34.a) W jaki sposób oblicza się całkę powierzchniową niezorientowaną?

Definicja: Gładkim płatem powierzchniowym (względem płaszczyzny OXY) nazywamy wykres funkcji

z = f(x, y), (x, y)∈D

klasy C¹(D), gdzie D oznacza obszar regularny o jednospójnym wnętrzu.

Mam dany płat powierzchniowy S o równaniu z = f(x, y), (x, y)∈(D) oraz funkcję F(x, y, z), określoną i ograniczoną na tym płacie.

Niech P będzie prostokątem domkniętym, określonym nierównościami a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d.

Prostokąt dzielimy na n prostokątów P₁, P₂, ..., P_n o polach Δσ₁, Δσ₂, ..., Δσ_n. Niech δ_n będzie średnicą tego podziału, czyli największą z długości prostokątów P₁, P₂, ..., P_n. W każdym z prostokątów wybieramy punkt A_k'(x_k; y_k), który jest rzutem punktu A_k(x_k; y_k) znajdującego się na powierzchni S. Symbolem ΔS_k oznaczmy pole tej części płaszczyzny stycznej do S w punkcie A_k, której rzutem na płaszczyznę OXY jest P_k.

Definicja: Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P ciąg sum jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnie od wyboru punktów A_k', to tę granicę nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji F(x, y, z) po płacie gładkim i oznaczamy symbolem

Dodatkowo jeśli funkcja F(x, y, z) jest ciągła na gładkim płacie S, to zachodzi równość

gdzie D jest rzutem płata powierzchniowego S na płaszczyznę OXY.

34.b) Obliczyć pole płata powierzchniowego, który powstaje przez przecięcie powierzchni x²+y²+z-2 płaszczyzną z=1.

---