5. Podstawowe metody rozwiązywania ustrojów prętowych statycznie niewyznaczalnych.

Kinematyczna analiza konstrukcji

Geometryczna i chwilowa niezmienność - taki układ połączonych ze sobą tarcz w którym nie może nastąpić wzajemne przemieszczenie się jego części bez ich deformacji.

Stopnie swobody= 3 n = 1 s = 0 układ chwilowo chwiejny

n = 3

S = 3T - P - 2R

T - liczba tarcz → s = 3T

P - liczba prętów podporowych → s = - P

R - liczba przegubów → s = - 2R

if s = 0 - układ kinematycznie niezmienny (ma niezbędną liczbę stopni) - eliminujemy źle usytuowane

if s < 0 - układ ma więcej niż trzeba więzi do utrzymania kinematycznej niezmienności

if s > 0 - to układ jest geometrycznie zmienny

Liczba więzi nadliczbowych określana jest przez „n”

n = - s -stopień niewyznaczalności układu

n = a + p + s - 2w

a - liczba niewiadomych podporowych

p - liczba prętów

s - liczba zesztywnień

w - liczba przegubów

n = (2+1+1+1)+3+2-2•4 =

Procedura postępowania w metodzie sił

• n = ? (st. niewyznaczalności)

• przyjmujemy układ podstawowy metody sił UPMS

• zbudow. ukł. równań (model matematyczny) dla n- niewiadomych

∂₁₁x₁ + ∂₁₂x₂ + ... + ∂_1nx_n + Δ_1p = 0

∂₂₁x₁ + ∂₂₂x₂ + ... + ∂_2nx_n + Δ_2p = 0

: : : : n- równań

∂_n1x₁ + ∂_n2x₂ + ... + ∂_nnx_n + Δ_np = 0 n- niewiadomych

[∂] {X} + {ΔP} = {0}

macierz podatności wektor obciążeń

∂₁₁ ∂₁₂ ..... ∂_1n x₁ ΔP₁ 0

∂₂₁ ∂₂₂ ..... ∂_2n x₂ + ΔP₂ = 0

: : : : : :

∂_n1 ∂_n2 ..... ∂_nn x_n ΔP_n 0

• wyznaczenie M , M_p

• wyznaczenie współczynników w macierzy podatności ∂_ij , Δ_ij

• rozwiązywanie układu równań

• wyznaczenie ostatecznie M , Q , N

M⁽¹⁾_ost = M⁽ⁿ⁾₁ X₁ + M⁽ⁿ⁾₂ X₂ +...+ M⁽ⁿ⁾_n X_n + M⁽ⁿ⁾_p

• zaakceptować wyniki (sprawdzenie)

1. Σ ∫

1a. Szczególny przypadek ( kon. zamknięta)

if EJ = const

if EJ ≠ const

2. w każdym węźle ma być równowaga
   

2a. To samo dla sił

3. równowaga piętra (tam gdzie w piętrze nie ma podpór)

Schematy polowkowe

Całkowanie graficzne

UPMS

M - od siły jednostkowej

Z układu równań mamy x₁, x₂

M_ost = M_p + M₁x₁ + M₂x₂

Ostatecznie

M_ost

+ sprawdzenie.

Podstawowe schematy

Wykorzystamy fakt że: symetria × antysymetria = 0

n = 9+4+3-2⋅5 = 3

Metoda przemieszczeń

Procedura

• wyznaczenie stopnia kinematycznej (i geometrycznej) niezmienności

• UPMP

• Układ równań MP

• Wyliczenie współczynnika r_ij , R_ip (czyli rozwiązanie równań i wyznaczenie ϕ i Δ)

• Wyznaczyć M]

• Wyznaczyć M_ost , N_ost M_ost = M₁ϕ₁ + M₂ϕ₂ + M_p , n_k = 2.

• Sprawdzenie wykresu M_ost

Pręt płaski

Zależność między siłami węzłowymi a przemieszczeniami

V_i v_i

φ_zi K ϕ_zi

V_k ^• v_k

φ_zk ϕ_zk

siły macierz przemieszczenia

węzłowe zależności węzłów

Macierz .................

-

-

-

-

Przykład.

---