OBLICZENIA STATYCZNE WIĘŹBY DACHOWEJ
Dane do projektowania:
konstrukcja dachu płatwiowo-kleszczowa
rozpiętość obliczeniowa 8,10m
rozstaw krokwi 0,9m
nachylenie połaci dachowej α = 40°
pokrycie dachu - dachówka cementowa Celtycka na łatach o rozstawie 0,33m
lokalizacja budynku - Gdańsk
obciążenie śniegiem - strefa I
obciążenie wiatrem - strefa II
Rys. 1. Geometria projektowanego wiązara płatwiowo-kleszczowego
Dla drewna sosnowego wartość charakterystyczna ciężaru objętościowego wynosi
ρsosna = 5,5 kN/m3. Więźba będzie wykonana z drewna odpowiadającego klasie sortowniczej KG, co odpowiada klasie wytrzymałościowej C18 (dla tarcicy grubości < 38mm) i C22 (dla tarcicy grubości ≥ 38mm).
Pozycja obliczeniowa nr 1. Obliczenie łaty
Przyjęto do obliczeń łaty z drewna sosnowego o grubości 45mm i szerokości 63mm.
Pole przekroju poprzecznego wynosi A = 0,002835m2.
Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego
Rys. 2. Schemat statyczny łaty
Łata jest elementem wykonanym z drewna krótkiego, dlatego do obliczeń przyjmuje się schemat statyczny w postaci belki dwuprzęsłowej, swobodnie podpartej.
Zestawienie obciążeń
Obciążenia stałe g:
Obciążenie |
Wartość charakterystyczna [kN/m] |
Współczynnik obciążenia γF [-] |
Wartość obliczeniowa [kN/m] |
Ciężar własny łaty 0,002835 · 5,5 |
0,016 |
1,1 |
0,018 |
Ciężar pokrycia - waga jednej dachówki 4,2kg, liczba - 10szt./m2 0,042 · 10 · 0,33 |
0,139 |
1,2 |
0,166 |
Razem |
0,155 |
|
0,184 |
Tabela 1. Zestawienie obciążeń stałych
Obciążenia zmienne:
Wartość obciążenia charakterystycznego śniegiem
Sk = Qk · C
Qk = 0,7kN/m2
C1 = 0,53
C2 = 0,8
Do obliczeń pojedynczych elementów przyjmuje się, że C2 = C1 = C
Sk = 0,7 · 0,53 = 0,37kN/m2
Wartość obliczeniowa obciążenia śniegiem
S = Sk · γf = 0,37 · 1,4 = 0,52kN/m2
Wartość obciążenia charakterystycznego wiatrem
pk = qk · Ce · C · β
qk = 0,35kN/m2
Ce = 0,8
C = Cz = 0,015 · α - 0,2 = 0,015 · 40 - 0,2 = 0,4 (połać zawietrzna)
C = Cz = -0,045 · (40 - α) = -0,045 · (40 - 40) = 0 (połać nawietrzna)
Przyjęto parcie, dla którego C = 0,4
β = 1,8
pk = 0,35 · 0,8 · 0,4 · 1,8 = 0,202kN/m2
Wartość obliczeniowa obciążenia wiatrem
p = pk · γf = 0,202 · 1,3 = 0,263kN/m2
Wartość obciążenia charakterystycznego skupionego (człowiek z narzędziami)
Pk = 1,0kN
Wartość obliczeniowa obciążenia charakterystycznego skupionego
P = Pk · γf = 1,0 · 1,2 = 1,2kN
Przyjęto długość przęseł równą średniemu rozstawowi krokwi leff = 0,9m.
Składowe obciążeń:
g┴ = g · cos α
g║ = g · sin α
S┴ = S · cos2α
S║ = S · sin α · cos α
p┴ = p · ψo = p · 0,9 (uwzględniono współczynnik jednoczesności obciążeń ψo)
p║ = 0
P┴ = P · cos α
P║ = P · sin α
sin α = 0,643
cos α = 0,766
Obciążenie |
Wartość charakt. [kN/m] |
Wsp. obciążenia γf [-] |
Wartość obliczeniowa [kN/m] |
Wartości składowe prostopadłe obciążenia |
Wartości składowe równoległe obciążenia |
||
|
|
|
|
charakt. [kN/m] |
obliczeniowe [kN/m] |
charakt. [kN/m] |
obliczeniowe [kN/m] |
g - ciężar własny i pokrycia S - śnieg 0,37 · 0,33 p - wiatr 0,202 · 0,33 · 0,9 |
0,155
0,122
0,060 |
1,4
1,3 |
0,184
0,171
0,078 |
0,119
0,072
0,054 |
0,141
0,100
0,070 |
0,100
0,060
0,000 |
0,118
0,084
0,000 |
Razem |
0,337 |
|
0,433 |
0,245 |
0,311 |
0,160 |
0,202 |
P - obciążenie skupione [kN] |
1,00 |
1,2 |
1,20 |
0,766 |
0,919 |
0,643 |
0,772 |
Tabela 2. Zestawienie obciążeń na łatę
Rozwiązanie statyczne
Przyjęto dwa warianty obciążeń:
Wariant I - obciążenie ciężarem własnym i pokryciem oraz siłą skupioną
Rys. 3. Schemat statyczny do obliczenia łaty - wariant I
Wykresy momentów zginających
Rys. 4. Wykres momentów zginających od prostopadłych składowych obciążenia
Rys. 5. Wykres momentów zginających od równoległych składowych obciążenia
Wariant II - obciążenie ciężarem własnym i pokryciem oraz śniegiem i wiatrem
Rys. 6. Schemat statyczny do obliczenia łaty - wariant II
Wykresy momentów zginających
Rys. 7. Wykres momentów zginających od prostopadłych składowych obciążenia
Rys. 8. Wykres momentów zginających od równoległych składowych obciążenia
Rozwiązanie wytrzymałościowe
Wariant I
Sprawdzenie stanu granicznego nośności
Obliczenie wskaźników wytrzymałościowych łaty o wymiarach 45×63mm:
Naprężenia obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:
Wytrzymałość obliczeniowa na zginanie:
kmod = 1,1
fm,y,k = 22,0MPa
γM = 1,3
Obliczany element ma mniejsze wymiary niż 150mm, zwiększono więc jego wytrzymałość:
f `m,y,d = fm,y,d · kh
kh = 1,19
f `m,y,d = 18,62 · 1,19 = 22,16MPa
Sprawdzenie warunku stanu granicznego:
km = 0,7
Warunek stanu granicznego nośności dla łaty został spełniony.
Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności
Graniczna wartość ugięcia:
Rys. 9. Wykres ugięcia od prostopadłej składowej obciążenia siłą skupioną
Rys. 10. Wykres ugięcia od prostopadłej składowej obciążenia ciężarem własnym
Rys. 11. Wykres ugięcia od równoległej składowej obciążenia siłą skupioną
Rys. 12. Wykres ugięcia od równoległej składowej obciążenia ciężarem własnym
Obciążenie |
kdef |
Składowe prostopadłe [mm] |
Składowe równoległe [mm] |
||
|
|
uinst,y |
ufin,y |
uinst,z |
ufin,z |
Ciężar własny (klasa trwania obciążenia = stałe) |
0,8 |
0,1 |
0,18 |
0,1 |
0,18 |
Siła skupiona (klasa trwania obciążenia = obciążenie krótkotrwałe) |
0 |
1,5 |
1,5 |
1,2 |
1,2 |
Ugięcie sumaryczne |
1,68 |
1,38 |
|||
Ugięcie całkowite |
2,17 |
Tabela 3. Wartości ugięcia od poszczególnych składowych obciążenia
ufin = 2,17mm < unet,fin = 6,00mm
Warunek stanu granicznego użytkowalności dla łaty został spełniony.
Wariant II
Maksymalne momenty zginające w wariancie II są znacznie mniejsze niż w wariancie I. Ponadto występuje inna klasa trwania obciążenia decydującego. Z tego względu nie ma potrzeby sprawdzania stanu granicznego nośności i stanu granicznego użytkowalności dla wariantu II.
Ostatecznie przyjęto łatę o wymiarach przekroju poprzecznego 45×63mm.
Pozycja obliczeniowa nr 2. Obliczenie krokwi
Przyjęto do obliczeń krokwie o wymiarach 80×180mm.
2.1. Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego
Rys. 13. Schemat statyczny wiązara płatwiowo-kleszczowego
2.2. Zestawienie obciążeń
Obciążenie |
Wartość charakt. [kN/m] |
Wsp. obciążenia γf [-] |
Wartość obliczeniowa [kN/m] |
Składowe prostopadłe obciążenia |
Składowe równoległe obciążenia |
||
|
|
|
|
charakt. [kN/m] |
obliczeniowe [kN/m] |
charakt. [kN/m] |
obliczeniowe [kN/m] |
ciężar własny dachu: ciężar własny łaty 0,002835 · 5,5 ciężar własny krokwi 0,08 · 0,18 · 5,5 ciężar pokrycia 0,042 · 10 · 0,33
|
0,016
0,079
0,139 |
1,1
1,1
1,2 |
0,018
0,087
0,166 |
0,012
0,061
0,106 |
0,014
0,067
0,127 |
0,010
0,050
0,089 |
0,012
0,056
0,107 |
Razem |
0,234 |
|
0,271 |
0,179 |
0,208 |
0,149 |
0,175 |
śnieg: połać lewa 0,7 · 0,8 · 0,9 połać prawa 0,7 · 0,53 · 0,9 wiatr: połać nawietrzna 0,35·0,8·0,4·1,8·0,9·0,9 połać zawietrzna 0,35·0,8·(-0,4)·1,8·0,9·0,9 ciężar własny kleszczy: 2·0,038·0,115·5,5 |
0,504
0,334
0,163
-0,163
0,048 |
1,4
1,4
1,3
1,3
1,1 |
0,706
0,468
0,212
-0,212
0,053 |
0,296
0,196
0,147
-0,147
- |
0,414
0,275
0,191
-0,191
- |
0,248
0,165
-
-
- |
0,348
0,231
-
-
- |
obciążenie skupione [kN] |
1,00 |
1,2 |
1,2 |
- |
- |
- |
- |
Tabela 4. Zestawienie obciążeń połaci dachowych wiązara płatwiowo-kleszczowego
Rozwiązanie statyczne
Rys. 14. Wykaz obciążeń poszczególnych prętów
Rys. 15. Wartości reakcji podporowych
Rys. 16. Wykres momentów zginających
Rys. 17. Wykresy sił tnących
Rys. 18. Wykresy sił normalnych
Rozwiązanie wytrzymałościowe
Sprawdzenie stanu granicznego nośności
Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna wynoszą:
M1 = 0,711kNm
N1 = + 2,404kN (rozciąganie)
Przyjęto przekrój krokwi 80×180mm. W miejscu oparcia krokwi na płatwi wykonane jest wcięcie o głębokości 40mm. Przekrój netto wynosi więc 80×140mm.
A = b · h = 0,080 · 0,140 = 11,2 ·10-3m2
Naprężenie obliczeniowe rozciągające w kierunku równoległym do włókien:
Naprężenia obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:
Dla klasy drewna C22 wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie wynosi ft,0,k = 13,0MPa, a na zginanie fm,y,k = 22,0MPa.
Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności:
<1
Warunek stanu granicznego nośności dla krokwi został spełniony.
Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności
Graniczna wartość ugięcia:
Rys. 19. Wykres ugięcia od obciążenia ciężarem własnym
Rys. 20. Wykres ugięcia od obciążenia śniegiem
Rys. 21. Wykres ugięcia od obciążenia wiatrem
Obciążenie |
kdef |
Składowe obciążenia [mm] |
|
|
|
uinst |
ufin = uinst(1 + kdef) |
ciężar własny (stałe, kl.2) |
0,8 |
0,2 |
0,36 |
śnieg ( średniotrwałe, kl.2) |
0,25 |
0,3 |
0,38 |
wiatr (krótkotrwałe, kl.2) |
0 |
0,2 |
0,2 |
ugięcie sumaryczne |
0,94 |
Tabela 5. Wartości ugięcia krokwi od składowych obciążenia
ufin = 0,94mm < unet,fin = 13,39mm
Warunek stanu granicznego użytkowalności dla krokwi został spełniony.
Ostatecznie przyjęto krokiew o przekroju poprzecznym 80×180mm.
Pozycja obliczeniowa nr 3. Obliczenie kleszczy
Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego
Rys. 22. Schemat statyczny wiązara płatwiowo-kleszczowego
Zestawienie obciążeń
Obciążenia przyjęto takie jak w punkcie 2.2.
Rozwiązanie statyczne
Rozwiązanie statyczne takie jak w punkcie 2.3.
Rozwiązanie wytrzymałościowe
Sprawdzenie stanu granicznego nośności
Maksymalny moment zginający:
M5 = 1,306kNm
Maksymalna siła podłużna:
N5 = 1,483kN (rozciąganie)
Przyjęto przekrój kleszczy 2×38×115
A = 2 · 0,038 · 0,115 = 8,7 · 10-3m2
Naprężenie obliczeniowe rozciągające w kierunku równoległym do włókien:
Naprężenie obliczeniowe od zginania względem osi głównych:
Wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie i zginanie:
kmod = 1,1
Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności:
<1
Warunek stanu granicznego nośności dla kleszczy został spełniony.
Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności
Graniczna wartość ugięcia:
Rys. 23. Wykres ugięcia kleszczy od obciążenia ciężarem własnym
Rys. 24. Wykres ugięcia kleszczy od obciążenia siłą skupioną
Obciążenie |
kdef |
Składowe obciążenia [mm] |
|
|
|
uinst |
ufin = uinst(1 + kdef) |
ciężar własny (stałe, kl.2) |
0,8 |
1,8 |
3,24 |
siła skupiona (krótkotrwałe, kl.2) |
0 |
16,6 |
16,6 |
ugięcie sumaryczne |
19,84 |
Tabela 6. Wartości ugięcia od składowych obciążenia
ufin = 19,84mm < unet,fin = 20mm
Warunek stanu granicznego użytkowalności dla kleszczy został spełniony.
Ostatecznie przyjęto kleszcze o przekroju poprzecznym 2×38×115mm.
Pozycja obliczeniowa nr 4. Obliczenie płatwi
Przyjęto do obliczeń płatew o przekroju poprzecznym 140×200mm.
4.1. Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego
Rys. 25. Schemat statyczny przyjęty do obliczenia płatwi - płaszczyzna pionowa
Rys. 26. Schemat statyczny przyjęty do obliczenia płatwi - płaszczyzna pozioma
4.2. Zestawienie obciążeń
Obciążenie |
Wartość charakt. [kN/m] |
Wsp. obciążenia γf [-] |
Wartość obliczeniowa [kN/m] |
Składowe prostopadłe obciążenia |
Składowe równoległe obciążenia |
||
|
|
|
|
Wartość charakt. [kN/m] |
Wartość obliczeniowa [kN/m] |
Wartość charakt. [kN/m] |
Wartość obliczeniowa [kN/m] |
ciężar własny dachu ciężar własny płatwi 0,140 · 0,2 · 5,5 śnieg 0,7 · 0,53 · 0,9 · 3,99 wiatr połać nawietrzna 0,35·0,8·0,4·1,8·0,9·3,99 |
0,234
0,154
1,332
0,724 |
1,2
1,4
1,3 |
0,271
0,185
1,865
0,941 |
0,234
0,154
1,020
0,499 |
0,271
0,185
1,429
0,649 |
-
-
0
0,419 |
-
-
0
0,545 |
Tabela 7. Zestawienie obciążeń na płatew
Składowa pionowa obciążenia:
qdz = 0,271 + 0,185 + 1,429 + 0,649 = 2,534kN/m
Składowa pozioma obciążenia:
qdy = 0,545kN/m
Rozwiązanie statyczne
Rys. 27. Schemat obciążeń ramy w płaszczyźnie pionowej
Rys. 28. Wykres momentów dla ramy w płaszczyźnie pionowej
Rys.
29. Wykres sił tnących dla ramy w płaszczyźnie pionowej
Rys. 30. Wykres sił normalnych dla ramy w płaszczyźnie pionowej
Rys. 31. Schemat obciążeń ramy w płaszczyźnie pionowej
Rys. 32. Wykres momentów dla ramy w płaszczyźnie poziomej
Rys. 33. Wykres sił tnących dla ramy w płaszczyźnie poziomej
Siły normalne w płaszczyźnie poziomej są równe 0.
Rozwiązanie wytrzymałościowe
Sprawdzenie stanu granicznego nośności
Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna występują w pręcie nr 1:
Mz = 6,013kNm
N = 14,053kN (rozciąganie)
My = 1,183kNm
Przyjęto przekrój płatwi 140×200mm
A = b · h = 0,140 · 0,200 = 28 · 10-3m2
Naprężenie obliczeniowe rozciągające w kierunku równoległym do włókien:
Naprężenie obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:
Wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie i zginanie:
Sprawdzenie stanu granicznego nośności
<1
Warunek stanu granicznego nośności dla płatwi został spełniony.
Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności
Graniczna wartość ugięcia:
Rys. 34. Wykres ugięcia od obciążenia ciężarem własnym
Rys. 35. Wykres ugięcia od obciążenia śniegiem
Rys. 36. Wykres ugięcia od obciążenia wiatrem pionowo
Rys. 37. Wykres ugięcia od obciążenia wiatrem poziomo
Obciążenie |
kdef |
Składowe obciążenia [mm] |
||
|
|
uinst |
ufin = uinst · (1+kdef) |
|
pionowe(z) |
ciężar własny ( stałe, kl. 2) |
0,8 |
3 |
5,4 |
|
śnieg (średniotrwałe, kl. 2) |
0,25 |
6,5 |
8,13 |
|
wiatr (krótkotrwałe, kl. 2) |
0 |
4,3 |
4,3 |
poziome(y) |
wiatr (krótkotrwałe, kl. 2) |
0 |
3 |
3 |
ugięcie sumaryczne |
20,83 |
Tabela 8. Wartości ugięcia płatwi od składowych obciążenia
ufin = 20,83mm < unet,fin = 22,5mm
Warunek stanu granicznego użytkowalności dla płatwi został spełniony.
Ostatecznie przyjęto płatew o przekroju poprzecznym 140×200mm.
Pozycja obliczeniowa nr 5. Obliczenie słupa
Przyjęto do obliczeń słup o przekroju poprzecznym 140×140mm.
5.1. Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego
Schemat statyczny został przyjęty tak jak w punkcie 4.1.
5.2. Zestawienie obciążeń
Obciążenia przyjęto takie jak w punkcie 4.2.
5.3. Rozwiązanie statyczne
Rozwiązanie statyczne takie jak w punkcie 4.3.
5.4. Rozwiązanie wytrzymałościowe
Słup obliczono jako ściskany osiowo siłą P = -18,177kN.
A = b · h = 140 · 140 =19600mm2 = 19,6 · 10-3m2
ly = 2230mm
lz = 900mm < ly - zatem lz pominięto w dalszych obliczeniach
Smukłość względem osi y:
βc = 0,2 (drewno lite)
ky = 0,5 · [1 + βc · (λrel,y - 0,5) + λ2rel,y] = 0,5 · [1 + 0,2 · (0,92 - 0,5) + 0,922] = 0,97
Naprężenie obliczeniowe ściskające w kierunku równoległym do włókien:
Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności
σc,0,d = 0,93 < kc,y · fc,0,d = 0,78 · 12,31 = 9,60MPa
Warunek stanu granicznego nośności dla słupa został spełniony.
Sprawdzenie docisku słupa do płatwi
Powierzchnia docisku słupa do płatwi:
Ad = 140 · 140 = 19600mm2 = 19,6 · 10-3m2
Wytrzymałość obliczeniowa na docisk:
Sprawdzenia naprężeń dokonano dla siły P działającej w górnym odcinku słupa i wynoszącej P = 9,93kN
Sprawdzenie docisku słupa do płatwi
σc,90,d = 0,51MPa < kc,90 · fc,90,d = 1 · 1,48 = 1,48MPa
Warunek docisku słupa do płatwi został spełniony.
Ostatecznie przyjęto słup o przekroju 140×140mm.
Pozycja obliczeniowa nr 6. Obliczenie mieczy
Przyjęto do obliczeń miecze o przekroju poprzecznym 140×75mm i długości l = 1,273m,
usytuowane ukośnie pod kątem α = 45° między płatwią a słupem.
6.1. Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego
Schemat statyczny został przyjęty tak jak w punkcie 4.1.
6.2. Zestawienie obciążeń
Obciążenia przyjęto takie jak w punkcie 4.2.
6.3. Rozwiązanie statyczne
Rozwiązanie statyczne takie jak w punkcie 4.3.
6.4. Rozwiązanie wytrzymałościowe
Miecz obliczono jako ściskany osiowo siłą S = -19,875kN
A = 140 · 75 = 10500mm2
ly = lz = 1273mm
Smukłość względem osi y:
βc = 0,2 (drewno lite)
ky = 0,5 · [1 + βc · (λrel,y - 0,5) + λ2rel,y] = 0,5 · [1 + 0,2 · (1,05 - 0,5) + 1,052] = 1,11
Naprężenie obliczeniowe ściskające w kierunku równoległym do włókien:
Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności
σc,0,d = 1,9MPa < kc,y · fc,0,d = 0,68 · 12,31 = 8,37MPa
Warunek stanu granicznego nośności dla mieczy został spełniony.
Ostatecznie przyjęto miecze o przekroju 140×75mm.
leff
leff