Liczby zespolone

Niech Z oznacza zbiór złożony z par (a,b), gdzie
,
. Dwie pary nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio równe są elementy tych par czyli:

Są to więc pary uporządkowane.

Określamy w tym zbiorze dwa działania:

Dodawanie:

Mnożenie:

DEF.

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Liczbę (0,1) nazywać będziemy jednostką urojoną i oznaczać literą „i” czyli:

i=(0,1)

Uważamy, że

Każda liczba zespolona (a,b) da się przedstawić za pomocą liczby „i” oraz liczb (a,0), (b,0):

Stąd krótko
, np.

Otrzymaną postać nazywamy postacią kartezjańską (algebraiczną) liczby zespolonej.

Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy Rez (czyt. realis)

Liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy Imz (czyt. Imaginaris)

Jeżeli Rez=0 to liczbę nazywamy czysto urojoną.

Jeżeli Imz=0 to liczbę nazywamy czysto rzeczywistą.

Mamy też:

-moduł liczby zespolonej

-liczba sprzężona do z

Działania na liczbach zespolonych (w postaci kartezjańskiej)

Dodawanie , odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonujemy tak, jak działana na dwumianach z uwzględnieniem, że i²=-1

Dzielenie liczb zespolonych (w postaci kartezjańskiej)

Aby podzielić z₁, przez z₂, należy je jednocześnie pomnożyć przez
(czyli liczbę sprzężoną będącą w mianowniku);

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych

Liczbę zespoloną interpretujemy jako punkt (a,b) na płaszczyźnie Gaussa, w której wyróżniamy dwie wzajemnie prostopadłe osie zwane odpowiednio: pozioma - oś rzeczywista, pionowa - oś urojona

Niech z=a+bi

Każdej liczbie zespolonej z=a+bi odpowiada dokładnie jeden punkt (a,b) na tej płaszczyźnie i odwrotnie.

Jeżeli punkt (a,b) połączymy z (0,0) to odległość tych dwóch punktów będzie równa
czyli promieniowi r.

Jeżeli przez
oznaczymy kąt jaki tworzy promień r z dodatnim kierunkiem osi Rez w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to nazywamy go argumentem liczb z, przy czym ograniczając się do zakresu
- argumentem głównym liczby z:

Mamy wówczas (patrz rys wcześniej)

Oraz

Ostatni zapis liczby zespolonej nazywany jest jej postacią trygonometryczną czyli

można wyznaczyć więc albo z układu:

wówczas mamy:

Jeżeli
należy do pierwszej ćwiartki to:

,jeżeli należą do I ćwiartki

,jeżeli należą do II ćwiartki

,jeżeli należą do III ćwiartki

,jeżeli należą do IV ćwiartki

Przykład

Znaleźć postacie trygonometryczne liczb:

1.

Czyli

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej)

Niech :

Mamy:

Przykład

Dla liczb
oraz
obliczyć
oraz
korzystając z ich postaci trygonometrycznych:

;
(bo w I ćwiartce)

;
(bo w II ćwiartce)

Potęgowanie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej)

Skoro

Stąd

Mamy więc wzór:

Przykład

Obliczyć

Mamy więc zgodnie ze wzorem:

(skorzystaliśmy z własności okresowości funkcji sinus i cosinus:

Pierwiastkowanie liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej)

Każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się liczbie zespolonej z, nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z i piszemy:

Twierdzenie

Każda liczba zespolona
posiada dokładnie n różnych pierwiastków określonych wzorem:

Interpretacja geometryczna pierwiastków

Wszystkie pierwiastki leżą na okręgu o S(0,0) i
i są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Przykład

1.

Wielomian zmiennej zespolonej

Wielomianem stopnia n w dziedzinie zespolonej nazywamy wyrażenie postaci:

Gdzie współczynniki

Twierdzenie

Jeżeli liczba
jest pierwiastkiem wielomianu
o współczynnikach rzeczywistych to liczba
jest również pierwiastkiem.

Przykład

Rozwiąż równanie:

Bez trudu zauważymy, że W(1)=W(-1)=0 czyli 2 pierwiastki:
. W takim razie W(z) dzieli się bez reszty przez
z podzielenia uzyskany wynik to

Trójmian ten ma
, więc pierwiastki będą zespolone i zgodnie z poprzednim do siebie sprzężone

Prowadzący: Matematyka 11.10.08

mgr Barbara Pakleza Wykład 1 semestr III

- 1 -

---