Schemat oceniania. Poprawkowy Egzamin Maturalny z Matematyki poziom podstawowy 23 sierpnia 2010 Czas pracy: 170 minut Schemat oceniania.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (1 pkt.)

Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje A) 73,20 zł B) 49,18 zł C) 60,22 zł D) 82 zł Odpowiedź: A

Zadanie 2 (1 pkt.)

Iloczyn
jest równy A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: C

Zadanie 3 (1 pkt.)

Różnica
jest równa A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Odpowiedź: C

Zadanie 4 (1 pkt.)

Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.

A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: B

Zadanie 5 (1 pkt.)

Wyrażenie
jest równe A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: C

Zadanie 6 (1 pkt.)

Kwadrat liczby
jest równy A)
B)
C) 1 D) 7 Odpowiedź: A

Zadanie 7 (1 pkt.)

Zbiorem rozwiązań nierówności
jest
A)
B)

C)
D)
Odpowiedź: B

Zadanie 8 (1 pkt.)

Równanie

A) nie ma rozwiązań B) ma dokładnie jedno rozwiązanie
C) ma dokładnie dwa rozwiązania D) ma dokładnie cztery rozwiązania. Odpowiedź: C

Zadanie 9 (1 pkt.)

Wierzchołek paraboli
leży na prostej o równaniu
A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: A

Zadanie 10 (1 pkt.)

Wskaż
, dla którego funkcja liniowa
jest rosnąca
A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: D

Zadanie 11 (1 pkt.)

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej
jest przedział
. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji
?

Odpowiedź: B

Zadanie 12 (1 pkt.)

Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej
takiej, że
i
?

Odpowiedź: C

Zadanie 13 (1 pkt.)

Do wykresu funkcji
, dla
należy punkt
. Wtedy
A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: D

Zadanie 14 (1 pkt.)

W ciągu arytmetycznym
mamy:
i
. Oblicz
.
A) 8 B) 14 C) 17 D) 6 Odpowiedź: B

Zadanie 15 (1 pkt.)

W malejącym ciągu geometrycznym
mamy:
i
. Iloraz tego ciągu jest równy A) -2 B) 2 C)
D)
Odpowiedź: C

Zadanie 16 (1 pkt.)

Kąt
jest ostry i
. Wtedy
jest równy A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: B

Zadanie 17 (1 pkt.)

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 12. Wysokość tego trójkąta jest równa A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 Odpowiedź: A

Zadanie 18 (1 pkt.)

Przekątna
prostokąta
ma długość 11, a bok
jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku
. A)
B)
C) 5 D)
Odpowiedź: B

Zadanie 19 (1 pkt.)

Punkty
dzielą okrąg o środku
na 10 równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego
zaznaczonego na rysunku.

A)
B)
C)
D)

Rozwiązanie Dorysujmy odpowiadający kąt środkowy

Kąt środkowy odpowiadający
okręgu jest równy
zatem kąt środkowy
jest równy
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy, czyli

Odpowiedź: A

Zadanie 20 (1 pkt.)

Punkty
i
są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu
. Pole tego kwadratu jest równe A) 10 B) 25 C) 50 D) 100 Odpowiedź: A

Zadanie 21 (1 pkt.)

Okrąg o równaniu
promień jest równy A)
B) 13 C) 8 D)

Odpowiedź: A

Zadanie 22 (1 pkt.)

Prosta
ma równanie
. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej
.
A)
B)
C)
D)
Odpowiedź: C

Zadanie 23 (1 pkt.)

Objętość sześcianu jest równa
. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A) 18 cm B) 36 cm C) 24 cm D) 12 cm Odpowiedź: B

Zadanie 24 (1 pkt.)

Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
A) 10 B) 5 C) 15 D) 30 Odpowiedź: A

Zadanie 25 (1 pkt.)

Ze zbioru liczb
wybieramy losowo jedną liczbę. Niech
oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas
A)
B)
C)
D)

Rozwiązanie W podanym zbiorze są 3 wielokrotności liczby 3: 3, 6 i 9. Zatem prawdopodobieństwo wynosi
Odpowiedź: A

Zadania otwarte

Zadanie 26 (2 pkt.)

Rozwiąż nierówność:
.

Rozwiązanie Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu

Ponieważ współczynnik przy
jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabolą o ramionach skierowanych do góry. Otrzymujemy stąd rozwiązanie nierówności
. Odpowiedź:

Zadanie 27 (2 pkt.)

Rozwiąż równanie
. Rozwiązanie Łatwo zauważyć, że możemy wyłączyć
przed nawias.
Zatem jedynym pierwiastkiem równania jest
. Odpowiedź:

Zadanie 28 (2 pkt.) Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie Korzystamy ze wzoru
na sumę
początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Dla
mamy

Odpowiedź:

Zadanie 29 (2 pkt.) Wyznacz równanie okręgu o środku
przechodzącego przez punkt
.

Rozwiązanie

Z rysunku widać, że promień szukanego okręgu jest równy odległości punkt
od początku układu współrzędnych, czyli
Zatem szukane równanie ma postać

Odpowiedź:

Zadanie 30 (2 pkt.)

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach
,
,
jest prostokątny.

Rozwiązanie Jeżeli narysujemy podane punkty, to jest jasne, że kąt prosty powinien być przy wierzchołku
.

Jeżeli nie chcemy korzystać z iloczynu skalarnego, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.
Zatem istotnie
.

Zadanie 31 (2 pkt.)

Wykaż, że jeżeli
i
oraz
, to
lub
.

Rozwiązanie Przekształcamy równoważnie podaną równość.

Widać zatem, że równość ta jest spełniona dla
. Załóżmy zatem dalej, że
- wtedy możemy ostatnią równość podzielić stronami przez
i mamy

Zadanie 32 (4 pkt.)

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.

Rozwiązanie Przyjmijmy, że zdarzenia elementarne to uporządkowane pary wylosowanych liczb. Zatem
Jeżeli iloczyn wyrzuconych liczb oczek ma być nieparzysty to oba wyniki muszą liczbami nieparzystymi. Ponadto co najmniej jedna z tych liczb musi być równa 5, bo inaczej maksymalnie mielibyśmy
. Mamy zatem 3 zdarzenia sprzyjające
Zatem prawdopodobieństwo wynosi
Odpowiedź:

Zadanie 33 (4 pkt.)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny
o podstawach
i
i krawędziach bocznych
. Oblicz pole trójkąta
wiedząc, że
i
. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt
. Rozwiązanie

Widać, że trójkąt
jest równoramienny i znamy długość jego podstawy
. Wystarczy zatem obliczyć długość jego wysokości
. Możemy to zrobić korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie
. Ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym mamy
Zatem

Zatem interesujące nas pole jest równe
Odpowiedź: 70

Zadanie 34(5 pkt.)

Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

Rozwiązanie Jeżeli przez
oznaczymy średnią prędkość kolarza, a przez
czas w którym przejechał 60 km, to wiemy, że vt=60 czyli t=60/v. Wiemy ponadto, że jeżeli średnia prędkość będzie większa o 1 km/h, to czas będzie krótszy o 0,1 h. Otrzymujemy stąd równanie:
Po podstawieniu za
z poprzedniej równości dostajemy:

Oczywiście pierwsze rozwiązanie odrzucamy.
Odpowiedź: 24 km/h

---