ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE NA EGZAMIN ZE STATYSTYKI
Informacje pomocnicze
Przy rozwiązywaniu poniższych zadań możesz wykorzystać poniższe kwantyle
t(0,05,8) = -1,85; t(0,025,8) = -2,3; t(0,05; 9) = -1,83,
z(0,025) = -1,96; z(0,05) = - 1,64
chikwadrat(0,95;10) = 18,3; chikwadrat(0,95,11) = 19,67.
Uwaga: we wszystkich zadaniach poziom istotności alfa = 5%.
Inwestorzy na giełdzie koncentrują się na miarach rozrzutu pozycji inwestycyjnych, między innymi na wariancji. Jeden z inwestorów twierdzi, iż jego pozycja inwestycyjna ma mniejsze ryzyko (mniejszą wariancję) niż 1. Celem zweryfikowania tej hipotezy, zbadano jedenaście kolejnych zwrotów, dla których wariancja próbkowa wyniosła 1,4.
Jakie metody statystyczne należy wykorzystać, aby sprawdzić czy wariancja badanej pozycji inwestycyjnej jest większa od 1 czy też równa 1 ?
Jakie założenia są niezbędne do przeprowadzenia obliczeń w części a ?
Wykonaj stosowne obliczenia i sprawdź czy stwierdzenia inwestora są prawdziwe.
Niektorzy twierdza, ze gleboka hipnoza moze powiekszyc zdolnosci odbierania sygnalow kosmicznych. Celem sprawdzenia tej ciekawej hipotezy, wybrano losowo 15 osob i kazdej z nich zadano po 100 sprawdzajacych pytan. Kazde z pytan zawieralo 5 mozliwych odpowiedzi. Okazalo sie, ze az 326 odpowiedzi bylo poprawnych! Czy wynik ten potwierdza hipoteze o wplywie glebokiej hipnozy na zdolnosc odbierania sygnalow kosmicznych ?
Producent rur kanalizacyjnych rozwaza wprowadzenie nowych typow lakierow chroniacych rury przed korozja. Miara korozji rury jest maksymalna glebokosc wzeru korozyjnego na powierzchni rury. Standardowe lakiery zapewnialy maksymalna glebokosc wzeru korozyjnego na poziomie mi = 0,2 mm. Nowy lakier, po przeprowadzeniu odpowiednich testow starzeniowych na 10 rurach, dal nastepujace wyniki
Srednia glebokosc wzeru = 0,15 mm
Standardowe odchylenie probki = 0,08.
Przeprowadz test hipotezy iz nowy lakier zapewnia lepsza ochrone antykorozyjna w porownaniu ze standardowym lakierem. Przedyskutuj zalozenia niezbedne do przeprowadzenia takiego testu.
Dziewięć rozwijających się krajów Europy Środkowej opublikowało ostatnio dane dotyczące nakładów ponoszonych na rozwój statystyki. Okazało się, że średnia wydatków to 30 milionów euro rocznie a standardowe odchylenie to 2 miliony rocznie.
Podaj metodę konstruowania przedziału ufności dla wartości oczekiwanej μ nakładów na statystykę. Przedyskutuj niezbędne założenia których spełnienie warunkuje zastosowanie stosowanej metody a następnie oblicz krańce tego przedziału ufności.
Przeprowadź test hipotezy H0: μ = 25 mln przy dwustronnej alternatywie.
Czy wartość p próbkowego poziomu istotności w teście z punktu b) jest mniejsza niż 5 %
W trakcie festiwalu nauki odbywającego się na krakowskim rynku studenci informatyki Politechniki Krakowskiej przeprowadzili ciekawy eksperyment. W sposób losowy wybrali 100 respondentów i zadali im następujące pytanie: „czy wiesz co to jest wartość p ?”.Pozytywnej odpowiedzi udzieliło 20 respondentów.
Przed zebraniem odpowiedzi studenci informatyki PK byli przekonani, że w przybliżeniu co ósma osoba odpowie twierdząco na postawione pytanie. Czy wyniki ankiety powinny wpłynąć na zmianę przekonań studentów PK ? Podaj szczegółowe uzasadnienie zastosowanej metody statystycznej.
Niech X ilość twierdzących odpowiedzi na identyczne pytanie w tych samych warunkach eksperymentalnych dla innej losowo wybranej grupy 64 osób. Jak obliczyć P { X >= 30} ? Podaj szczegółowe uzasadnienie zastosowanej metody statystycznej
Dane Amerykańskiego Stowarzyszenia Weterynarii wskazują iż miesięczny koszt wydatków medycznych na psa to zmienna losowa X o rozkładzie normalnym ze średnią 100 dolarów i standardowym odchyleniem 30 dolarów. Podobnie, miesięczny koszt wydatków medycznych na kota to zmienna losowa Y o rozkładzie normalnym ze średnią 125 dolarów i standardowym odchyleniem 40 dolarów.
Odpowiedz na poniższe pytania
Jakie jest prawdopodobieństwo iż posiadacz psa wyda na koszty medyczne więcej niż 130 dolarów w ciągu miesiąca ?
Jakie jest prawdopodobieństwo iż posiadacz kota wyda na koszty medyczne więcej niż 165 dolarów w ciągu miesiąca ?
Jakie jest prawdopodobieństwo że koszty wydatków medycznych na psa są wyższe niz koszty wydatków medycznych na kota ?
Test wykrywający chorobe X z prawdopodobieństwem 90% wykrywa tą chorobę jeśli badany jest chory na X. Jeśli badany nie jest chory na chorobę X wtedy z prawdopodobieństwem 95% test wskaże iż badany nie jest chory na chorobę X. Wiemy też że w populacji około 10% osób jest chore na X.
Odpowiedz na poniższe pytania
Wykorzystując twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym oblicz jakie jest prawdopodobieństwo że dla losowo wybranej osoby z populacji test wskaże iż jest chora.
Wykorzystując wzór Bayesa oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo iż osoba, której wynik testu na chorobę X był pozytywny jest RZECZYWIŚCIE chora na tą chorobę. Skomentuj uzyskany wynik.
Losowo wybrana próba 100 komputerów została poddana badaniu na obecność wirusów. Obliczenia wskazały, iż przeciętna ilość wirusów to 3 a standardowe odchylenie wynosi 1.
Wykorzystując regułe trzy sigma oblicz 95% procentowy przedział ufności dla przeciętnej ilości wirusów na komputerze.
Wykorzystując regułe Czebyszewa oblicz 95% procentowy przedział ufności dla przeciętnej ilości wirusów na komputerze.
Które z obliczeń - punkt a czy punkt b - są bardziej dokładne ? Odpowiedź uzasadnij.
Wczoraj w przychodni akademickiej przy ulicy Armii Krajowej 5 pojawiło się łącznie 80 studentów PK kierunku informatyka, z tego 20 studentów I roku, 35 studentów II roku i 25 III roku. Przeciętnie, wśród studentów I roku informatyki PK odnotowuje się podwyższone OB w 12% przypadków, wśród studentów II roku w 20% przypadków natomiast wśród studentów II roku w 5% przypadków.
Wybieramy losowo studenta ze wspomnianej grupy 80 studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo że ma podwyższone OB ?
Wybrany losowo student miał podwyższone OB. Jakie jest prawdopodobieństwo że jest z III roku studiów ?
W grupie 50 studentów 12 jest krótkowidzami. Wybrano losowo 5 studentów. Niech X - oznacza ilość krótkowidzów w grupie.
Jaki jest rozkład zmiennej losowej X ? Podaj tabelkę rozkładu.
Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja X ?
Jak zmienią się odpowiedzi na pytania a) i b) jeśli wybierzemy 5 studentów z grupy 50 000 studentów wśród których 10 000 jest krótkowidzami.
Na szynie danych mikroprocesora STAT500 praca powodująca „zawieszenie się” systemu pojawia się z prawdopodobieństwem 1%. Niech X - ilość zawieszeń systemu w trakcie realizacji 100 zadań.
Jaki jest rozkład X ? Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję.
Jak zmieni się odpowiedź na a) jeśli będziemy obserwować realizację 10 zadań?
Niech X - zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym z parametrami n = 50 oraz p = 1/5.
Podaj wartość oczekiwaną i wariancję X.
Jakie jest prawdopodobieństwo że zmienna X jest większa niż 70 ? Odpowiedź uzasadnij.
W trakcie pakowania napoju PKola do 12 puszkowych zgrzewek okazało się że omyłkowo 3 puszki napoju PKola zero kalorii trafiło do 12 puszkowej zgrzewki oznaczonej PKola-regular. Studenci w trakcie dyskoteki otworzyli tą 12 puszkową zgrzewkę i losowo wyciągneli dwie puszki.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że obydwie puszki zawierają napój PKola zero kalorii ?
Jakie jest prawdopodobieństwo że jedna puszka to napój PKola-regular a druga to PKola zero kalorii ?
Celem oszacowania przeciętnej ceny mi metra kwadratowego nieruchomości w Krakowie zebrano dane z losowo wybranych 64 mieszkań na sprzedaż. Przeciętna z tej prónby wyniosła 5000 zł a standardowe odchylenie 1000 zł.
Skonstruuj 95% przedział ufności dla przeciętnej ceny mi metra kwadratowego nieruchomości w Krakowie.
Przeprowadź test hipotezy Hzero: mi = 6000. Wybierz właściwą hipotezę alternatywną, przedyskutuj założenia niezbędne do przeprowadzenia testu, oblicz wartość statystyki i podaj obszar krytyczny - albo wartość p - dla tej statystyki. Czy Hzero należy odrzucić ?
Niech Y - zmienna losowa o rozkładzie normalnym z parametrami mi = 120 oraz sigma = 40.
Oblicz prawdopodobieństwo, że Y jest mniejsze niż 40.
Czy jest możliwe że Y jest większe niż 300 ?