Jezyk J nazywamy jezykiem zdaniowym (lub jezykiem rzedu zerowego), gdy ma on nastepujacewłasnosci:

• słownik jego zawiera: (a) nieskonczenie wiele zmiennych zdaniowych (sa to symbole literowe reprezentujace zdania); (b) skonczona liczbe spójników; (c) nawiasy (pełnia one role znaków interpunkcyjnych zapewniajac formułom jednoznacznosc);

• formułami sa te ciagi znaków ze słownika jezyka J, które sa schematami zdan jakiegos jezyka, np. polskiego.

Schematem bedziemy nazywac wyrazenie zawierajace zmienne. Przez schemat zdaniowy rozumiemy taki schemat, z którego przy wszystkich prawidłowych podstawieniach za zmienne zdaniowe powstaja zdania. A zatem, schemat zdaniowy to cos zbli_onego do formularza zawierajacego rubryki do wypełnienia. Taki formularz ma postac: Jezeli p lub q, to r i s

Przykładem jezyka zdaniowego jest jezyk KRZ

Słownik tego jezyka oprócz zmiennych zdaniowych i nawiasów zawiera wyłacznie spójniki ekstensjonalne:

~ negacja

A ~A

1 0

0 1

^koniunkcja (i, oraz, a, ale)

A B (A) ^ (B)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

v alternatywa (lub)

A B (A)v(B)

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

implikacja jezeli..., to... (jesli..., to..., o ile..., to...)

A B (A)(B)

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

-=- równowaznosc (wtedy i tylko wtedy, gdy (zawsze i tylko, gdy, wówczas, gdy).

A B (A)-=-(B)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Niech prawdziwe bedzie zdanie warunkowe:

Jezeli p, to q.

Wówczas to, o czym mówi zdanie p, jest warunkiem wystarczajacym dla tego, o czym mówi zdanie q, a to, o czym mówi zdanie q jest warunkiem koniecznym dla tego, o czym mówi zdanie p. Mówi sie wtedy skrótowo, ze p jest warunkiem dostatecznym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.

Warunek konieczny (łac. conditio sina qua non - warunek bez którego nie) znaczy: gdyby q nie było prawda, to i p nie byłoby prawda.

Nastepujace znaki tworza słownik jezyka KRZ:

p1, p2, p3, … (zmienne zdaniowe)

~, ^, v, , -=- (spójniki)

), ( (nawiasy).

Wyrazeniem jezyka KRZ jest kazdy skonczony ciag znaków ze słownika. Wyrazenia poprawnie zbudowane („sensowne”) jezyka KRZ nazywamy formułami jezyka KRZ.

(Formuła).

(1) Kazda zmienna zdaniowa jest formuła jezyka KRZ.

(2) Jezeli A, B sa formułami jezyka KRZ, to wyrazenia:

~(A), (A) ^ (B), (A) v (B), (A) (B), (A)-=- (B)

sa takze formułami jezyka KRZ.

(3) Nie ma innych formuł jezyka KRZ poza zmiennymi zdaniowymi i takimi formułami, które powstaja dzieki zastosowaniu reguły (2).

(Podformuła). Dowolna czesc formuły A, która sama jest formuła nazywamy podformuła formuły A. Do podformuł formuły A zaliczamy tez samo A.

Przykład: Podformułami formuły p ~(q ^~r) sa:

p, q, r, ~r, q ^ ~r, ~(q ^ ~r), p ~(q ~r).

Amfibolia to wyrazenie wieloznaczne na skutek swojej niedookreslonej struktury składniowej. W klasyfikacji Arystotelesa jest ona błedem logicznym majacym swe zródło w mowie.

Tautologia KRZ (albo prawem logicznym KRZ) nazywamy formułe jezyka KRZ, która przy dowolnej interpretacji zmiennych zdaniowych zmienia sie w zdanie prawdziwe.

Kontrtautologia KRZ nazywamy formułe jezyka KRZ, która przy dowolnej interpretacji zmiennych zdaniowych zmienia sie w zdanie fałszywe.

Tautologie dotyczace zdan sprzecznych:

p v ~p prawo wyłaczonego srodka (łac. tertium non datur)

~(p ^ ~p) prawo (nie)sprzecznosci

~(p -=- ~p) prawo nierównowaznosci sprzecznosci

p ^ ~p q prawo Dunsa Szkota

Tautologie dotyczace zaprzeczenia:

~~p -=- p silne prawo podwójnego przeczenia

~(p ^ q)-=- (~p v ~q) prawo de Morgana negowania koniunkcji

~(p v q) -=- (~p ^ ~q) prawo de Morgana negowania alternatywy

~(p q ) -=-(p ^ ~q) prawo negowania implikacji

~(p-=- q) -=- (p ^ ~q) v (q ^ ~p) prawo negowania równowaznosci

Tautologie dotyczace implikacji:

(p q) ^ (q r) (p r) prawo sylogizmu hipotetycznego

(p q) ^ p q modus ponendo ponens

(p q) ^ ~q ~p modus tollendo tollens

(p v q) ^ ~p q modus tollendo ponens

(p q) -=- (~q ~p) prawo transpozycji

(p q) ^ (p ~q) ~p prawo redukcji do absurdu (dylematu destrukcyjnego)

Tautologie dotyczace równowaznosci:

(p -=- q) -=- (p q) ^ (q p) prawo rozkładania równowaznosci

(p -=- q) -=- (~p -=- ~q) prawo obustronnego negowania równowaznosci

(Wynikanie logiczne). Z formuł A1, … An wynika logicznie formuła B (na gruncie KRZ) wtw implikacja

A1 ^ … ^ An B jest tautologia KRZ.

Symbolicznie: {A1, …, An}= B wtw (A1 ^ … ^ An B) € Trz (Trz = zbior tautologii KRZ).

• Zdania alfa i beta sa logicznie równowazne wtw formuła A -=- B jest tautologia.

• Dwa zdania sa wzajemnie sprzeczne wtw jedno z nich jest negacja drugiego lub jest logicznie równowazne negacji drugiego.

• Zdanie alfa wyklucza sie ze zdaniem beta wtw ze zdania alfa wynika logicznie negacja zdania beta, czyli formuła A ~B jest tautologia.

• Zdanie alfa dopełnia sie ze zdaniem beta wtw z negacji zdania alfa wynika logicznie zdanie beta, czyli formuła ~A B jest tautologia.

Wnioskowanie nazywamy formalnie poprawnym lub dedukcyjnym wtw jego schematem jest niezawodna reguła

wnioskowania, czyli taka która od przesłanek prawdziwych prowadzi zawsze do prawdziwego wniosku.

Reguła (schematem) wnioskowania nazywamy dowolny

skonczony, co najmniej dwuwyrazowy ciag formuł jezyka KRZ. Ostatnia formułe nazywamy schematem wniosku, a formuły wczesniejsze schematami przesłanek.

(Reguła niezawodna). Reguła wnioskowania A, …, An 1,/B jest niezawodna na gruncie KRZ wtw implikacja

A1 ^ ... ^ An B jest tautologia KRZ (równiez implikacja: A1 [A2 ... (An B)] ).

W przeciwnym przypadku jest ona zawodna.

Reguła wnioskowania A, …, An 1,/B jest niezawodna (na gruncie KRZ) wtw wniosek B wynika logicznie z przesłanek A1, ..., An (na gruncie KRZ).

A zatem, na kazdej tautologii (o postaci implikacji) mozna oprzec pewna niezawodna regułe wnioskowania.

Prawo

(p q) ^ p q modus ponendo ponens

(p q) ^ ~q ~p modus tollendo tollens

(p ^ q) p pr. symplifikacji

(p q) [(q r) (p r)]

pr. sylogizmu hipotetycznego

p (~p q) pr. przepełnienia

Dedukcja nazywa sie wnioskowanie oparte na jakies regule niezawodnej, czyli takie, w którym wniosek wynika logicznie z przesłanek.

Logika daje narzedzie do kontroli niezawodnosci wnioskowan, przede wszystkim dedukcyjnych. Wystarczy sprawdzic, czy wnioskowanie opiera sie na regule niezawodnej. Jezeli wnioskowanie dedukcyjne nie opiera sie na takiej regule, to mówimy, ze popełniono bład formalny.

---