2 DOPASOWANIE IMPEDANCJI

Ograniczenie dopasowania impedancji (Fano - Youla)

Z = R + j X Y = G + j B G,L,C,R ≠ f(f)

Dla danej impedancji Z istnieje wymienność poziomu Γ i szerokości pasma.

Ograniczenia możliwości dopasowania impedancji dla układu A) podał Bode w 1945 r.

A
B
C
D

Układ dopasowujący bezstratny.

Dopasowanie impedancji zespolonej

Przykład 1.

Korzystając z wykresu SMITHA dopasować impedancję zredukowaną z = 0.2 + j0.5 za pomocą bezstratnego układu dopasowującego typu Γ o stałych skupionych.

Impedancja zaznaczona jest na wykresie punktem A.

Do tej impedancji należy dodać impedancję o charakterze pojemnościowym i wartości takiej aby znaleźć się w punkcie A₁. Dodając reaktancję poruszamy się po kole o stałej rezystancji. Koło narysowane linią przerywaną jest przetransformowanym kołem jednostkowym admitancji - zbiór admitancji o części rzeczywistej równej 1.

Zredukowana impedancja w punkcie A₁ jest więc równa z₁ = 0.2 +j0.4

Należy więc dodać szeregowo impedancję o wartości x_C1 = -j0.1

Admitancja y₁ ma wartość y₂ = 1 - j2. Należy więc dodać równolegle susceptancję o wartości b₃ = 2j.

Na rysunku przedstawiony został schemat układu, który dopasowuje impedancję z_L

Dopasowanie dwóch impedancji rzeczywistych

Dopasowanie impedancji za pomocą toru schodkowego

Schemat układu przedstawia rys.

gdzie: Z₀ < Z₁ < Z₂ < Z_N < Z_L lub odwrotnie

, ..............

Założenia:

1. Wszystkie ogniwa mają taką samą długość θ = βl

2. Rozważany transformator jest układem o symetrycznym rozłożeniu współczynników odbicia, tzn.: Γ₀ = Γ_N , Γ₁ = Γ_N-1 , Γ₂ = Γ_N-2

3. Pomija się wielokrotne odbicia fal powracających po pierwszych odbiciach (tzn. poszczególne współczynniki odbicia są małe)

Wówczas z założeń (1) i (3) otrzymuje się wyrażenie na współczynnik odbicia na wejściu układu:

(1)

a korzystając z założenia (2) otrzymuje się:

(2)

(3)

ostatni wyraz w wyrażeniu (3) jest równy:

jeżeli N jest nieparzyste lub jeżeli N jest parzyste

Impedancje Z_n dobiera się w ten sposób aby moduł współczynnika na wejściu układu Γ= F(ω) spełniał określone warunki, np. żeby w paśmie pracy charakterystyka była maksymalnie płaska lub równomiernie falista.

Transformator impedancji o charakterystyce maksymalnie płaskiej

Rys.

Maksymalnie płaską charakterystykę można uzyskać jeżeli pierwszych (N - 1) pochodnych względem częstotliwości (lub θ) wyrażenia na Γ będzie równe zeru przy częstotliwości środkowej pasma f₀, przy której

Warunek ten będzie spełniony, jeżeli współczynnik odbicia będzie równy:

(4)

a jego moduł: (5)

Stałą A można wyznaczyć zakładając θ = 0 (fala nieskończenie długa). Wówczas współczynnik odbicia będzie uzależniony tylko od impedancji końcowych:

⇒ Z_L > Z₀

(6)

Podstawowe własności symbolu Newtona:

Porównując (1) i (6) otrzymuje się:

Jeżeli zrobi się założenie, że wartości Γ_n są małe oraz Γ_{θ = 0} również jest małe to można skorzystać z rozwinięcia funkcji ln x w szereg

np. dla x = 2

otrzymuje się:

Przykład 1

Dopasować za pomocą transformatora podwójnego impedancję 100Ω do impedancji 50Ω.

Pasmo pracy transformatora

Względną szerokość pasma pracy określamy jako zakres pracy transformatora, w którym moduł współczynnika odbicia nie przekracza zadanej wartości |Γ| ≤ |Γ_max| .

(7)

Przykład 2

Obliczyć szerokość pasma dla układu z poprzedniego przykładu, jeżeli maksymalny moduł współczynnika odbicia wynosi 0.05.

Pasmo

Transformator impedancji o charakterystyce równomiernie falistej (Czebyszewa)

Nazwa transformatora Czebyszewa pochodzi stąd, że moduł współczynnika odbicia w paśmie przepuszczania takiego transformatora zmienia się w/g wielomianu Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa

Wielomian stopnia n-tego zmiennej x

T_n(x) = 2 x T_n-1 (x) - T_n-2(x) (8)

T₀ (x) = 1

T₁ (x) = x

T₂ (x) = 2 x² - 1

T₃ (x) = 4 x³ - 3x

T₄ (x) = 8 x⁴ - 8 x² + 1

Dla |x| ≤ 1 , wartość wielomianu nie przekracza wartości ± 1 , natomiast gdy x → ∞ wartość wielomianu również dąży do nieskończoności

Jeżeli podstawi się x = cos θ, to okaże się, że T_n(cos θ) = cos (n θ). Wartość wielomianu T_n (cos θ) zmienia się w granicach ±1 gdy θ zmienia się od 0 do π.

Przy projektowaniu transformatora dąży się do utrzymania wielomianu w paśmie przepustowym w granicach 0 - 1 gdy θ zmienia się od θ₁ = θ_min do wartości θ₂ = θ_max.

Warunek ten będzie spełniony, gdy wykona się następujące podstawienie:

(9)

(10)

Gdy θ = 0 otrzymuje się (11)

Podstawiając A do wzoru (10) otrzymuje się:

(12)

Moduł współczynnika odbicia w paśmie pracy jest maksymalny dla T_N = 1(współczynnik A określa maksymalną wartość odbić).

(13)

dla cos θ = 1, po uwzględnieniu zależności (.13) ze wzoru (9) otrzymuje się:

(14)

Z zależności (14) można wyznaczyć szerokość pasma transformatora przy zadanym maksymalnym współczynniku odbicia oraz zadanej wartości N:

(15)

lub N przy zadanym maksymalnym współczynniku odbicia oraz zadanej szerokości pasma:

(16)

Przykład 3

Dopasować impedancję 100Ω do impedancji 50Ω za pomocą podwójnego transformatora Czebyszewa.

Maksymalny moduł współczynnika odbicia w paśmie Γ_max = 0.05.

T₂(sec θ_min cosθ) = 2 (sec θ_min cosθ)² - 1

T₂ osiąga max dla T₂ = 1

z zależności (13) oraz danych otrzymuje się

sec θ_min = 1.96, a θ_min = 59.3^o

z zależności (10) otrzymuje się:

Γ= 2Γ₀cos 2θ + Γ₁ = Γ_max sec² θ_min cos 2θ + Γ_max (sec² θ_min -1)

Γ₀ = 0.5 sec² θ_min Γ_max = Γ₂ = 0.096

Γ₁ = Γ_max (sec² θ_min -1) = 0.142

Szerokość pasma dla tego układu wynosi 0.675

Uwaga! Należy pamiętać, że jeżeli N jest parzyste to ostatni wyraz w nawiasie kwadratowym jest równy

Przykład 4

Dopasować impedancję z poprzedniego przykładu w tym samym paśmie częstotliwości za pomocą trójsekcyjnego transformatora Czebyszewa.

Ponieważ pasmo jest takie samo jak w poprzednim przykładzie , więc sec θ_min = 1.96

T₃(sec θ_min cosθ) = sec θ_min cosθ(4 sec² θ_min cos²θ - 3)

T₃(secθ_min) = 24.24

ze wzoru (13) obliczamy Γ_max = 0.0138

Wielomian Czebyszewa możemy przedstawić :

T₃(sec θ_min cosθ) = sec³ θ_min cos3θ + 3 sec θ_min (sec² θ_min - 1)cosθ

z zależności (10) po podstawieniu danych ,otrzymujemy:

2 Γ₀ cos3θ + 2 Γ₁ cosθ = 0.104 cos 3θ +0.231 cosθ

Γ₀ = Γ₃ = 0.052 Γ₁ = Γ₂ = 0.115

Uwaga! Przydatny może być wzór:

Jeżeli n - parzyste ostatni wyraz jest równy

Jeżeli n - nieparzyste

DODATEK 2.1

Analiza dokładna transformatora Czebyszewa

Analiza dokładna transformatora polega na analizie np. funkcji tłumienia mocy, która jest zdefiniowana następująco ( wprowadza się ozn. ρ =Γ, P_i - moc padająca )

Funkcja tłumienia mocy (15)

|T|² = 1 - ρ² T - współczynnik transmisji

Chcemy, żeby współczynnik stratności mocy zmieniał się w/g zależności:

(16)

k² - współczynnik tolerancji

θ_m. - kąt przy którym mamy największe założone odbicia

max P_LR = 1 + k²

Analiza układu dla dowolnego N jest uciążliwa, dlatego poniżej przedstawiona zostanie analiza transformatora dla N = 2 oraz 3

N = 2

P_LR = 1 + k² [2 (sec θ_m. cos θ)² - 1]²

P_LR = 1 dla θ = θ_z ⇒

P_LR = 1 + k² [(sec θ_z. cos θ)² - 1]² (17)

Z zależności (16) i .17) po podstawieniu θ = 0 i uwzględnieniu otrzymujemy

oraz (18)

Impedancje Z₁ i Z₂ obliczamy transformując impedancję obciążenia Z_L przez dwa odcinki linii o długości elektrycznej θ i impedancjach kolejno Z₂, Z₁ oraz wiedząc, że

1. dla częstotliwości środkowej moduł współczynnika odbicia osiąga maksimum

2. Γ(θ_z) = 0

Z drugiego warunku stosunkowo prosto otrzymujemy związek pomiędzy impedancjami Z₁ i Z₂

(19)

Natomiast z warunku (1) wyznaczamy Z₁.

(20)

Podstawiając, do (20) zależność (19) otrzymujemy:

N = 3

P_LR = 1 + k² sec² θ_m. cos² θ[4 (sec θ_m. cos θ)² - 3]²

P_LR = 0 gdy θ = 0.5 π , czyli dla częstotliwości środkowej oraz jeżeli jest spełniony warunek:

4 (sec θ_m. cos θ)² - 3=0 ⇒

Z zależności (15) i (16) po podstawieniu θ = 0 i uwzględnieniu otrzymujemy

oraz

Korzystając z warunków, że dla częstotliwości środkowej oraz θ_z moduł współczynnika jest równy zero możemy obliczyć impedancje transformatora.

Przykład 5

Wyznaczyć w sposób dokładny parametry obwodów dopasowujących z przykładu 3 i 4 oraz porównać wyniki:

N=2

dokładne przybliżone

Z₁ = 60.97Ω Z₁ = 60.62Ω

Z₂ = 82.01Ω Z₂ = 80.52Ω

N = 3

Z₁ = 55.73Ω Z₁ = 55.49Ω

Z₂ = 70.71Ω Z₂ = 69.90Ω

Z₃ = 89.72Ω Z₃ = 88.07Ω

Literatura:

1. Litwin R., Suski M. - Technika mikrofalowa - WNT W-wa 1972, rozdz. 3

2. Collin R.E. - Fundations for microwave engineering - McGrow-Hill Book Company ..... 1966, rozdz.5

3. J. Dobrowolski - Technika wielkich częstotliwości - Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa. 2001

Dopasowanie impedancji 2-2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.2

R

R

C

R

C

Θ

Γ_N

Γ₂

Γ₁

Γ_o

|Γ|_max

Θ₂

Θ₁

Θ

N=2

Z_L

Z_N

Z₃

Z₂

Z₁

Z_o

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

T0

T1

T2

T3

T4

Γ

N=4

N=1

0.25

0.15

0.1

0.05

0

N=3

C

L

R

L

R

z_L = 0.2 +j0.5

x₁ = -0.1

b₃ = 2

---