Indukcja elektromagnetyczna

przewodnik poruszający się w polu magnetycznym

Rozpatrzmy odcinek obojętnego elektrycznie przewodnika, przez który nie przepływa prąd elektryczny. Rozważana długość przewodnika niech wynosi
i jej orientacja jest zgodna z osią y ; przewodnik niech porusza się w kierunku osi x z prędkością
.

Jeżeli taki przewodnik porusza się w polu magnetycznym o indukcji
- jak na rys., to na pojedyncze elektrony (ujemne ładunki swobodne) działa siła pola magnetycznego

gdzie e - jest wartością bezwzględną ładunku elektronu.

Pod wpływem tej siły, elektrony przemieszczają się do góry, u dołu zaś pozostaje efektywny ładunek dodatni. Tak więc w przewodniku indukuje się pole wewnętrzne elektryczne o natężeniu
, skierowane do góry - które z kolei działa na elektrony siłą

skierowaną w dół, czyli przeciwnie do siły
.

Obie siły - magnetyczna i elektryczna - działają równocześnie na elektrony; przemieszczają się one więc aż do osiągnięcia stanu równowagi, w którym zachodzi

Uwzględniając wyrażenia opisujące siły
, otrzymujemy relację

z której wynika, że natężenie pola zaindukowanego jest opisane wzorem

a na końcach przewodu pojawia się napięcie, które nazywamy siłą elektromotoryczną (SEM) indukcji, i które na podstawie ostatniego rysunku można zapisać

Zastąpienie iloczynu
przez
wynika stąd , że przedstawia sobą pole zakreślone przez poruszający się przewodnik w jednostce czasu. Ostatecznie, wzór na SEM indukcji przepisujemy

gdyż na podstawie ogólnej definicji -
- stanowi elementarny strumień wektora indukcji magnetycznej.

Wyżej otrzymana zależność pozwala stwierdzić, że:

SEM indukcji powstająca między końcami przewodnika jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia magnetycznego zakreślonego przez poruszający się przewodnik w polu magnetycznym.

indukcja elektromagnetyczna w obwodzie nieruchomym

Rozpatrzmy doświadczenia:

a). do wnętrza nieruchomego solenoidu, w obwodzie którego znajduje się miernik prądu, wsuwamy i wysuwamy magnes stwierdzamy, że miernik się wychyla w jedną i drugą stronę; kierunek wychylenia miernika zależy m.in. od tego, który biegun magnesu jest wprowadzany do wnętrza solenoidu.

b). wewnątrz solenoidu, jak w punkcie a)., znajduje się mały solenoid podłączony do obwodu, w którym jest źródło napięcia i klucz zwierający i rozwierający obwód.

Gdy przez obwód płynie prąd stały (niezmienny w czasie) stwierdzamy brak wychylenia miernika, natomiast zwieranie i rozwieranie klucza powoduje pojawienie się wskazań miernika, tzn. wtedy w obwodzie większego solenoidu płynie prąd.

Obserwowany efekt w tych ( a także innych -podobnych) doświadczeniach -pojawianie się prądu indukowanego w obwodzie zamkniętym, nie daje się wytłumaczyć na podstawie dotychczas omówionych zagadnień z magnetostatyki.

Zjawisko to ma jakościowo odrębny charakter; inny niż wcześniej poznane - zostało nazwane zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej; objaśnienie jego zostało podane przez Faradaya.

Przyjmujemy za Faradayem, że w tym zjawisku - czynnikiem odpowiedzialnym za przepływ prądu jest powstanie napięcia indukowanego czyli SEM indukcji w obwodzie a czynnikiem odpowiedzialnym za to napięcie są zmiany w czasie strumienia magnetycznego
.

SEM indukcji opisuje ten sam wzór, jak dla przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym, tzn.

zwany prawem Faradaya indukcji elektromagnetycznej, które słownie można sformułować:

w obwodzie znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym indukuje się SEM indukcji równa ujemnej szybkości zmian, objętego przez obwód, strumienia magnetycznego wektora
.

a) pole magnetyczne wytworzone b) jeżeli dla zewnętrznego pola

przez obwód zamknięty z prądem
, to prąd indukowany I_ind w

- strumień magnetyczny
. obwodzie powoduje powstanie
.

Warto zwrócić uwagę, że elementarna siła elektromotoryczna indukcji powstała w danym miejscu obwodu spełnia rolę źródła prądu względem pozostałej części obwodu; stąd też kierunek przepływu I_ind oraz zwrot
są takie same (p. rys. b)).

Interpretacja efektów indukcji elektromagnetycznej bezpośrednio na podstawie prawa Faradaya może być dość kłopotliwa, dlatego najczęściej korzysta się do tego celu z prostszej metody zwanej regułą Lenza, która stwierdza:

Prąd indukcyjny jest zawsze skierowany tak, aby przeciwdziałać przyczynie , która go wywołuje.

Należy podkreślić, że reguła Lenza nie jest nowym prawem elektrodynamiki - ma znaczenie wyłącznie interpretacyjne wzoru prawa Faradaya
.

Zjawisko samoindukcji

Przez to zjawisko rozumiemy - powstawanie SEM indukcji w obwodzie pod wpływem zmian prądu w nim płynącego.

Z prawa Biota-Savarta wynika, że rozkład pola magnetycznego wytwarzany przez obwód z prądem zależy wyłącznie od geometrii układu a wartości wektora
są proporcjonalne do natężenia prądu płynącego w obwodzie.

Oznacza to, że strumień magnetyczny wytwarzany przez obwód jest także proporcjonalny do I, co możemy zapisać w postaci

gdzie: L - nosi nazwę indukcyjności obwodu.

*

Zauważmy, że jednostką strumienia wektora
jest 1 weber (1 Wb = 1Vs)

jak to wynika z powyższego przeliczenia jednostek.

Jednostką indukcyjności L w SI jest 1 henr (1 H) i jak widać ze wzoru definicyjnego tej wielkości

1 H = 1 Wb / A

*

W przypadku długiego solenoidu możemy znaleźć jego indukcyjność biorąc pod uwagę, że:

-z prawa Ampera, indukcja magnetyczna jest równa

gdzie: n - jest liczbą zwojów na jednostkę długości,

-strumień indukcji związany z pojedynczym zwojem wynosi

gdzie: S - stanowi pole przekroju poprzecznego solenoidu,

-strumień indukcji związany z całym solenoidem

gdzie: l - jest długością solenoidu.

Tak więc, indukcyjność solenoidu wyraża się wzorem

gdzie: V - jest objętością solenoidu.

*

Jeżeli natężenie prądu płynącego w solenoidzie zmienia się w czasie, to także zmienia się całkowity strumień indukcji
przepływający przez zwoje solenoidu.

Zgodnie z prawem Faradaya - powstaje SEM, którą nazywamy w tym przypadku SEM samoindukcji - którą opisuje wzór

i jeśli L = const, co najczęściej ma miejsce, to otrzymujemy

Energia pola magnetycznego

Rozpatrzmy obwód, jak na rys. poniżej.

Gdy klucz k jest zamknięty, przez solenoid płynie stały prąd I, a wewnątrz niego istnieje pole magnetyczne. Na utworzenie tego pola potrzebna była energia, której pierwotnym źródłem jest źródło prądu.

Gdy źródło prądu zostaje odłączone od obwodu (klucz rozwarty), przez rezystancję R przepływa zanikający w czasie prąd elektryczny, podtrzymywany

przez powstałą SEM samoindukcji solenoidu.

Jeśli w chwili t w obwodzie R L płynie prąd i = i(t) a chwilowa wartość SEM samoindukcji wynosi
, to praca prądu w czasie t - t + dt wynosi

Biorąc pod uwagę prawo Faradaya oraz korzystając z definicji indukcyjności
, otrzymujemy na pracę elementarną

Całkowita praca, wykonana w procesie zaniku prądu w obwodzie wynosi

i odbywa się kosztem zgromadzonej w solenoidzie energii pola magnetycznego.

Zatem, gdy przez dowolny element o indukcyjności L płynie prąd I , to energia pola magnetycznego związana z tym przewodem jest opisana wzorem

W przypadku bardzo długiego solenoidu energia ta jest równomiernie rozmieszczona w całej jego objętości .

Wcześniej pokazaliśmy, że dla solenoidu:
.

Stąd możemy przedstawić
. Otrzymujemy wtedy wzór na energię pola magnetycznego w solenoidzie

skąd wynika , że gęstość energii tego pola opisuje wyrażenie

które zazwyczaj przedstawia się w postaci, uwzględniającej wektorowy charakter natężenia i indukcji pola

Ważny on jest nie tylko w przypadku próżni, ale także w dowolnym środowisku magnetycznym.

I prawo Maxwella

I prawo Maxwella stanowi uogólnienie prawa Ampera

które zostało sformułowane w odniesieniu do prądów płynących w przewodnikach, inaczej mówiąc - prądów przewodzonych.

Biorąc pod uwagę, że przez powierzchnię S wyznaczoną linią zamkniętą l mogą przepływać prądy przewodzone o różnych gęstościach, możemy bardziej ogólnie zapisać prawo Ampera w postaci

Okazuje się jednak, że efekt (źródłowy) wytworzenia pola magnetycznego jest nie tylko związany z prądem przewodzenia.

W doświadczeniu Rowlanda krążek dielektryczny został naładowany powierz-chniowo ładunkiem i wprawiony w ruch obrotowy. Zachodził tutaj ruch uporządkowany materii obdarzonej ładunkiem, co określa się jako prąd konwekcyjny, gdyż nie jest to ruch ładunków swobodnych. Stwierdza się, że wokół obracającego się krążka powstaje pole magnetyczne, identyczne jak w przypadku przewodnika kołowego z prądem.

Pomiary dokonane w czasie ładowania i rozładowania kondensatora pokazują, że pole magnetyczne towarzyszące tym procesom jest takie, jak by w obszarze między płytkami kondensatora płynął taki sam prąd jaki występuje w przewodach doprowadzających ładunki do kondensatora.

Rozpatrzmy bliżej np. proces ładowania kondensatora płaskiego:

jeśli w chwili t w obwodzie płynie prąd o natężeniu I(t), to w czasie dt do każdej z okładek kondensatora dopływa ładunek

dq = I(t) dt

Na podstawie prawa Gaussa

zatem

i stąd otrzymujemy związek, obowiązujący dla pola jednorodnego w kondensatorze płaskim

pomiędzy natężeniem prądu ładującym kondensator i towarzyszącymi mu zmianami pola elektrycznego wewnątrz kondensatora.

W ogólnym przypadku, gdy pole elektryczne jest niejednorodne, powyższy związek przyjmuje postać

gdzie:
jest strumieniem wektora
przez powierzchnię S.

Maxwell zinterpretował w powyższej zależności jej prawą stronę w ten sposób, że należy ją traktować tak samo jak prąd przewodzony lub konwekcyjny - została ona nazwana prądem przesunięcia, który w przypadku ładowania kondensatora stanowi kontynuację prądu przewodzonego.

W obszarze, gdzie równocześnie występuje prąd przewodzony i zachodzą zmiany ( w czasie) pola elektrycznego całkowity prąd jest sumą prądów przewodzenia i przesunięcia, tzn.

a prawo Ampera ulega rozszerzeniu / modyfikacji do postaci

która nosi nazwę I prawa Maxwella i orzeka:

każdemu prądowi elektrycznemu (przewodzonemu, konwekcyjnemu, przesunięcia) towarzyszy pole magnetyczne, przy czym siła magnetomotoryczna na obwodzie powierzchni S jest równa całkowitemu natężeniu prądu przepływającemu przez tę powierzchnię pomnożonemu przez przenikalność magnetyczną próżni
.

II prawo Maxwella

Stanowi uogólnienie prawa Faradaya indukcji elektromagnetycznej

poprzez bliższe objaśnienie i podanie interpretacji pojęcia siły elektro-motorycznej
.

Wg Maxwella zmiany pola magnetycznego w czasie powodują w obwodzie

zamkniętym pojawienie się SEM indukcji

i przepływ w nim prądu elektrycznego I , czyli uporządkowanego ruchu ładunków.

Oznacza to, że wewnątrz przewodnika istnieje pole elektryczne indukowane przez zmiany pola magnetycznego.

Maxwell przyjął, że indukowane pole elektryczne powstaje nie tylko wewnątrz przewodnika, ale w całym obszarze zmian pola magnetycznego, niezależnie od tego, czy w danym miejscu znajduje się przewodnik czy też nie.

Rozważmy obwód otwarty, znajdujący się w zmieniającym się w czasie polu magnetycznym (rys. poniżej).

W obwodzie tym prąd elektryczny nie płynie, a za pomocą miernika napięcia stwierdzamy na końcach otwartej pętli istnienie napięcia, czyli SEM indukcji. Oznacza to, że indukowane natężenie pola
spowodowało przesunięcie ładunków swobodnych tak, że na jednym końcu pętli zebrał się ładunek dodatni a na drugim ładunek ujemny.

Jeżeli wewnątrz pętli poprowadzimy linię od

jednego do drugiego końca, to jak widać z rysunku, SEM indukcji należy zapisać

Gdy końce takiej pętli zostaną zwarte - płynie w niej prąd - a SEM indukcji, wyraża się wzorem

Jak widać z powyższej zależności, indukowane pole elektryczne nie jest polem potencjalnym (elektrostatycznym), dla którego - z definicji -obowiązuje relacja
.

Pole elektryczne indukowane nazywamy polem wirowym.

Tak więc dla linii zamkniętych, uwzględniając prawo indukcji Faradaya, otrzymujemy relację

która stanowi zapis II prawa Maxwella w postaci wzoru.

Słownie II prawo Maxwella można sformułować:

dookoła obszarów, w których zachodzi zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej
powstaje wirowe pole elektryczne, przy czym SEM indukcji jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia magnetycznego.

- 11 -

E:\wykłady IN zaoczne\III_Elektrodynamika\4_indukcja elektromagnetyczna.doc

x

y

N S

I

x

I_ind

x

+++++++++++++++++++++++++++

--------

+

+

+

+

+

S

I(t)

K

I_ind

V

--

+

k

R

L

---