METODA MAXWELLA-MOHRA

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.

Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną (siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.

Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w postaci:

gdzie:

- poszukiwane przemieszczenie,k - liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,

- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej x_k na końcu przedziału),
- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem rzeczywistym,
- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,
- moduł Younga,
- moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.Całki typy
można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji φ_i i φ_k jest liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole Ω_i wykresu funkcji φ_i przez rzędną ω_k wykresu funkcji φ_k (ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola Ω_i .

Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy φ_i i φ_k są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:

Iloczyn Ω⋅ω jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU WZORU MAXWELLA-MOHRA:

1.Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.2.Obciążyć układ tylko i wyłącznie siłą jednostkową w miejscu i na kierunk poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór. (uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego - obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu - obciążamy układ momentem jednostkowym)3.Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach obciążeń.4.Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.5.Zastosować wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego przemieszczenia.

HIPOTEZY WYTĘŻENIOWA HUBERA

W metodzie Hera wilkościa kryterialna jest właściwa energia odkształcenia postaciowego.Qp->Max, gdzie. Qp<=Qdop. Wartości metodą hubera wyznaczamy w lub podczas próby rozciągania próbki. Laboratoryjnie. Qp=1+v/6E[(S1-S2)^2+(S2-S3)^2+(S1-S3)^2]. Wzór próbki rozciąganej laboratoryjnie ma postać Qp”lab”=1+v/6E[2*S1^2]=1+v/3E*S1^2. Dla próbki laboratoryjnej można przyjać. S1=0, S2=S3=0.

Qp”dop”=1+v/3E*S^2dop. Zależność Hipotezy wytężeniowej Hubera: 1+v/6E*[(S1-S2)^2+(S2-S3)^2+(S1-S3)^2]<=1+v/3E*S^2dop.

Pierwiastek :1/2*[(S1-S2)^2+(S2-S3)^2+(S1-S3)^2]<=Sdop*. Naprężenia zredukowane Hubera są to naprężenia pod pierwiastkiem. Czyli ogolny wzor ma posatc. Sred”H”=Pierwiastek z 1/2*[(S1-S2)^2+(S2-S3)^2+(S1-S3)^2] naprężenia zapisane w naprężeniach głownych oraz

Sred”H”=Pierwiastek z 1/2**[(Sx-Sy)^2+(Sy-Sz)^2+(Sx-Sz)^2]+3(Txy^2+Tyz^2+Txz^2). Zapisane w naprężeniach dowolnych.

Hipoteteza odkształcenia postaciowego ocenia stan krytyczny jako niebezpieczeństwo poślizgu metodzie otoczeniu rozpatrywanego punktu materialu przy uwzględnieniu przestrzennego współdziałania otoczenia. Miara wspoldzialnia wszystkich naprężeń tnących metodzie otoczeniu rozpatrywanego punktu jest srednie naprężenie tnace. Dla przestrzennego stanu naprężeń

:Tef=Pierwiastek z [( S1-S2)^2+(S2-S3)^2+(S1-S3)^2]/15.

W naprężeniach dowolnych : Tef=Pier z *[(Sx-Sy)^2+(Sy-Sz)^2+(Sx-Sz)^2]+3(Txy^2+Tyz^2+Txz^2)/15.

Hipoteza ta redukuje liczbe niezbędnych doświadczeń jakie należałoby wykonac , aby dla danego materialu i stanu naprężeń ustalic kryteria stanu niebezpiecznego.

ISTOTA METODY OBCIĄŻEŃ GRANICZNYCH

1.Analizuje konstrukcje globalnie i wskazuje graniczne wartości obciążenia. 2.Zakłada że jeśli naprężenia SA powyżej naprężenia granicznego lub dopuszczalnego to konstrukcja wchodzi w obszar plastyczny.: P<=Pop=Pgr/n(współczynnik bezpieczeństwa).3.Metoda naprężeń granicznych zaklada ze po osiągnięciu Re(granicy plastyczności), material wchodzi w obszar całkowicie plastyczny.Pio przekroczeniu Re, material uplastycznia się gdzie nie jest w stanie odpowiedziec większym naprężeniom niż naprężenia Re. Wykres z lina ciaglo i Re(S,E).4.Metoda obciążeń granicznych zaklada ze wchodzi w obszar sprezysto-plastyczny..Wykres statycznej proby rozciagania z Re(S,E). Stad zaklada inne współczynniki wytrzymałości dajac ostatecznie wieksza wytrzymałość obliczanego elementu.

Teoria Eulera

W tej teorii odstępujemy od zasady usztywnienia. Pod wpływem dzialania obciążeń pret straci stateczność. Mala ilość sily spowoduje drgniecie preta. Wartość tej sily nazywamy sila krytyczna.(rysunke preta)

EJd^2f/dx^2=-Mg|P*f=M| EJd^2f/dx+Pf=0|f+P/EJ*f=0|L^2=P/EJ|Równanie dla preta odkształconego (o stalych współczynnikach linowych”). f”+L^2f=0|

f=C1sinLx+C2cosLx|x=0,f(0)=0=>C2=0|

x=l,f(l)=0|0=C1sinL*l|sinLl=0|L*l=0+K

L*l= K L^2*l^2= K^2 ^2|P/EJl^2= K^2 ^2|P=K^2  ^2EJ/l^2 gdzie przy k=1 pret ugnie sie i Pkr=  ^2EJ/L^2

Założenia :pręt jest początkwo  prosty;materiał pręta jednorodny i izotropowy;pręt ma stały przekrój poprzeczny;naprężenia  w pręcie są mniejsz od σprop.Siła rośnie b.wolno od małej wartościpoczątkowej(postacie wyboczen) (P/EJ)^(1/2)=n/L|P=n²²EJ/L²| P_kr=²EJ/L_s²|Pret z 2 sztywnosciami P_kr=²EJ/L_s² |J=i^2*A (promien bezwładności)| i=(J/A)^1/2| P_kr=²Ei^2*A/L_s²|smukłość lambdaY=l/i. |Pkr/A=²

E/(l/i)^2|Skr=Pkr/A=>Skr==²E/Y^2

(wykres).

Zasada Prac Wirtualnych

U.p.m-uklad jest skrępowany wiezami. Ich indeks i=1,2,3,4..n;a każdy punkt jest opisany w przestrzeni(Xi,Yi,Zi), czyli ri'=Xii'+Yij'+Zik'. Na układ sa nałożone wiezy w postaci ogolnej uwikłanej. Fj(x1,y1,z1…,xi,yi,zi…,xn,yn,zn)=0 gdzie j=1,2..m. Równania te wiaza pkt u.p.m, które spełniają jakies zależności (3n-m=k)-jest to liczba stopni swobody

Atrybuty(warunki dla przemieszczen wirtualnych)-to przemieszcenie jest pmyslane wdl.Einsteina-eksperyment myślowy,-jest dopuszczone kinematycznie(nieprzesuwne z wiezami,-jest bardzo male w porównaniu z cialemlub układem,-niezalezny od czasu,-sa ciagle co najmniej raz rozniczkwalne…Przemieszcenia wirtualne reprezentuja przemieszczenia u.p.m, z jednego możliwego położenia tego układu w chwili t, do drugiego nieskończenie bliskiego położenia możliwego dla tej samej chwili t.(rysunek).Rozwazania ograniczaja się do układów skrepowanych wiezami hononomicznymi, geometrycznym-czyliwiazacym tylko współrzędne polozen punktow , bez wiazania prędkości. Ponadto wiezy te sa 2 stronne i sa także skleronomiczne(czyli nie zalezne od czasu).

---