Instytut Techniki Cieplnej i Mechaniki Płynów Politechnika Wrocławska   Ćwiczenie nr : 1.13 Badania i opracowanie wykonali : 1. Rafał Broszkiewicz 2. Przemysław Jóźkowicz 3. Paweł Sieradzy 4. Artur Stawniczy Wydział : M - E Rok studiów : IV Data ćwiczenia : 6.11.2000 Prowadzący : J. Lichota Data oddania spraw. : 13.11.2000 Ocena : Poprawa :

1. Zadania do wykonania : Zadanie 1. Znaleźć odpowiedzi skokowe następujących członów: a) inercyjny I-ego rzędu (G1): k = 1, T = 5 s k = 2. T = 5 s k = 1, T = 10 s b) całkujący (G2): T = 5 s T = 10 s c) opóźniający (G3): To = 5 s To = 10 s d) proporcjonalny (G4): k = 1 k = 2 Zadanie 2. Znaleźć odpowiedzi skokowe następujących połączeń: a) b) c) d) e) f) Podpis prowadzącego:

2. WSTĘP TEORETYCZNY

CZŁONY ELEMENTARNE

Człony elementarne - są to niepodzielne elementy obiektów sterowania. Człony elementarne dzielimy na:

• proporcjonalne

• inercyjne

• całkujące

• oscylacyjne

• opóźniające

• różniczkujące:

• rzeczywiste

• idealne

Człon proporcjonalny

Transmitancja członu proporcjonalnego wyraża się wzorem (wzór 1.1):

G(s) = k (1.1)

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia

Równanie różniczkowe ma postać (wzór 1.2)

(1.2)

Charakterystyka skokowa ma wzór (wzór 1.3):

(1.3)

y(t)

k y(t)

1 u(t)

t

Człon inercyjny

Transmitancja członu inercyjnego wyraża się wzorem (wzór 1.4):

(1.4)

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

Równanie różniczkowe (wzór 1.5):

(1.5)

Charakterystyka skokowa ma postać (wzór 1.6):

(1.6)

y(t)

k k - określa wartość sygnału wyjściowego

T₁ w stanie równowagi

T₂

T₃

t

T₃ > T₂ > T₁

Graficzna definicja (postać) stałej czasowej

y(t) styczna w punkcie ‚0'

k

t

t	Y(t)
T	63 %
3T	95 %
5T	99 %

Człon całkujący

Transmitancja członu całkującego wyraża się wzorem(wzór 1.7):

(1.7)

gdzie: T - stała czasowa

k - współczynnik wzmocnienia k = 1/T

Równanie różniczkowe ma postać (wzór 1.8):

(1.8)

Charakterystyka skokowa ma postać (wzór 1.9):

(1.9)

y(t)

arc

t

Człon różniczkujący

Transmitancja członu różniczkującego wyraża się wzorem (2.0):

(2.0)

Równanie różniczkowe ma postać (wzór2.1):

(2.1)

Charakterystyka skokowa ma postać (wzór 2.2):

(2.2)

y(t)

1

t

Człon oscylacyjny

Transmitancja tego członu wyraża się wzorem (wzór 2.3):

(2.3)

gdzie: ζ - współczynnik tłumienia (ksi); ma zawsze wartość dodatnią;

T - stała czasowa;

k - współczynnik wzmocnienia;

Równanie różniczkowe ma postać (wzór 2.4):

(2.4)

Charakterystyki skokowe członu oscylacyjnego wylicza się ze wzoru (wzór 2.5):

(2.5)

y(t)

ζ = 0 ζ = 0,5

k

ζ >1

t

Człon opóźniający

Transmitancja członu opóźniającego wyraża się wzorem (wzór 2.6):

(2.6)

gdzie: T_O - czas opóźnienia

Równanie różniczkowe ma postać (wzór 2.7):

(2.7)

Charakterystyka skokowa ma wzór (wzór 2.8):

(2.8)

y(t)

1

3. REALIZACJA ZADAŃ

Zadanie numer 1- a - realizacja zadania polegała na znalezieniu odpowiedzi skokowej członu inercyjnego I-ego rzędu posługując się programem TUTSIM. Dane były trzy nastawy:

1. k = 1 i T = 5 s

2. k = 2 i T = 5 s

3. k = 1 i T = 5 s

Zmiany współczynnika wzmocnienia oraz stałej czasowej powodowały zmiany odpowiedzi skokowej. Poniższy wykres (rys.1) przedstawia graficznie sposób w jaki te dwa elementy wpływają na odpowiedź członu inercyjnego I-ego rzędu.

RYS.1. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla członu inercyjnego I-ego rzędu.

Jak widać zwiększając stałą czasową T, przy niezmiennym współczynniku wzmocnienia k, można opóźnić na wyjściu osiągnięcie wartości sygnału wyjściowego k w stanie równowagi. Natomiast zmiana współczynnika wzmocnienia k, przy niezmienionej stałej czasowej T, powoduje, iż na początku sygnał wyjściowy narasta bardziej zdecydowanie, lecz wartość k osiąga miej więcej w tym samym czasie. Dokładne porównanie jest niemożliwe, ponieważ jakość wydruku charakterystyki jest niska.

Zadanie numer 1- b - realizacja zadania polegała na znalezieniu odpowiedzi skokowej członu całkującego posługując się programem TUTSIM. Były dane dwa nastawy:

1. T = 5 s

2. T = 10 s

Opis odpowiedzi członu całkującego nie wymaga dużych wyjaśnień. Wykres poniżej (rys.2) przedstawia odpowiedź członu całkującego na zadane w zadaniu wartości. Odpowiedzi są funkcjami liniowymi , w których kąt nachylenia do osi czasu zależ jedynie od stałej czasowej T.(wzór 2.9).

(2.9)

RYS.2. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla członu całkującego.

Im stała czasowa jest mniejsza, tym szybciej rośnie wartość sygnału wyjściowego z członu całkującego.

Zadanie numer 1-c - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej członu opóźniającego posługując się programem TUTSIM. Były dane dwa nastawy:

1. T_o = 5 s

2. T_o = 10 s

Podobnie jak dla członu całkującego, odpowiedź skokowa członu opóźniającego nie wymaga większych wyjaśnień. Wykres poniżej (rys. 3) przedstawia w graficzny sposób jak wpływa zmiana czasu opóźnienia T_o na reakcję członu. Wzrost czasu opóźnienia To powoduje proporcjonalnie wzrost opóźnienia odpowiedzi skokowej członu opóźniającego o wartość T_o.

RYS.3. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla członu opóźniającego.

Zadanie numer 1-d - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej członu proporcjonalnego posługując się programem TUTSIM. Były dane dwa nastawy:

1. k = 1

2. k = 2

Odpowiedzią skokową członu proporcjonalnego jest wzmocnienie sygnału wyjściowego jakim jest skok jednostkowy o współczynnik wzmocnienia k. Wykres poniżej (rys.4) przedstawia przebiegi odpowiedzi skokowych członu proporcjonalnego dla zadanych wartości współczynnika wzmocnienia.

RYS.4. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla proporcjonalnego.

Zadanie numer 2-a - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej połączeń dwóch członów inercyjnych za posługując się programem TUTSIM. Oba człony inercyjne

I-ego rzędu miały współczynniki wzmocnienia k = 1 oraz stałe czasowe T = 5 s. Transmitancję połączenia szeregowego dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu przedstawia wzór poniżej (wzór 3,0).Charakterystykę skokową tego złożenia przedstawia następny wzór (wzór 3.1).

(3.0)

(3.1)

Wykres poniżej przedstawia graficzną interpretację szeregowego połączenia dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu (rys 5).

RYS.5. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla szeregowego połączenia dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu.

Zaznaczony na wykresie punkt T_p nazywamy punktem przegięcia. Wartość czasu dla jakiego występuje punkt przegięcia można wyliczyć różniczkując charakterystykę skokową złożenia tych dwóch członów. Poniższe przekształcenia przedstawiają sposób wyznaczenia T_p

(wzory 3.2).

(3.2)

Ostateczną postać wzoru na T_p przedstawia wzór (3.3):

(3.3)

Zadanie numer 2-b - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej połączenia równoległego dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu za pomocą programu TUTSIM. Oba człony inercyjne miały współczynnik wzmocnienia k = 1 oraz stałą czasowa

T = 5 s.

Graficzna postać odpowiedzi skokowej połączenia równoległego dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu przedstawia wykres poniższy (rys. 6).

RYS.6. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla równoległego połączenia dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu.

Patrząc na wykres otrzymany w zadaniu nasuwa się myśl, iż na przebieg charakterystyki skokowej połączenia równoległego ma głównie wpływ zsumowanie współczynników wzmocnień k. Stałe czasowe mają mniejszy wpływ na przebieg charakterystyki.

W porównaniu do połączenia szeregowego tych że członów przebieg ma charakterystyki jest bardziej stromy co oznacza, że układ równoległy szybciej dąży do osiągnięcia wartości k.

Zadanie numer 2-c - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej połączenia ze sprzężeniem zwrotnym dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu za pomocą programu TUTSIM. Oba człony inercyjne miały współczynnik wzmocnienia k = 1 oraz stałą czasowa T = 5 s.

Graficzna postać odpowiedzi skokowej połączenia ze sprzężeniem zwrotnym dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu przedstawia wykres poniższy (rys. 7).

RYS.7. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla połączenia ze sprzężeniem zwrotnym dwóch członów inercyjnych I-ego rzędu.

Zadanie numer 2-d - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej połączenia dwóch członów: inercyjnych I-ego rzędu oraz członu opóźniającego za pomocą programu TUTSIM. Człon inercyjny miały współczynnik wzmocnienia k = 1 oraz stałą czasowa T = 5 s, natomiast człon opóźniający miał opóźnienie T_o = 10 s. Transmitancja takiego połączenia opisana jest wzorem poniżej (wzór 3.4).

(3.4)

Funkcja opisująca przebieg odpowiedzi skokowej połączenia danego w zadaniu wyraz się wzorem, który umieszczam poniżej (wzór 3.5).

(3.5)

Graficzna postać odpowiedzi skokowej połączenia dwóch członów: inercyjnego I-ego rzędu oraz opóźniającego przedstawia wykres poniższy (rys. 8).

RYS.8. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla połączenia dwóch członów: inercyjnych I-ego rzędu oraz opóźniającego.

Jak wynika z wykresu odpowiedzią skokową połączenia członu inercyjnego i opóźniającego jest sygnał o przebiegu inercyjnym opóźniony w czasie o czas T_o. Mówiąc `sygnał

o przebiegu inercyjnym' mam na myśli taki sam charakter wznoszenia się wykresu, czyli taki sam charakter narastania sygnału.

Zadanie numer 2-e - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej połączenia dwóch członów: członu opóźniającego oraz członu całkującego za pomocą programu TUTSIM. Człon całkujący miały zmienną czasową T = 5 s, natomiast człon opóźniający miał opóźnienie T_o = 10 s.

Postać graficzna odpowiedzi skokowej takiego połączenia członów jest narysowana na poniższym wykresie (rys.9).

RYS.9. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla połączenia dwóch członów: całkującego oraz opóźniającego.

Z powyższego wykresu wynika, iż połączenie szeregowe członów całującego i opóźniającego daje nam opóźnienie sygnału z członu całkującego o wartość T_o. Jak również widać przebieg narastania sygnału wyjściowego ma krótki czas..

Zadanie numer 2-f - realizacja zadania polega na znalezieniu odpowiedzi skokowej połączenia ze sprzężeniem zwrotnym dwóch członów całkujących za pomocą programu TUTSIM. Człony całkujące miały zmienną czasową T = 5 s.

Postać graficzna odpowiedzi skokowej takiego połączenia członów jest narysowana na poniższym wykresie (rys.10).

RYS.10. Wykres zależności narastania sygnału wyjściowego od czasu dla połączenia ze sprzężeniem zwrotnym dwóch członów całkujących.

Z powyższego wykresu wynika, iż łącząc dwa człony całkujące w układ ze sprzężeniem zwrotnym otrzymamy sygnał wyjściowy będący oscylacją, której pełny okres będzie się równał stałej czasowej członów pomnożonej raz dwa. Wynika również, iż sygnał narasta

w bardzo szybki sposób, o czym świadczą ostre łuki sinusoidy.

4.WNIOSKI

Podstawowe człony dynamiczne umożliwiają w automatyce dowolne modelowanie sygnału wyjściowego. Sygnał wyjściowy może się zmieniać w zależności od zadanych parametrów dla członu. Przykłady przebiegów odpowiedzi skokowych dla różnych parametrów przedstawione zostały podczas realizacji zadania numer 1. W podpunkcie a zadania numer 1 widać bardzo dobrze na wykresie jak wpływają zmiany współczynnika wzmocnienia k oraz stałej czasowej T na przebieg odpowiedzi skokowej.

Bardzo dużą zaletą podstawowych członów dynamicznych jest możliwość dowolnego konfigurowania połączeń poszczególnych członów ze sobą. Zadanie numer 2 przedstawia właśnie kilka takich połączeń. Jak widać z wykresów przebiegów sygnałów wyjściowych z danych układów umożliwiają one jeszcze szersze możliwości uzyskania interesującego nas przebiegu odpowiedzi skokowej. Najciekawszym przykładem realizowanym podczas ćwiczeń było uzyskanie odpowiedzi skokowej w postaci funkcji sinusoidalnej w podpunkcie F zadania numer 2. Uważam ten podpunkt za najbardziej ciekawy dlatego, że odpowiedź skokowa sprzężenia zwrotnego dwóch członów całkujących w niczym nie przypomina odpowiedzi skokowej jednego członu całkującego.

PODSTAWY AUTOMATYKI -20- LABORATORIUM

Nr grupy :

B

G₁

G₁

x

y

k = 1

T = 5

k = 1

T = 5

G₁

G₁

x

T = 5, k = 1

T = 5, k = 1

y

+

+

G₁

G₁

x

y

-

T = 5, k = 1

T = 5, k = 1

G₁

G₃

x

y

k = 1

T = 5

T_o = 10

G₂

G₃

x

y

T = 5

T_o = 10

G₂

G₂

x

y

-

2,0000

1,8000

1,6000

1,4000

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

30,0000

Czas [s]

- k = 2, T = 5 s

- k = 1, T = 10 s

- k = 1, T = 5 s

LEGENDA:

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

LEGENDA:

1,4000

- T = 10 s

1,6000

- T = 5 s

1,8000

2,0000

LEGENDA:

Czas [s]

30,0000

2,0000

1,8000

- T_o = 5 s

1,6000

- T_o = 10 s

1,4000

LEGENDA:

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

czas

30,0000

2,0000

1,8000

- k = 1

1,6000

- k = 2

1,4000

LEGENDA:

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

Czas [s]

30,0000

2,0000

1,8000

- G₁(s)⋅G₁(s)

1,6000

LEGENDA:

1,4000

T_p

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

Czas [s]

30,0000

2,0000

1,8000

- G₁(s)+G₁(s)

1,6000

1,4000

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

T_p

Czas [s]

30,0000

LEGENDA:

2,0000

1,8000

-

1,6000

1,4000

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

T_p

Czas [s]

30,0000

LEGENDA:

2,0000

1,8000

- G₁(s)⋅G₃(s)

1,6000

1,4000

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

T_p

Czas [s]

30,0000

LEGENDA:

2,0000

1,8000

- G₂(s)⋅G₃(s)

1,6000

1,4000

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

T_p

Czas [s]

30,0000

LEGENDA:

2,0000

1,8000

-

1,6000

1,4000

1,2000

1,0000

0,8000

0,6000

0,4000

0,2000

0,0000

T_p

Czas [s]

30,0000

α

---