboloidy osiąga dno naczynia wirującego wokół osi pionowej. Dla tej wartoœci z0 = 0.
gr = 332 obr/min = 5.5(3) [1/s].
gr = 2gr = 34.767 [1/s]
z0 = H - = m;
Ze wzoru : ; h = 2H = 2 * 0,0605 m = 0,121 m
można wyliczyć teoretyczną wartoœć prędkoœci dla której wierzchołek paraboloidy osiągnie dno:
[1/s];
Obliczenia wykonane na podstawie wzoru teoretycznego potwierdziły obserwacje z bardzo niewielkim błędem wynikającym z niedoskonałoœci przyrządów pomiarowych (przy stałej wielkoœci prędkoœci kątowej licznik obrotów zmieniał wartoœć na przedziale 5 obr/min).
4.2.5. Badanie stanu równowagi względnej w ruchu obrotowym wokół osi poziomej:
Ciecz znajdująca się w naczyniu wirującym wokół osi poziomej osiąga stan równowagi względnej dla !" i przyjmuje kształt walca o osi pokrywającej się z osią naczynia
W praktyce jednak wartoœć omega nie jest relatywnie duża i tak dla naszego doœwiadczenia ciecz osiągnęła stan równowagi względnej dla:
g = (2 * * 430) obr/min = (2 * * 7,1(6)) obr/s = 45.0294 [1/s]
natomiast poniżej:
D = (2 * * 400) obr/min = (2 * * 6,(6)) obr/s = 41.8879 [1/s]
ciecz wypada ze stanu równowagi.
Obliczenie stosunku wartoœci przyspieszenia ziemskiego do przyspieszenia odœrodkowego działającego na element płynu w stanie równowagi względnej:
5. Rachunek błędów:
5.1. Błąd pomiaru prędkoœci krytycznej:
kr = 34,767 [1/s];
t = 34,239 [1/s];
kr = ;
5.2. Błąd pomiaru wysokoœci : y = 0.001 m;
6. Wnioski końcowe:
Celem naszego ćwiczenia było wyznaczenie kształtu swobodnej powierzchni cieczy w naczynie wirującym wokół osi pionowej i poziomej. Przeprowadzone pomiary charakteryzują się dużą dokładnoœcią, jeżeli chodzi o teoretyczne i praktyczne wyznaczenie prędkoœci krytycznej (wierzchołek paraboloidy dotyka dna).
Dla prędkoœci równowagi względnej (gdy powierzchnia cieczy jest walcowa) otrzymany stosunek przyspieszenia ziemskigo do grawitacyjnego jest zbliżony do zera i już dla tej wartoœci powierzchnia swobodna cieczy jest walcem o osi pokrywającej się z osią naczynia
Pomiary kształtu paraboloidy były utrudnione i obarczone błędem pomiaru (suwmiarka). Miało to znaczenie szczególnie przy większych prędkoœciach, gdy skoki kolejnych wartoœci y gwałtownie rosły. Niedokładnoœć pomiaru jest także konsekwencją niedoskonałoœci urządzenia sterującego prędkoœcią ( p.4.2.).
Ostatecznie jednak można przyjąć, że obserwacje dokonane podczas przebiegu doœwiadczenia odpowiadają teoretycznej interpretacji tematu, a błędy mieszczą się w granicach poprawnoœci obliczeń.