POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE

Pochodną funkcji w punkcie a nazywamy granicę

lim (h=0) (f(a+h) - f(a))/h (iloraz różnicowy funkcji)

Pochodną zapisujemy także df(x)/dx lub dy/dx lub f `(a)

Geometryczna interpretacja .

Mamy krzywą y = f(x) .Przeprowadźmy prostą przez punkty

(a , f(a)) i (a + h , f(a + h)) dla h > 0. Iloraz różnicowy jest tg kąta nachylenia siecznej. Graniczne położenie , do którego zmierza sieczna gdy h dąży do 0 uważać będziemy za położenie stycznej. Zatem f `(a) = tg a , gdzie a jest kątem utworzonym przez kierunek dodatni stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie a z kierunkiem dodatnim osi X.

Mówimy że funkcja jest różniczkowalna na przedziale otwartym jeśli posiada pochodną skończoną w każdym punkcie tego przedziału . Jeśli mówimy że funkcja jest różniczkowalna na przedziale domkniętym to zakładamy że posiada pochodna w każdym punkcie wewnątrz przedziału i pochodną jednostronną na krańcach przedziału.

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x to jest w tym punkcie ciągła.

DOWÓD

Lim (f(x + h) - f(x)) = lim (f(x + h) - f(x))/h * lim h = 0

lim f(x + h) = f(x);

EXTREMA FUNKCJI

Niech f określone w pewnym otoczeniu punktu a .

Jeśłi istnieje & > 0 że /h/ < & pociąga

f(a + h) <= f(a) to funkcja f ma maximum w punkcie a.

Jeśli /h/ < & pociąga

f(a + h) >= f(a) to funkcja ma w minimum w punkcie a.

TW1.Jeśli funkcja f określona w przedziale a <= x <= b osiąga kres górny w punkcie c położonym wewnątrz tego przedziału (a < c < b) to funkcja w tym punkcie posiada też maximum.

TW2.Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie c i posiada w tym punkcie extremum to

f `(c) = 0.

DOWÓD

Funkcja f ma maximum w c. Niech więc liczba & > 0 będzie tak dobrana ażeby dla /h/ < & zachodziło f(c + h) - f(c) <= 0.

Wtedy (f(c + h) - f(c))/h <= 0 dla h > 0 ;

(f(c + h) - f(c))/h >= 0 dla h < 0.

Z założenia istnieje pochodna f `(c) więc

f `+(c) = f `-(c) = f `(c)

Zatem f `+(c) <= 0 <= f `-(c) stąd f `+(c) = 0 = f `-(c) więc f `(c) = 0.

TWIERDZENIE ROLLE'A

Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale domkniętym

a <= x <= b i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału. Jeśli f(a) = f(b) to istnieje takie c, że a < c < b oraz f`(c) = 0.

DOWÓD

Dla funkcji stałej dla każdego z x z ab f'(x) = 0

Załóżmy że funkcja f przyjmuje wartości większe od f(a). Oznaczając przez M kres górny tej funkcji mamy więc M > f(a).Zgodnie z tw Weierstrassa istnieje takie c w przedziale ab że f(c) = M. Przy tym

a <> c <> b ponieważ z założenia f(a) = f(b) . A zatem a < c < b. Znaczy to że funkcja osiąga kres górny w punkcie c położonym wewnątrz przedziału ab. Według tw 1 osiąga w tym punkcie maximum oraz f '(c) = 0 (z tw2)

Geometryczna interpretacja : jeśli krzywa posiadająca w każdym punkcie styczną przecina prostą równoległą do osi X w dwóch punktach to w pewnym punkcie tej krzywej styczna jest równoległa do osi X.

Inaczej TR : jeśłi f(x) = f(x + h) to istnieje takie O że

f `(x + Oh) = 0 dla 0 < O < 1.

Nie zakładamy że h > 0 tylko że h <> 0

TWIERDZENIE LAGRANGE'A O WARTOŚCIACH ŚREDNICH (przyrostach skończonych)

Funkcja f jest ciągła w przedziale a <= x <= b i różniczkowalna wewnątrz przedziału.

F(b) - f(a) / b - a = f `(a + Oh)

gdzie h = b - a , oraz 0 < O < 1

DOWÓD

Określamy

g(x) = f(a) - f(x) + (x - a)(f(b) - f(a)) / (b - a)

G(x) jest ciągła w ab i różniczkowalna

G'(x) = - f `(x) + (f(b) - f(a)) /(b - a) oraz g(a) = g(b) = 0 .

A zatem funkcja g'(x) zeruje się gdzieś między a i b .

Istnieje więc takie O , że 0 < O < 1 oraz g'(a + Oh) = 0 .Podstawiając

G'(a +Oh) = 0 = - f '(a + Oh) + f(b) - f(a) / (b - a)

Inna postać dla tw. Lagrange'a

F(x + h) = f(x) + h*f '(x + Oh).

TW2 : Jeżeli f `(x) = 0 dla każdego x położonego wewnątrz przedziału ab to funkcja f ma w tym przedziale wartość stałą.

DOWÓD

Dla każdego x i h f(x + h) = f(x) co oznacza że funkcja ma wartość stałą.

TW3 : Jeżeli dla a < x < b mamy stale f `(x) = g `(x) to f(x) = g(x) + const - funkcje różnią się między sobą o stałą.

DOWÓD

(f(x) - g(x))' = f `(x) - g `(x) = 0 , co oznacza że funkcja f(x) - g(x) jest stała.

Przyjmując f(x) - g(x) = C, mamy f(x) = g(x) + C.

TWIERDZENIE CAUCHYEGO

Jeżeli funkcje f i f1 są ciągłe w całym przedziale a <= x <= b , a wewnątrz różniczkowalne i jeżeli f1 `(x) <> 0 dla żadnego x, to

F(b) - f(a) / f1(b) - f1(a) = f `(a + Oh) / f1 `(a + Oh)

DOWÓD

TW C => TW L

Podstawić f1(x) = x;

TW L => TW C

g1(x) = f(a) - f(x) + (f1(x) - f1(a))(f(b) - f(a)) / (f1(b) - f1(a))

g1(a) = g1(b) = 0

zatem istnieje takie O, że g1'(a + Oh) = 0.

Podstawiając x = a + Oh

Inna postać:

f(x + h) - f(x) / f1(x + h) - f1(x) = f ` (x + Oh) / f1'(x + Oh)

TWIERDZENIE O ZNAKU POCHODNEJ

Jeżeli dla każdego x należącego do przedziału ab zachodzi nierówność f `(x) > 0 to funkcja f jest na tym przedziale rosnąca . Jeśli stale f `(x) < 0 to funkcja f jest malejąca.

DOWÓD

Ze wzoru f(x + h) = f(x) + hf `(x + Oh) dla h > 0: f(x + h) > f(x) - pochodna dodatnia => funkcja rośnie - lub f(x + h) < f(x) - pochodna ujemna => funkcja maleje;

TW ODWROTNE

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie c i rośnie (względnie maleje) w pewnym otoczeniu tego punktu to f `(c) >= 0 (względnie

f `(c) <= 0)

DOWÓD

Dla h > 0 f(c + h) - f(c) > 0 zatem f(c + h) - f(c) / h > 0.

Przechodząc do granicy f `(c) >= 0

---