Równanie różniczkowe Bernoullego

Równaniem różniczkowym Bernoullego nazywamy równanie:

(1)

gdzie funkcje f i g są ciągłe w pewnym wspólnym przedziale oraz gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Dla
równanie (1) jest równaniem różniczkowym niejednorodnym.

Dla
równanie (1) jest równaniem różniczkowym jednorodnym.

W dalszym ciągu zakładamy, że

Równanie (1) rozwiązujemy przez podstawienie
co wyjaśnimy na kilku przykładach.

W rachunkach towarzyszy nam kalkulator ClassPad 300.

Przykład 1. Rozwiązać równanie:

Dzielimy nasze równanie przez
przy założeniu, że

(2)

i podstawiamy

Stąd

gdyż u zależy od x. Stąd

i po podstawieniu do (2) otrzymujemy:

(3)

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (niejednorodne). Sposób rozwiązywania takich równań omówiliśmy w części Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu.

Równanie rozwiążemy szybko na ClassPadzie:

Wobec tego

czyli

Jest to całka ogólna równania (2) w postaci uwikłanej.

Ponadto stwierdzamy, że funkcja
jest całką szczególną naszego równania.

Sprawdźmy na ClassPadzie:

Wynik otrzymujemy błyskawicznie, choć różni się zapisem od znalezionego przez nas i brak całki szczególnej.

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

Zauważmy, że funkcja
jest całką szczególną naszego równania. Możemy więc założyć, że

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (niejednorodne). Sposób rozwiązywania takich równań omówiliśmy w części Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu. Równanie rozwiążemy szybko na ClassPadzie:

To jest całka ogólna danego równania różniczkowego.

Sprawdźmy na ClassPadzie:

Pamiętajmy o całce szczególnej!

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

przy warunku początkowym

Liczymy kolejno:

Ze względu na warunek początkowy widać, że

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (niejednorodne). Sposób rozwiązywania takich równań omówiliśmy w części Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu. Równanie rozwiążemy szybko na ClassPadzie:

Uwzględniając warunek początkowy, dostajemy:

Wobec tego rozwiązaniem naszego zadania jest funkcja:

Sprawdźmy na ClassPadzie:

To samo !!!

---