1.Wyjaśnić pojęcia: system, model, modelowanie, symulacja.

SYSTEM jest to składająca się z elementów funkcjonalna całość, wyodrębniona z otoczenia, na którą otoczenie wpływa za pośrednictwem wielkości wejściowych i która oddziałuje na otoczenie za pośrednictwem wielkości wyjściowych.

MODEL jest to twór sztuczny, pod pewnymi względami podobny do badanego systemu, wyrażający jego istotne z punktu widzenia badacza cechy. Model jest przeznaczony do poznania systemu.

MODELOWANIE to ogół działań zmierzających do zbudowania modelu odzwierciedlającego istotne procesy badanego systemu (technika analizy systemów bazująca na modelach)

SYMULACJA to realizacja praktyczna techniki badania systemu rzeczywistego na podstawie modelu matematycznego przy użyciu komputera wyposażonego w specjalny program zwany programem symulacyjnym.

2.Wymień i omów fazy symulacji komputerowej.

A) Konstruowanie modelu:

-określenie celów modelowania

-wybór kategorii modelu

-określenie struktury modelu

-sprawdzenie poprawności formalnej

B) Komputerowa realizacja modelu:

-przekształcenie układu równań w program komputerowy (symulacyjny)

-uruchomienie programu symulacyjnego (usuniecie błędów)

C) Weryfikacja Modelu: porównanie wyników modelowania z zachowaniem się systemu rzeczywistego, sprawdzenie poprawności heurystycznej (czy wyniki, które otrzymamy są bliskie tym, które chcieliśmy otrzymać) i pragmatycznej.

Kategorie poprawności pragmatycznej:

-replikatywna

-predykcyjna

-strukturalna

D) Eksperymenty na modelu:

- określenie programu badań

- przeprowadzenie eksperymentów

Opracowanie wyników (sprawozdanie)

3.Podać definicję modelu matematycznego. Do jakiej grupy modeli należą modele matematyczne?

MODEL MATEMATYCZNY-należy do grupy modeli abstrakcyjnych. Jest zbiorem reguł i zależności, na podstawie których można przewidzieć (w drodze obliczeń) zachowanie się układu.

4.Wymienić i omówić różne postaci modeli matematycznych.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE RZĘDU N -otrzymuje się je przez napisanie głównego równania równowagi w układzie i ustalenie zależności fizycznych zachodzących między elementami w funkcji jednej zmiennej niezależnej np. w układzie mechanicznym od położenia x. Aby rozwiązanie było jednoznaczne konieczna jest znajomość warunków początkowych.

UKŁAD N RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH RZĘDU 1-GO - otrzymuje się przez napisanie równań równowagi i ustalenie zależności między elementami w funkcji zmiennych stanu i ich pochodnych. ??

TRANSMITANCJA OPERATOROWA - jest to stosunek transformaty Laplace'a odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy znanych warunkach brzegowych

Transformata Laplace'a sygnału x(t) jest to funkcja X(s) dana wzorem:

transformata Laplace'a przekształca układ równań różniczkowych w układ równań liniowych

RÓWNANIE MACIERZOWE ZMIENNYCH STANU-w uproszczonym zapisie ma postać:

X'=Ax+Bu

Y= Cx+Du gdzie : x-wektor zmiennych stanu, u-wektor wymuszeń, x'-wektor pochodnych zmiennych stanu; A, B, C ,D-macierze. Łatwo otrzymuje się równanie macierzowe z układu równań różniczkowych rzędu pierwszego po zapisaniu zmiennych w odpowiedniej kolejności.

SCHEMAT BLOKOWY

5.Podać klasyfikacje modeli matematycznych. Wyjaśnić różnicę pomiędzy modelem liniowym a nieliniowym.

1.Ze względu na charakter modelowanego systemu: modele statyczne / dynamiczne

2.Ze względu na stosowalność zasady superpozycji modele liniowe / modele nieliniowe

3.Ze względu na charakter zmiennych;

modele deterministyczne / modele stochastyczne

4.Ze względu na zmienność parametrów modelu: modele stacjonarne / modele niestacjonarne

5.Ze względu na czynnik odniesienia:

modele ciągłe w czasie / modele dyskretne w czasie

6.Ze względu na wartość zmiennych:

modele ciągłe w stanie / modele dyskretne w stanie

7.Ze względu na liczbę zmiennych niezależnych modele o parametrach skupionych / rozłożonych

W modelu liniowym wielkość wyjściowa jest suma członów liniowych wielkości
wejściowych. W modelu nieliniowym zmienna wyjściowa nie jest superpozycją członów
liniowych wielkości wejściowych, a ich dowolną kombinacji

MODEL LINIOWY oparty na liniowej zależności badanych zjawisk. Stosunkowo łatwy do rozwiązania na drodze analitycznej. Pozwala na utworzenie modelu w postaci równań liniowych (algebraicznych albo różniczkowych). Możliwość wykonania podstawowych operacji algebraicznych (+ - * :)pozwala na wybór elementu zerowego przy wektorowym opisie wejścia, wyjście lub stanu systemu.

MODEL NIELINIOWY - występuje dość często ze względu na złożoność badanych systemów i niemożliwość zapisania zależności między nimi za pomocą funkcji liniowych, przy jednoczesnym zachowaniu wymaganej poprawności modelu. Niestety rozwiązanie takie jest trudne i dlatego stosuje się linearyzację tego modelu.

6.Na czym polega różnica między modelem

a) statycznym i dynamicznym

Model w którym wielkości są zmienne w czasie i zależne od ich wartości w poprzednich

chwilach czasu nazywamy dynamicznymi. W przeciwnym wypadku mamy model statyczny.

b) stochastycznym i deterministycznym

Model jest deterministyczny jeżeli znajomość wartości odpowiednich zmiennych w danej chwili pozwala określić ich wartość w chwili późniejszej lub też w pewnej chwili wcześniejszej

Modele stochastyczne opisują zjawiska procesy losowe inaczej funkcje losowe

c) * dynamiczne
Są to takie modele, w których czynnik czasu ma kluczowe znaczenie. Stan systemu zmienia się dzięki upływowi czasu symulacyjnego, właściwości i atrybuty systemu są zależne od wartości czasu symulacyjnego. Wynik jest zależny od czasu trwania symulacji. Przykładem mogą być wszelkiego rodzaju modele działania systemów obsługi, produkcji, transportu.
* statyczne
W tego rodzaju modelach czas nie wpływa na wynik, zegar symulacji nie jest potrzebny. Stan systemu nie jest zależny od czasu i atrybuty systemu nie zmieniają się wraz z czasem symulacji. Przykład takiego modelu to np. model gry w ruletkę, gdzie na wynik poszczególnych losowań nie wpływa czas.
* stochastyczne
W tego typu modelach duże znaczenie mają występujące w nim zmienne losowe, które kontrolują zachowaniem procesów czyli występowaniem danych zdarzeń. Pewne zdarzenia następują losowo -czyli nie istnieje jakiś schemat ich występowania. Ważnym elementem przy konstruowaniu takiego modelu jest dobór odpowiedniego generatora wartości losowych. Przykładem zmiennych losowych w modelu może być czas między przybywaniem klientów w systemie obsługi.
* deterministyczne
W tych modelach nie występują zmienne losowe, działanie modelu nie opiera się na losowych wystąpieniach pewnych zdarzeń. Cechy obiektów są zdefiniowane wcześniej lub obliczane na bieżąco wg zadanych wcześniej funkcji matematycznych. Przykładem takiego modelu może być model analizy finansowej w arkuszu kalkulacyjnym.

7.Omówić poszczególne etapy procesu tworzenia modelu matematycznego.

A) Wybór typu modelu: cyfrowy-analogowy, fizyczny-funkcjonalny itd.

B) określenie struktury modelu (typ zmiennych-przepływu, spadku ;postać równań)

Wybór kategorii modelu (liniowy-nieliniowy; stacjonarny -niestacjonarny itd.)

Wybór zmiennych istotnych dla danego procesu(spadku, przepływu)

Zmienna spadku - są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu - różnica potencjałów

Zmienna przepływu-są miarą wielkości fizycznej która przechodzi przez element układu - prąd przez rezystor

Sformułowanie równań opisujących badany proces (równanie równowagi, spójności)

Równanie równowagi-zależności wyrażające równowagę, która musi istnieć dla całego układu i wszystkich jego podukładów - prądy w węźle

Równanie spójności opisuje zależność między zmiennymi ze względu na strukturę połączeń elementów układu - napięcia w oczku

Napisanie zależności fizycznych zachodzących między poszczególnymi elementami układu (prądem- napięciami; siłą - przyspieszeniem)

C) wyznaczenie wartości parametrów modelu

D) sprawdzenie poprawności formalnej

Poprawność logiczna i metodologiczna

Poprawność przekształceń matematycznych

Istnienie rozwiązania

Jednoznaczność rozwiązania

Stopień uwarunkowania układu równań (wrażliwość na zmiany parametrów)

Dokładność cyfr znaczących

8.Jakie są typy zmiennych występujących w modelach matematycznych??

Deterministyczne i losowe, Ciągłe i dyskretne, Ostre i rozmyte

Zmienna spadku - są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu - różnica potencjałów

Zmienna przepływu - są miarą wielkości fizycznej, która przechodzi przez element układu - prąd przez rezystor

9. Zalety symulacji.
Nowe rozwiązania lub warianty technologiczne testowane są bez udziału obiektu przemysłowego

10. Metody modelowania dynamicznych układów ciągłych.
- metoda klasyczna
- metoda operatorowa
- zmiennych stanu
- energetyczna (równań Lagrange'a) - zastosowanie zasady Hamiltona

11. Metody rozwiązywania równań modelu matematycznego:

- metoda klasyczna, metoda operatorowa

- zmiennych stanu, energetyczna (równań Lagrange'a) - zastosowanie zasady Hamiltona

12. Omówić metodę zmiennych stanu. Podać definicje wektora zmiennych stanu.

Metoda zmiennych stanu polega na opisaniu modelu za pomocą zmiennych stanu czyli takich parametrów, które opisują pewną własność charakterystyczną dla wydzielonego elementu systemu. Metoda ta jest stosowana w przypadku układów liniowych. Stan chwilowy obiektu liniowego opisuja rownania zmiennych stanu:

wektor zmiennych stanu (sygnałow wewnętrznych), wektor pochodnych zmiennych stanu, wektor zmiennych wyjściowych (sygnałów odpwiedzi)

wektor wymuszeń (sygnałów źrodłowych )

A,B,C,D - macierze o stałych współczynnikach.

Wektor zmiennych stanu - najmniejszy liczebnie zbiór zmiennych stanu, taki że jeśli znany jest stan w chwili t0 tzn. wektor x(t0) oraz przebiegi czasowe wielkości wejsciowych u(t) i z(t) w przedziale <t0,t> to można wyznaczyc przebiegi czasowe wszystkich zmiennych stanu i zmiennych wyjsciowych w tym przedziale.

14. Na czym polega metoda operatorowa modelowania układów ciągłych i jakie są ograniczenia w jej stosowaniu?

Transformatą Laplace'a sygnału x(t) jest fukcja X(s) dana wzorem

X(s) = całka(od 0 do nieskończoności) x(t)*e<-st>*dt

Transmitacja operatorowa - stosunek transformaty odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy założeniu zerowych warunków początkowych.

G(s) = Y(s) / U(s)

Transformata Laplace'a przekształca układ równań różniczkowych w układ równań algebraicznych:

s*X(s) - x(0) = A*X(s) + B*U(s)

Y(s) = C*X(s) + D*U(s)

Z którego można łatwo wyznaczyć X(s) i Y(s):

X(s) = (s*1-A)<-1> * (x(0) + B*U(s))

Y(s) = C*(s*1-A)<-1> * (x(0) + B*U(s)) + D*U(s)

Oraz transmitacje

G(s) = C*(s*1-A)<-1> * B + D

lub zwięźle:

Metoda operatorowa polega na obliczeniu transformaty Laplace'a sygnału ciągłego x(t), która jest funkcją X(s) dana wzorem:

X(s)=∫ x(t)e^-st dt, całka jest w granicach o zera do nieskończoności.

15. Co to jest transmitacja operatorowa układu? Podać przykład transmitacji układu oscylacyjnego?

Transmitacja operatorowa - stosunek transformaty odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy założeniu zerowych warunków początkowych.

G(s) = Y(s) / U(s)

2. Opis modelu rozpatrywanego systemu dynamicznego

Rozpatrywane jest połączenie szeregowe elementów RLC jak na rysunku poniżej.

C= 0.6[mikro F]

Za model tego układu przyjmuje się liniowy model SISO (wartość amplitudy sygnału wejściowego nie ma wpływu na parametry modelu, rozpatrywane jest jedno wejście i jedno wyjście), sygnałem wejściowym do układu jest napięcie U₁, sygnałem wyjściowym jest napięcie natomiast U₂.
Poniżej wyznaczona zostaje transmitancja operatorowa tego modelu.

Napięcie na rezystorze wynosi:


mierzone w tym układzie napięcie na kondensatorze wynosi:


napięcie na cewce:


zatem zapisując równanie Kirchhoffa dla tego obwodu otrzymuje się:


Po przekształceniu Laplace'a:


zatem transmitancja operatorowa układu:


Ogólna postać transmitancji członu oscylacyjnego ma postać:


czyli:




Przy znanej pojemności C wyznaczenie parametrów R i L sprowadza się zatem do wyznaczenia podanych powyżej współczynników mianownika transmitancji operatorowej rozpatrywanego układu.

16. Podać reguły upraszczania modeli matematycznych.

1. Identyfikacja relatywnie małych wyrazów modelu wyjściowego

2. Utworzenie modelu uproszczonego przez usunięcie wyrazów relatywnie małych.

3. Ocena zgodności - wyznaczenie wartości wyrazów odrzuconych na podstawie rozwiązania modelu uproszczonego i sprawdzenie, czy są faktycznie małe w porównaniu z wyrazami uwzględnionymi w modelu uproszczonym.

17. Podać definicje współczynnika uwarunkowania układu. Układy dobrze i źle uwarunkowane.

Stopień uwarunkowania układu określa się ilościowo za pomocą współczynnkia uwarunkowania d:

Def. Współczynnik uwarunkowania d:

D = abs(λ (max) / λ (min))

Gdzie λ (max) , λ (min) - wartości własne macierzy podstawowej układu, odpowiednio maksymala i minimalna.

Jeśli d >>1 to układ jest źle uwarunkowany.

Układ jest dobrze uwarunkowany jeżeli jego rozwiązanie istnieje, jest jednoznaczne i w sposób ciągły zależy od współczynników.

Upraszczanie modeli matematycznych jest efektywne tylko dla układów dobrze uwarunkowanych.

Rozwiązania układów źle uwarunkowanych są bardzo wrażliwe na zmiany wartości parametrów równań.

18. Wymienić i omówić kategorie poprawności modeli matematycznych.

- poprawność logiczna i metodologiczna - czy sformulowane zaleznosci geometryczne i algebraiczne maja sens, czy jest opdowiednio dobrany model to ukladu rzeczywistego

- poprawność przekształcen algebraicznych

- istnienie rozwiazania

- jednoznacznosc rozwiazania

- stopien uwarunkowania ukladu rownan- jaka jest wrazliwosc ukladu na zmiany parametrow

- dokladnosc rozwiązania - liczba cyfr znaczacych

19. Jakiego typu równania opisuje układ dynamiczny ciągły o parametrach skupionych? Podać przykład.

Typy rownan opisujacych uklad ciagły:

Równania równowagi - zależnosci wyrażające równowage, która musi istnieć dla cagłęgo układu i wszystkich jego podukładów.- bilans pradow w wezle obwodu, rownanie rownowagi sil

Równania spójności - opisujące zależności między zmiennymi ze względu na strukture połączeń elementów układu

Przykład: bilans napiec w oczku obwodu, równania spadku ciśnień

20. Wymienic i podać zależności definiujące elementy idealne: konserwatywne / dyssypatywne (magazynujące / rozpraszające energie) w procesach, mechanicznych / elektrycznych.

.) elementy źródłowe

.) elemetny rozpraszające energie do otoczenia

.) elemetny magazynujące energie w postaci kinetycznej

.) elemetny magazynujące energie w postaci potencjalnej

Procesy elektryczne:

- Opór elektryczny R - nieodwracalny proces przekształcania w obiekcie rzeczywistym energi elektrycznej w cieplną

U(t) = R * i(t)

p(t)=i<2>(t)*R

- Cewka indukcyjna L - zdolność układu rzeczywistego do gromadzenia energii kinetycznej tylko w polu magnetycznym (magazynowanie)

U(L) = L * (d(i)t)/dt

i(t) = 1/L * całka(od t(0) do t) U(tał)d(tał) + i(t(0))

i(t(0)) - stan początkowy cewki

W(m) = ½ * L*i<2>(t) - chyba strumiem skojarzeniowy

- Kondensator C - zdolność układu rzeczywistego do gromadzenia energi potencjalnej tylko w polu elektrycznym.

i(c) = C * (d(u)t)/dt

u(t) = 1/C * całka(od t(0) do t) i(tał)d(tał) + 1

W(e) = ½ C*u<2>(t)

q(t) = C*u(t)

- Sprzężenie magnetyczne M - zdolność układu rzeczywistego do przekazywania energii za pośrednictwem pola magnetycznego

M - indukcyjnośc wzajemna

k - wpspółczynnik sprzężenia k zawier się od 0 do 1

M = k* pierwiastek(L(1)*L(2))

Procesy mechaniczne ruch postępowy:

Masa m - gromadzenie energii kinetycznej

f(t) = m*(dv)/dt

W(k) = ½ * m*v<2>(t)

Sprężystość k - gromadzenie energii potencjalnej

V(t)=k*(d(f)t)/dt

s = 1/k - s to sztywność

f(t) = s*x(t);

W(p) = ½ * kf<2>(t)

Tłumienie D (tarcie wiskotyczne kolumbowskie spoczynkowe) - rozpraszanie energii (zamiana energii mechanicznej w cieplną)

f(t) = D*v(t) - tarcie wiskotyczne

f(t) = D*v<2>(t) - tarcie lepkie

Jeśli f(t)>0 gdy v = 0 lub f(t)=0 gdy v<>0

Procesy mechaniczne ruch obrotowy:

Moment bezwładności J - gromadzenie energi kinetycznej.

u(t) = J * dω/dt

W(k) = ½ * J*ω<2>(t)

Sprężystość k - gromadzenie energii potencjalnej

W(p)=1/2*k*u<2>(t)

21. Sterowalność - Układ jest sterowalny względem danego wejścia u_i jeśli możliwe jest przeprowadzenie układu w skończonym czasie z danego stanu w stan zerowy w wyniku oddziaływania poprzez to wejście.

Warunek sterowalności:

Jeśli układ jest opisany równaniami zmiennych stanu to badamy macierz A i jeden wektor kolumnowy macierzy B), układ dynamiczny jest sterowalny względem i-tego wejścia jeśli wektor b_i oraz wektor Ab_i są liniowo niezależne czyli wtedy gdy spełniony jest warunek:
| b_i Ab_i|
0 Gdzie b_i jest i-tą kolumną macierzy B.

Obserwowalność - układ jest obserwowalny względem danego wyjścia y_i jeśli na podstawie znajomości tego wyjścia można określić całkowity stan układu w dowolnej chwili z przeszłości.

Warunek obserwowalności:

Jeśli układ jest opisany równaniami zmiennych stanu to badamy macierz A i jeden wektor wierszowy macierzy C. Jeśli wektory

(czyli te dwa wektorki są niezależne liniowo) to układ dynamiczny jest obserwowalny.

22. Linearyzacja statyczna - polega na ograniczaniu zakresu zmian danej zmiennej do prostoliniowej części charakterystyki statycznej.

Linearyzacja dynamiczna - polega na zastąpieniu nieliniowej charakterystyki statycznej linią prostą styczną do niej w wybranym punkcie pracy. Słuszna tylko przy małych odchyleniach od punktu pracy

23. Układ dynamiczny ciągły o parametrach rozłożonych (zmienne niezależne to czas i współrzędne położenia) opisuje się za pomocą równań różniczkowych cząstkowych.

Przykład:

24. Pole elektrostatyczne w obszarze zawierającym ładunki El.

Równanie Poissona:

, gdzie

, jest to wektor symboliczny który we współrzędnych prostokątnych ma taką postać,

V to „pole wektorowe”

to gęstość objętościowa ładunku el.

to przenikalność

25. Pole magnetostatyczne bez prądów zewnętrznych

Równanie Laplace'a :

Albo dla skalarnego potencjału pola magnetycznego w obszarach bez prądu:

Albo dla wektorowego potencjału pola w obszarach bez prądu:

gdzie A to potencjał magnetyczny wektorowy

26. Metody wyznaczania rozkładów pól:

Analityczne: rozwiązanie układu równań różniczkowych cząstkowych metodą:

rozdzielania zmiennych

odbić zwierciadlanych

odwzorowań konforemnych

równań całkowych;

Graficzne: polega na rysowaniu linii sił pola;

Modelowanie fizyczne rozkładu pola: (na papierze przewodzącym; w wannie elektrolitycznej; za pomocą obwodów siatkowych)

Metody numeryczne: przybliżone rozwiązywanie zagadnień polowych przez przekształcenie równania różniczkowego cząstkowego w układ równań algebraicznych rozwiązywany przez komputer.

27. Źródła pola w zagadnieniach elektrostatyki:

Są 3 możliwości:

- określenie gęstości objętościowej ładunku ρ [C/m³];

- określenie gęstości powierzchniowej ładunku σ [C/m²];

- określenie wartości ładunku elektrycznego q [C] dla danego punktu.

Źródła pola w zagadnieniach magnetostatyki:

Mogą być zdefiniowane:

- w obszarach - jako prądy przestrzenne (objętościowe) lub magnesy trwałe;

- na krawędziach - jako prądy powierzchniowe;

- w wierzchołkach - jako prądy liniowe.

28. Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (Dirichleta) w zagadnieniach elektrostatyki są definiowane przez:

- wartości potencjału U₀ na brzegu obszaru (U₀ może być funkcją współrzędnych)

- wartości potencjału U₀ w dowolnym punkcie obszaru.

Ważne jest, aby był zdefiniowany minimum jeden warunek brzegowy Dirichleta dla całego problemu aby rozwiązanie było jednoznaczne!!

29. warunki ukł 3D aby go zastąpić ukł cylindrycznym

Struktury muszą mieć oś symetrii obrotowej, dodatkowo rozpatrując w dodatniej półpłaszczyźnie zr układu wsp. Cylindrycznych zr przestrzeni 3D zakłada się że nie występują w funkcji kąta  zmiany: kształtu obszaru, właściwości środowiska, źródeł pola

30. warunki ukł 3D aby go zastąpić ukł płaskim

Układ trójwymiarowy można zastąpić układem płaskim rozpatrywanym w płaszczyźnie xy układu współrzędnych prostokątnych xyz przy założeniu że w kierunku osi z nie występują zmiany: kształtu obszaru, właściwości środowiska ani źródeł pola.

31.Wymienic etapy rozwiązywania zagadnień polowych w programie QF

1)Definiowanie problemu

2)Utworzenie modelu struktury geometrycznej obiektu.

3) Definiowanie własności środowiska i źródeł pola dla poszczególnych obszarów(bloków), brzegów obszarów(krawędzi), oraz pojedynczych punktów(węzłów).

4)Generowanie siatki elementów skończonych.

5) Rozwiązanie problemu.

6) Wizualizacja rozwiązania.

32. W jaki sposób dokonuje się dyskretyzacji obszaru w metodzie różnic skończonych?

W celu znalezienia rozkładu funkcji polowej A=A(x,y) w pewnym obszarze Ω(o zadanych wartościach brzegowych A_s na jego brzegu S), dzieli się badany obszar na siatkę prostokątną o kroku całkowania ∆x=∆y=h;y_k=k∆y; x_i=i∆x (rys.slajd 82 ).Wartość funkcji polowej w danym węźle i,k jest średnią arytmetyczną wartości tej funkcji we wszystkich czterech węzłach sąsiadujących z węzłem i,k (nie wiem czy tyle wystarczy)

33. Na czym polega iteracyjna metoda rozwiazywania ukł. równań różnicowych w metodzie różnic skończonych?

Punkt startowy(iteracja 0) węzłom granicznym przypisuje się znane wartości brzegowe, węzłom pozostałym - wartości dowolne, np odpowiadające kolejności numerowania węzłów:V1=1, V2=2 itd.

Kolejne iteracje- wartość funkcji polowej w danym węźle obliczana jest jako średnia z wartości funkcji polowej z poprzedniej iteracji dla wszystkich 4 węzłów sąsiadujących z danym węzłem.

Iteracje powtarza się, aż przyrost wartości funkcji w każdym węźle będzie mniejszy od założonej liczby ε ∆=max| V_i,k^(j+1)- V_i,k^(j)|<=ε (komentarz: V_{i-nr_punktu}^{(j)-nr_iteracji})

34. Omówić źródła błędów w metodzie różnic skończonych i sposoby ich zmniejszania.

1)Zastąpienie równania różniczkowego różnicowym./ minimalizacja(1,2): zagęszczenie

2)Dyskretyzacja obszaru. / siatki(zmniejszanie kroku dyskretyzacji)

3)Przybliżone rozwiązanie układu równań /minimalizacja(3):zwiększenie liczby iteracji.

35. Na czym polega istota metody elementów skończonych? Omówić główne zagadnienia tej metody.

Podział rozpatrywanego obszaru (o złożonej strukturze i skomplikowanym kształcie) na skończoną liczbę elementarnych podobszarów (jednorodnych, o bardzo prostym kształcie)-tj. utworzenie sieci elementów skończonych.

Każdy element posiada węzły, z którymi związane są szukane wartości funkcji polowej.

Rozkład funkcji polowej nad danym elementem aproksymuje się za pomocą tzw. funkcji interpolacyjnych.

„Współczynnikami” funkcji interpolacyjnych są tzw. funkcje kształtu (funkcje bazowe) natomiast „zmiennymi” są wartości węzłowe funkcji polowej.

Poszukuje się takiego rozwiązania zbioru funkcji interpolacyjnych dla wszystkich elementów, które minimalizuje funkcjonał energetyczny, tzn. odpowiada minimalnej energii układu.

Znaleziony zbiór funkcji interpolacyjnych dla wszystkich elementów stanowi odcinkową aproksymację zmiennej pola w rozpatrywanym obszarze.

36. Na czym polega dyskretyzacja obszaru w metodzie elementów skończonych? Kształty elementów skończonych w przestrzeni 2D i 3D.

Dyskretyzacja obszaru analizy pola- utworzenie sieci elementów skończonych:

Podział rozpatrywanego obszaru (o złożonej strukturze i skomplikowanym kształcie) na skończoną liczbę elementarnych podobszarów (jednorodnych, o bardzo prostym kształcie)

Rodzaje elementów skończonych:

Zagadnienia 1D: odcinek, odcinek 3-węzłowy;

Zagadnienia 2D: trójkąt, prostokąt, czworokąt, trójkąt 6-węzłowy;

Zagadnienia 3D: czworościan(4 węzły), graniastosłup(8 węzłów), sześciościan

Brzegi elementów skończonych są:

-punktami - Zagadnienia 1D

-odcinkami linii prostych - Zagadnienia 2D

-płaszczyznami - Zagadnienia 3D

37. Omówić zalety i wady metody elementów skończonych.

Zalety:

1) Uniwersalna

2) Efektywna w przypadku obszarów o bardzo skomplikowanych kształtach.

3) Umożliwia analizę pól w środowiskach nieliniowych, niejednorodnych i anizotropowych

Wady:

1) Obszar musi być ograniczony.

2) Błędy: dyskretyzacji i aproksymacji.

39.Podać twierdzenie o próbkowaniu. Co to jest częstotliwość graniczna Nyquista?

Sygnał ciągły x(t) jest jednoznacznie określony przez swoje wartości dyskretne x_d(nT), n=0,±1,±2, ..., jeśli częstotliwość próbkowania f_s spełnia warunek: f_s>2f_M

gdzie f_M oznacza częstotliwość najwyższej harmonicznej sygnału x(t)

Częstotliwość próbkowania f_s=2f_M nazywa się częstotliwością graniczną Nyquista.

40. Jakiego typu równania stosuje się do opisu matematycznego układów dyskretnych?

- równania różnicowe

-dyskretne równania zmiennych stanu:

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]

y[n]=Cx[n]+Du[n]

-transmitancja dyskretna: T(z)=Y(z)/U(z)

Y(z)-transformata Z odpowiedzi; U(z)-transformata Z wymuszenia

41.Podstawowe elementy schematów blokowych układów dyskretnych.

-węzły sumacyjne

-węzły zaczepowe(rozgałęzienia)

-bloki wzmocnienia sygnału y[n]=a x[n]

-bloki jednostkowego opóźnienia y[n]=x[n-1]

---