Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Momenty statyczne i środek ciężkości
Na rysunku 31 przedstawiono w prostokątnym układzie współrzędnych dowolny przekrój poprzeczny pręta, rozpatrywany jako figura płaska o polu A, opisanym wzorem całkowym;
(17)
Rysunek 31. Przekrój poprzeczny pręta - figura płaska
Momenty statyczne figury płaskiej względem osi x i y definiuje się następująco:
(18)
Moment statyczny pola oblicza się w jednostkach długości do trzeciej potęgi, np. [m3].
Wzory 18 pozwalają na wyznaczenie położenia środka ciężkości pola rozpatrywanej figury.
(19)
Standardowe określenie „środek ciężkości” związane jest z rozkładem gęstości materiału, z którego wykonano figurę płaską.
W dalszej części omawiane będą układy o jednorodnym rozkładzie masy czego skutkiem jest równoznaczność środka ciężkości (masy) z geometrycznym środkiem przekroju.
Ze związku (19) wynika, że moment statyczny figury względem osi przechodzących przez jej środek ciężkości równa się zero. Osie takie nazywają się osiami centralnymi (środkowymi) pola. Momenty statyczne mogą przybierać zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Wynika to z położenia figury względem przyjętego układu współrzędnych.
Przykład
Wyznaczyć współrzędną yc środka ciężkości trójkąta z rysunku 32.
Rysunek 32. Trójkąt prostokątny - oznaczenia.
Przyjęto elementarne pole dA o długości c wysokości dy. Długość wyznaczamy z proporcji:
Zatem pole dA wynosi:
Podstawiając te wartość do pierwszego wzoru 18, obliczono moment statyczny trójkąta względem osi x
Dzieląc powyższą wartość (zgodnie ze wzorem 19) przez pole
, otrzymano:
Uzyskany wynik potwierdza fakt, że środek ciężkości trójkąta znajduje się w jednej trzeciej jego wysokości.
Obliczenia znacznie upraszają się w przypadku figur o symetrycznych kształtach.
Jeśli figura płaska ma, jedną oś symetrii to jej środek ciężkości leży na jej tej osi. Jeśli osie symetrii są dwie, to środek ciężkości figury znajduje się w punkcie ich przecięcia. Przykładowe przekroje przedstawia rysunek 33.
Rysunek 33. Położenie środka ciężkości figur symetrycznych i figury asymetrycznej.
Figura płaska będąca przekrojem elementu prętowego składa się często z kilku części, których pola powierzchni Ai i położenie środka ciężkości (xci, yci) są znane. Moment statyczny takiego przekroju względem dowolnie przyjętej osi równa się wtedy sumie momentów statycznych jego części składowych względem tej osi:
(20)
Położenie środka ciężkości całej figury określają współrzędne:
(21)
Zadanie
Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości figury przedstawionej na rysunku 34.
Rysunek 34. Figura złożona.
Widoczny na rysunku przekrój możemy przedstawić albo jako figurę złożoną z dwóch prostokątów i trójkąta (A1, A2, A3)1, albo jako prostokąt A4 pomniejszony o trójkąt A5.
Współrzędne środka ciężkości figury złożonej (A1, A2, A3) zostały wyznaczone ze wzorów 21:
Obliczenia są nieco prostsze, jeżeli współrzędne środka ciężkości zostaną obliczone dla prostokąta A4 pomniejszonego o trójkąt A5.
Momenty bezwładności figur płaskich
W analizie zginania konstrukcji prętowych bardzo ważną rolę odgrywają momenty bezwładności przekrojów poprzecznych elementów.
Decydują one o sztywności, a w konsekwencji o nośności konstrukcji.
Pojęcie bezwładności wyjaśnione zostanie na przykładzie zginania deski.
Można zauważyć, że deska łatwo się ugina , gdy obciążenie zostanie przyłożone prostopadle do jej największej płaszczyzny (rys. 35a). Takie samo obciążenie przyłożone do węższego boku (rys.35b), powoduje znacznie mniejsze ugięcie deski. Decyduje o tym moment bezwładności. Im jest on większy, tym mniejsze jest ugięcie belki, a jednocześnie większa nośność belki.
Rysunek 35. Zginanie deski
Definicja momentów bezwładności figury płaskiej
o równomiernym rozkładzie masy
W prostokątnym układzie współrzędnych (oznaczenia jak na rys. 31) momenty bezwładności względem osi x i y opisane są następującymi wzorami:
(22)
Z powyższymi wielkościami ściśle związany jest odśrodkowy moment bezwładności względem osi układu, zwany także momentem dewiacyjnym, określonym wzorem
(23)
Często jest także wykorzystywane, pojęcie promienia bezwładności:
(24)
W przypadku elementów konstrukcyjnych poddanych skręcaniu, podstawowe znaczenie ma moment bezwładności pola względem początku układu O, zwany biegunowym momentem bezwładności.
(25)
Gdzie przez r oznaczono odległość pola dA od początku układu O. (rys.31).
Można wykazać, że pomiędzy biegunowym momentem bezwładności względem punktu przecięcia się dwóch dowolnych osi a momentem bezwładności zachodzi zależność:
(25a)
Zadanie
Wyznaczyć momenty bezwładności prostokąta o wymiarach bxh względem osi współrzędnych x i y (rys.36)
Rysunek 36. Przekrój prostokątny
Obliczeń dokonano za pomocą całki podwójnej. Przyjęto elementarne pole dA w kształcie prostokąta o nieskończenie małych wymiarach dx i dy, a więc o polu równym dA=dxdy (rys.36).
Uwzględniając tę wielkość w wyrażeniach (22), wyznaczono następujące momenty bezwładności:
Moment odśrodkowy obliczymy ze wzoru (23)
Obliczanie przekrojów elementów często wymaga umiejętności wyznaczania momentów bezwładności w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle względem układu, którego początek pokrywa się ze środkiem ciężkości rozpatrywanej figury. Na rysunku 37 przedstawiono dowolną płaską figurę oraz dwa równoległe, prostokątne układy współrzędnych xy i ξη. Początek układu ξη pokrywa się ze środkiem ciężkości figury C.
Rysunek 37. Figura plaska z układem osi przesuniętych równolegle.
Między współrzędnymi obydwu układów zachodzą następujące zależności:
(26)
Podstawiając wzory (26) do pierwszej z zależności (22), otrzymano:
Należy zauważyć, że całka
gdyż określa ona moment statyczny względem osi ξ przechodzącej przez środek ciężkości figury, oraz że
i
. Moment bezwładności względem osi x można więc zapisać w następującej postaci:
(27)
Podobne związki można wyprowadzić dla momentów Jy Jxy. Zatem:
,
(28)
Związki (27) i (28) znane są jako wzory Steinera.
Zadanie
Wyznaczyć momenty bezwładności dla prostokąta o boku b x h, względem osi przechodzących przez jego środek ciężkości (rys. 38).
Rysunek 38. Przekrój prostokątny
Momenty bezwładności prostokąta względem osi stycznych do jego boków obliczono w zadaniu powyżej. Zgodnie z rysunkiem 38 współrzędne środka ciężkości prostokąta yc=h/2, xc=b/2. Podstawiając poszczególne wartości do wzorów Steinera (27) i (28), otrzymano:
(29)
W elementach prętowych o przekroju złożonym z kilku figur, momenty bezwładności względem osi, momenty biegunowe oraz momenty dewiacyjne równają się sumie odpowiednich momentów bezwładności poszczególnych części składowych tego przekroju:
Zadanie
Wyznaczyć momenty bezwładności względem osi symetrii pręta o przekroju dwuteowym (rys. 39a) o wymiarach: h=10cm, h1=6cm, b=8cm, b1=3cm, d=t=2cm.
Rysunek 39. Przekrój dwuteowy - oznaczenia
Wykonując obliczenia momentu bezwładności względem osi y, dwuteownik można zastąpić figurą złożoną z dwóch prostokątów o wymiarach b x t i jednego prostokąta o wymiarze h1 x d (rys.39b).
Aby obliczyć moment bezwładności względem osi x, dwuteownik zastąpiono prostokątem o wymiarach b x h, z którego wycięto dwa prostokąty b1 x h1 (rys.39c).
Zadanie
Wyznaczyć momenty bezwładności figury w kształcie teownika względem układu współrzędnych przechodzących przez środek ciężkości przekroju (rys.40).
Przyjęto układ współrzędnych (x,y), zgodnie z rysunkiem 40. W takim układzie oś y pokrywa się z osią symetrii przekroju. Można więc bez obliczeń określić, że odcięta jego środka ciężkości xc=0.
W celu obliczenia współrzędnej yc teownik na dwa prostokąty. Ich pola i lokalizacja środków ciężkości są znane (yc1=3, yc2=15), zatem rzędną położenia środka ciężkości teownika wyznaczono jak dla figury złożonej wg wzoru (21)
Rysunek. 40.Przekrój teowy
W celu obliczenia momentu bezwładności względem osi x zastosowano wzór Steinera (27) oraz skorzystano z wyrażenia określającego moment bezwładności prostokąta względem osi przechodzącej przez jego środek ciężkości (29). Stąd
Moment bezwładności względem osi y obliczono analogicznie jak w przykładzie powyżej:
Zadanie
Wyznaczyć moment bezwładności koła względem osi x (rys.41).
Rysunek 41. Przekrój kołowy
Momenty bezwładności względem osi x i y są jednakowe, możemy zatem skorzystać z zależności (25a)
W celu wyznaczania momentu biegunowego, podzielono koło na elementarne pola dA=ρdφdρ (rys.41). Korzystając ze wzoru (25), otrzymano:
Zatem moment bezwładności koła względem dowolnej osi przechodzącej przez jego środek oblicza się ze wzoru
36