WykladMech 5i6


Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Momenty statyczne i środek ciężkości

Na rysunku 31 przedstawiono w prostokątnym układzie współrzędnych dowolny przekrój poprzeczny pręta, rozpatrywany jako figura płaska o polu A, opisanym wzorem całkowym;

0x08 graphic

(17)

0x01 graphic

Rysunek 31. Przekrój poprzeczny pręta - figura płaska

Momenty statyczne figury płaskiej względem osi x i y definiuje się następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic

(18)

Moment statyczny pola oblicza się w jednostkach długości do trzeciej potęgi, np. [m3].

Wzory 18 pozwalają na wyznaczenie położenia środka ciężkości pola rozpatrywanej figury.

0x08 graphic
0x08 graphic

(19)

Standardowe określenie „środek ciężkości” związane jest z rozkładem gęstości materiału, z którego wykonano figurę płaską.

W dalszej części omawiane będą układy o jednorodnym rozkładzie masy czego skutkiem jest równoznaczność środka ciężkości (masy) z geometrycznym środkiem przekroju.

Ze związku (19) wynika, że moment statyczny figury względem osi przechodzących przez jej środek ciężkości równa się zero. Osie takie nazywają się osiami centralnymi (środkowymi) pola. Momenty statyczne mogą przybierać zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Wynika to z położenia figury względem przyjętego układu współrzędnych.

Przykład

Wyznaczyć współrzędną yc środka ciężkości trójkąta z rysunku 32.

0x01 graphic

Rysunek 32. Trójkąt prostokątny - oznaczenia.

Przyjęto elementarne pole dA o długości c wysokości dy. Długość wyznaczamy z proporcji:

0x01 graphic

Zatem pole dA wynosi:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Podstawiając te wartość do pierwszego wzoru 18, obliczono moment statyczny trójkąta względem osi x

0x01 graphic

Dzieląc powyższą wartość (zgodnie ze wzorem 19) przez pole 0x01 graphic
, otrzymano:

0x01 graphic

Uzyskany wynik potwierdza fakt, że środek ciężkości trójkąta znajduje się w jednej trzeciej jego wysokości.

Obliczenia znacznie upraszają się w przypadku figur o symetrycznych kształtach.

Jeśli figura płaska ma, jedną oś symetrii to jej środek ciężkości leży na jej tej osi. Jeśli osie symetrii są dwie, to środek ciężkości figury znajduje się w punkcie ich przecięcia. Przykładowe przekroje przedstawia rysunek 33.

0x01 graphic

Rysunek 33. Położenie środka ciężkości figur symetrycznych i figury asymetrycznej.

0x08 graphic
Figura płaska będąca przekrojem elementu prętowego składa się często z kilku części, których pola powierzchni Ai i położenie środka ciężkości (xci, yci) są znane. Moment statyczny takiego przekroju względem dowolnie przyjętej osi równa się wtedy sumie momentów statycznych jego części składowych względem tej osi:

0x08 graphic

(20)

Położenie środka ciężkości całej figury określają współrzędne:

0x08 graphic

0x01 graphic
(21)

Zadanie

Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości figury przedstawionej na rysunku 34.

0x01 graphic

Rysunek 34. Figura złożona.

Widoczny na rysunku przekrój możemy przedstawić albo jako figurę złożoną z dwóch prostokątów i trójkąta (A1, A2, A3)1, albo jako prostokąt A4 pomniejszony o trójkąt A5.

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

Współrzędne środka ciężkości figury złożonej (A1, A2, A3) zostały wyznaczone ze wzorów 21:

0x08 graphic
0x08 graphic

Obliczenia są nieco prostsze, jeżeli współrzędne środka ciężkości zostaną obliczone dla prostokąta A4 pomniejszonego o trójkąt A5.

0x08 graphic
0x01 graphic

Momenty bezwładności figur płaskich

W analizie zginania konstrukcji prętowych bardzo ważną rolę odgrywają momenty bezwładności przekrojów poprzecznych elementów.

Decydują one o sztywności, a w konsekwencji o nośności konstrukcji.

Pojęcie bezwładności wyjaśnione zostanie na przykładzie zginania deski.

Można zauważyć, że deska łatwo się ugina , gdy obciążenie zostanie przyłożone prostopadle do jej największej płaszczyzny (rys. 35a). Takie samo obciążenie przyłożone do węższego boku (rys.35b), powoduje znacznie mniejsze ugięcie deski. Decyduje o tym moment bezwładności. Im jest on większy, tym mniejsze jest ugięcie belki, a jednocześnie większa nośność belki.

0x01 graphic

Rysunek 35. Zginanie deski

Definicja momentów bezwładności figury płaskiej
o równomiernym rozkładzie masy

W prostokątnym układzie współrzędnych (oznaczenia jak na rys. 31) momenty bezwładności względem osi x i y opisane są następującymi wzorami:

0x08 graphic
0x08 graphic

(22)

Z powyższymi wielkościami ściśle związany jest odśrodkowy moment bezwładności względem osi układu, zwany także momentem dewiacyjnym, określonym wzorem

0x08 graphic

(23)

Często jest także wykorzystywane, pojęcie promienia bezwładności:

0x08 graphic
0x08 graphic

(24)

W przypadku elementów konstrukcyjnych poddanych skręcaniu, podstawowe znaczenie ma moment bezwładności pola względem początku układu O, zwany biegunowym momentem bezwładności.

0x08 graphic

(25)

Gdzie przez r oznaczono odległość pola dA od początku układu O. (rys.31).

Można wykazać, że pomiędzy biegunowym momentem bezwładności względem punktu przecięcia się dwóch dowolnych osi a momentem bezwładności zachodzi zależność:

0x08 graphic

(25a)

Zadanie

Wyznaczyć momenty bezwładności prostokąta o wymiarach bxh względem osi współrzędnych x i y (rys.36)

0x01 graphic

Rysunek 36. Przekrój prostokątny

Obliczeń dokonano za pomocą całki podwójnej. Przyjęto elementarne pole dA w kształcie prostokąta o nieskończenie małych wymiarach dx i dy, a więc o polu równym dA=dxdy (rys.36).

Uwzględniając tę wielkość w wyrażeniach (22), wyznaczono następujące momenty bezwładności:

0x01 graphic

Moment odśrodkowy obliczymy ze wzoru (23)

0x01 graphic
0x01 graphic

Obliczanie przekrojów elementów często wymaga umiejętności wyznaczania momentów bezwładności w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle względem układu, którego początek pokrywa się ze środkiem ciężkości rozpatrywanej figury. Na rysunku 37 przedstawiono dowolną płaską figurę oraz dwa równoległe, prostokątne układy współrzędnych xy i ξη. Początek układu ξη pokrywa się ze środkiem ciężkości figury C.

0x01 graphic

Rysunek 37. Figura plaska z układem osi przesuniętych równolegle.

Między współrzędnymi obydwu układów zachodzą następujące zależności:

0x08 graphic
0x01 graphic
(26)

Podstawiając wzory (26) do pierwszej z zależności (22), otrzymano:

0x01 graphic

Należy zauważyć, że całka 0x01 graphic
gdyż określa ona moment statyczny względem osi ξ przechodzącej przez środek ciężkości figury, oraz że 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Moment bezwładności względem osi x można więc zapisać w następującej postaci:

0x08 graphic

(27)

Podobne związki można wyprowadzić dla momentów Jy Jxy. Zatem:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
(28)

Związki (27) i (28) znane są jako wzory Steinera.

Zadanie

Wyznaczyć momenty bezwładności dla prostokąta o boku b x h, względem osi przechodzących przez jego środek ciężkości (rys. 38).

0x01 graphic

Rysunek 38. Przekrój prostokątny

Momenty bezwładności prostokąta względem osi stycznych do jego boków obliczono w zadaniu powyżej. Zgodnie z rysunkiem 38 współrzędne środka ciężkości prostokąta yc=h/2, xc=b/2. Podstawiając poszczególne wartości do wzorów Steinera (27) i (28), otrzymano:

0x01 graphic
(29)

W elementach prętowych o przekroju złożonym z kilku figur, momenty bezwładności względem osi, momenty biegunowe oraz momenty dewiacyjne równają się sumie odpowiednich momentów bezwładności poszczególnych części składowych tego przekroju:

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Zadanie

Wyznaczyć momenty bezwładności względem osi symetrii pręta o przekroju dwuteowym (rys. 39a) o wymiarach: h=10cm, h1=6cm, b=8cm, b1=3cm, d=t=2cm.

0x01 graphic

Rysunek 39. Przekrój dwuteowy - oznaczenia

Wykonując obliczenia momentu bezwładności względem osi y, dwuteownik można zastąpić figurą złożoną z dwóch prostokątów o wymiarach b x t i jednego prostokąta o wymiarze h1 x d (rys.39b).

0x01 graphic

Aby obliczyć moment bezwładności względem osi x, dwuteownik zastąpiono prostokątem o wymiarach b x h, z którego wycięto dwa prostokąty b1 x h1 (rys.39c).

0x01 graphic

Zadanie

Wyznaczyć momenty bezwładności figury w kształcie teownika względem układu współrzędnych przechodzących przez środek ciężkości przekroju (rys.40).

Przyjęto układ współrzędnych (x,y), zgodnie z rysunkiem 40. W takim układzie oś y pokrywa się z osią symetrii przekroju. Można więc bez obliczeń określić, że odcięta jego środka ciężkości xc=0.

W celu obliczenia współrzędnej yc teownik na dwa prostokąty. Ich pola i lokalizacja środków ciężkości są znane (yc1=3, yc2=15), zatem rzędną położenia środka ciężkości teownika wyznaczono jak dla figury złożonej wg wzoru (21)

0x01 graphic

Rysunek. 40.Przekrój teowy

0x01 graphic

W celu obliczenia momentu bezwładności względem osi x zastosowano wzór Steinera (27) oraz skorzystano z wyrażenia określającego moment bezwładności prostokąta względem osi przechodzącej przez jego środek ciężkości (29). Stąd

0x01 graphic

Moment bezwładności względem osi y obliczono analogicznie jak w przykładzie powyżej:

0x01 graphic

Zadanie

Wyznaczyć moment bezwładności koła względem osi x (rys.41).

0x01 graphic

Rysunek 41. Przekrój kołowy

Momenty bezwładności względem osi x i y są jednakowe, możemy zatem skorzystać z zależności (25a)

0x08 graphic

W celu wyznaczania momentu biegunowego, podzielono koło na elementarne pola dA=ρdφdρ (rys.41). Korzystając ze wzoru (25), otrzymano:

0x01 graphic

Zatem moment bezwładności koła względem dowolnej osi przechodzącej przez jego środek oblicza się ze wzoru

0x01 graphic
0x01 graphic

36

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Napęd Elektryczny wykład
wykład5
Psychologia wykład 1 Stres i radzenie sobie z nim zjazd B
Wykład 04
geriatria p pokarmowy wyklad materialy
ostre stany w alergologii wyklad 2003
WYKŁAD VII
Wykład 1, WPŁYW ŻYWIENIA NA ZDROWIE W RÓŻNYCH ETAPACH ŻYCIA CZŁOWIEKA
Zaburzenia nerwicowe wyklad
Szkol Wykład do Or
Strategie marketingowe prezentacje wykład
Wykład 6 2009 Użytkowanie obiektu
wyklad2
wykład 3
wyklad1 4

więcej podobnych podstron