Zestaw 1.

1. Podać określenie układu inercjalnego.

Układ inercjalny to układ odniesienia względem którego cząstka nie podlega oddziaływaniu (swobodna) spoczywa lub jest w ruchu jednostajnym po linii prostej (ze stałą prędkością).I zasada dynamiki Newtona nazywa się często zasadą bezwładności a układ odniesienia, układem inercjalnym.

2. II zasada dynamiki Newtona w układzie nie inercjalnym poruszającym się prostoliniowo.

W układzie inercjalnym słuszne jest prawo
, gdzie
jest wypadkową sił „rzeczywistych” (mających źródło).

Rów. Newtona w układzie nie inercjalnym

Ponieważ
oraz
, to możemy napisać
lub
gdzie
jest siłą bezwładności w nie inercjalnym układzie poruszającym się prostoliniowo.

W układzie nie inercjalnym obserwujemy jakąś siłę której źródłem jest samo przyspieszenie w tym układzie. F_b to siła bezwładności jest siłą pozorną bo nie ma źródła w oddziaływaniach fundamentalnych.

3. Określić wektor położenia środka masy układu N cząstek i wektor prędkości środka masy.

a) wektor położenia środka masy układu.

b) wektor prędkości środka masy

; M - masa całkowita układu,
- prędkość środka masy.

P=M*Y_śm ;

4. Wartość przyspieszenia statycznego w ruchu pewnego ciała po torze krzywoliniowym wynosi
. Wiemy, że przyspieszenie całkowite jest skierowane pod kątem α = 60° do przyspieszenie stycznego. Jaką ma prędkość liniową to ciało w tej chwili, jeżeli promień krzywizny toru wynosi r = 4 m.

,α = 60°, r = 4 m,

,

,

,

5. Jaką część całkowitej energii stanowi energia kinetyczna, a jaką potencjalna, jeżeli w ruchu harmonicznym nie tłumionym przemieszczenie ciała w pewnej chwili wynosi pół amplitudy.

Zestaw 2.

1. Przytoczyć definicję wektora prędkości kątowej
i przyspieszenia kątowego
oraz podać ich związki
z wektorami prędkości liniowej i przyspieszenia liniowego w ruchu obrotowym.

Prędkość kątowa - jest to wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy ciała, opisana wzorem:

,

- pr. liniowa
,

- pr. liniowa związana z obrotem
,

Prędkość liniowa w ruchu kołowym równa się iloczynowi chwilowej prędkości kątowej i odległości r od osi obrotu.

Przyspieszenie kątowe - wielkość pseudowektorowa charakteryzująca zmiany prędkości kątowej bryły sztywnej lub punktu materialnego, opisane wzorem:

- przyspieszenie liniowe związane z obrotem:

- wyrażenie końcowe dla przyspieszenia ma postać:

2.Zdefiniować moc dla przyspieszenia liniowego i przemieszczenia z obrotem.

Szybkość wykonywania pracy jest to moc. Średnia moc dostarczona przez jakieś urządzenia jest równa całkowitej pracy wykonanej przez to urządzenie podzielonej przez całkowity przedział czasu. P=W/t

- Def. mocy dla przemieszczenia liniowego

N=r*F

- Dla przemieszczenia związanego z obrotem:

3. Zbudować równanie ruchu wahadła matematycznego oraz równanie przybliżone dla małych wychyleń w oparciu o zasadę zachowania energii mechanicznej.

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej nici długości l. Siły ciężkości rozkładamy na dwie składowe równoległą i prostopadłą do nici. Wprowadzamy punkt m z położenia równowagi odchylając nić o bardzo mały kąt alfa.

Zasada zachowania energii mechanicznej:

4. W polu grawitacyjnym ziemskim wyrzucono ciało z prędkością początkową v_o pod kątem α do poziomu. Zaniedbując opór powietrza znaleźć zasięg lotu ciała.

5. Dany jest układ dwóch ciał traktowanych jak cząstki materialne o masach: m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg. Cząstki w chwili to = 0 spoczywają w położeniach A₁(2,2,2), A₂(-1,4,-1) - współrzędne są podane w metrach. Ciała są poddane działaniu sił zewnętrznych, których suma wektorowa jest wektorem
=[0,0,10] [N]. Znaleźć położenie środka masy układu cząstek w chwili t₁ = 4 s.

Zestaw 3.

1. Podać definicję wektora nieskończenie małego obrotu i wektora przemieszczenia związanego
z wektorem nieskończenie małego obrotu.

a) wektor nieskończenie małego obrotu:

- kierunek wektora
|| do osi obrotu,

- zwrot wektora
wiąże się ze zwrotem obrotu za pomocą reguły śruby prawoskrętnej,

- wartość tego wektora równa jest kątowi obrotu

b) przemieszczenie związane z obrotem:

2. Napisać wzory na pracę siły przy przemieszczeniu cząstki dla dowolnie małego przemieszczenia i przemieszczenia związanego z obrotem o dowolnie mały kąt. Podać również definicję pracy na skończonej drodze.

a) praca dla małego przemieszczenia
:

Gdy przemieszczenie .. jest tak małe że możemy uznać znikomy przyrost zmian siły F i traktujemy go jak stały. Uznajemy że na tak małym odcinku siła się nie zmienia.

Praca na skończonej drodze krzywoliniowej jest sumą prac wykonanych na poszczególnych jej odcinkach(w przybliżeniu).Im więcej tych odcinków tym dokładniejszy wynik. Przyjmujemy że ...jako ostatni odcinek jest najmniejszy.

Granica sumy jest całką oznaczoną krzywoliniową bo na drodze krzywej

b) praca dla przemieszczenia związanego z obrotem o kąt
:

c) praca na skończonej drodze:

3. Energia potencjalna, kinetyczna i całkowita w ruchu harmonicznym nietłumionym.

4. Jaką pracę należy wykonać, aby podnieść ciało o masie m = 20 kg na wysokość h = 10 m z przyspieszeniem a = 0,5 m/s²?

5. Ciężarek zawieszony na sprężynie o współczynniku sprężystości k = 0,4 N/m wykonuje pionowe oscylacje. Siła oporu ruchu
powoduje, że amplituda oscylacji maleje
razy w ciągu czasu t1 = 2 s. Okres oscylacji wynosi
. Oblicz masę ciężarka.

Zestaw 4

1. Definicja pola potencjalnego. Pole grawitacyjne.

a) Pole potencjalne - pole sił, w którym praca wykonana na drodze zamkniętej równej 0. (oddziaływanie grawitacyjne).Ta praca jest niezależna od drogi po której przemieszczana jest cząstka(pole w każdym punkcie przestrzeni scharakteryzowane przez wielkość zwaną potencjałem np. .grawitacyjnym)

b) Pole grawitacyjne - (prawo powszechnego ciążenia) dwie masy przyciągają się siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas m1, m2, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

Potencjał pola grawitacyjnego zależy od położenia punktu względem źródła pola i masy wytworzonej przez to pole. .... Na podstawie tego związku można stwierdzić że pole wektora natężenia pola grawitacyjnego jest polem potencjalnym.

2. Podać definicję energii potencjalnej w polu sił potencjalnych.

Energia potencjalna jest to praca wykonana w polu grawitacyjnym zostaje zmagazynowana w obiekcie i jest pewną enegią do potencjalnego wykorzystania.

Def. energii potencjalnej w polu sił potencjalnych (jako pracy wykonanej przez siły zewnętrzne przy przemieszczeniu cząstki materialnej z położenia P_o do P(x,y,z)).

-jest siłą z jaką pole działa na cząstkę.

Z równania tego wynika że możemy obliczyć Ep tylko wtedy gdy siła F zależy jedynie od położenia punktu materialnego .Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem że energia potencjalna ma znaczenie jedynie dla sił zachowawczych.

3. Prawo dynamiki układu N cząstek materialnych w inercjalnym układzie odniesienia. Zasada zachowania pędu dla układu N cząstek.

Rozważamy układ N cząstek materialnych oddziałujących między sobą siłami wew. i podlegających działaniu sił zewnętrznych. Zakładamy,że siły wewnętrzne spełniają trzecie prawo Newtona, czyli: że siła z jaką i-ta cząstka działa na jtą cząstkę jest równa minus siła zew. Z jaką j działa na cząstkę i.

......

Ruch każdej cząstki o masie m_i podlega równaniu Newtona: Pęd i-tej cząstki może zmienić siła cząstki zewnętrznej i suma wszystkich sił cząstek.

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ=0 to całkowity wektor pędu tego układu pozostaje stały. Jeżeli na układ n-cząstek materialnych nie działają siły zew. to znaczy że układ nie zmienia pędu czyli jest stałe.

4.Ciało rzucono pionowo do góry z prędkością v_o. W tej samej chwili z tego samego punktu, z którego wyrzucono to ciało zaczyna swobodnie spadać drugie ciało. Zbadaj jak zależy odległość d między ciałami od czasu.

5. Ruch harmoniczny nietłumiony cząstki względem położenia równowagi opisuje równanie x= Asin(ωt+α).

Wyznaczyć:

a) zależność prędkości od wychylenia v(x),

b) zależność przyspieszenia od wychylenia a(x).

Zestaw 5

1. Pojęcie siły newtonowskiej. Pokazać, że zasada zachowania pędu jest konsekwencją trzeciego prawa N. W odniesieniu do dwóch oddziałujących cząstek materialnych.

II zasada - pęd cząstki materialnej jako wielkość wektora proporcjonalna do prędkości cząstki

z prawa N.:

,
-siła wypadkowa

-równanie ruchu

III zasada-jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F, to ciało B działa na ciało A siłą -F równą co do wartości bezwzględnej lecz o przeciwnym zwrocie. Ponadto obie te siły działają wzdłuż prostej łączącej oba ciała. Siły Newtona to siły spełniające II zasadę.

Ponieważ każda cząstka oddziałuje z każdą z pozostałych więc zarówno sił Fab i Fba jest tyle ile jest n-cząstek. Jedna z sił występująca w oddziaływaniu między ciałami jest siłą akcji a druga reakcji.

Zasada zachowania pędu ......

Jeżeli wypadkowa sił zew. Działających na układ jest równa 0 to całkowity wektor pędu tego układu pozostaje stały. Powyższe wzory potwierdzają tę zasadę. III zasada Newtona jest konsekwencją zasady zachowania pędu.

2. Zasada zachowania energii mechanicznej w polu sił potencjalnych.

Równanie to nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej i stosuje się ją do ciała podlegającego sile potencjalnej, którego energia potencjalna =u .Mówi ona że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała o ile nie działają inne siły.

Każde pole potencjalne jest polem zachowawczym. ... Siła jest zachowawcza jeżeli praca wykonana przez tą siłę przy przesunięciu cząstki od a do b jest niezależna od drogi po której cząstka zostanie przesunięta (zachowuje energię mechaniczna cząstki tzn. sprawiają że zachowuje ona wartość stałą podczas ruchu)

Sumę wszystkich występujących w układzie fizycznym energii różnej od mechanicznej nazywamy energią nie mechaniczną.

Szybkość zmian energii mechanicznej jest =szybkość ubywania energii niemechanicznej i odwrotnie. Zmieniać energię mechaniczną mogą zmieniać tylko siły niezachowawcze.

Zależność ta mówi że praca sił niezachowawczych (niepotencjalnych)odbywa się kosztem energii nie mechanicznej i powoduje z kolei przyrost energii mechanicznej układu lub odwrotnie

3. Ruch cząstki na płaszczyźnie dany jest w układzie kartezjańskim następującymi równaniami:

x(t) = bt² ; y(t) = ct² ; b,c - const.

Znaleźć:

1. równania toru cząstki

2. wektor prędkości i wartość prędkości w f-cji czasu

3. wektor przyspieszenia i wartość przysp. W f-cji czasu.

a)

b)

c)

4. Siła potrzebna do holowania łodzi ze stałą szybkością jest proporcjonalna do tej szybkości. Obliczyć moc P₁ potrzebną do holowania tej łodzi z szybkością V₁= 20 km/h jeśli przy holowaniu jej z szybkością V₂ =5 km/h potrzebna była moc P₂ = 5 kW

Wynika z rozważań że ...oznacza czas po upływie którego amplituda maleje e-krotnie. Czas ten nazywamy czasem relaksacji amplitudy.

Po upływie okresu T1 amplituda maleje. Liczymy

...-logarytmiczny dekrement tłumienia

Niech N oznacza liczbę drgań po których amplituda maleje e-krotnie. Jeżeli N jest tą liczbą drgań to wtedy czas jest równy liczbie drgań razy okres....

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest równy odwrotności liczby drgań po upływie których amplituda maleje e-krotnie np...oznacza że amplituda maleje e-krotnie po 100 drganiach,.....amplituda maleje e-krotnie po 25 drganiach.

1.zwykłe tłumienie(przypadek periodyczny)omega jest rzeczywistą wartością.

tłumienie krytyczne:(przypadek graniczny)

stan przetłumienia:(przypadek aperiodyczny)

Jeżeli amplituda po okresie

Dla słabego tłumienia ...jest dużo mniejsza niż A

Przy słabym tłumieniu w tzw.pierwszym przybliżeniu logarytmiczny dekrement tłumienia jest równy względnemu zanikowi amplitudy po jednym okresie.

Zestaw 6

1. Przytoczyć definicję wektora prędkości i wektora przyspieszenia. Podać wzory na składowe wektora przyspieszenia: styczną i normalną do toru.

Prędkość:

• wektor prędkości jest zawsze styczny do toru więc wektor jednostkowy styczny do toru możemy określić jako:

• wartość prędkości jako wartość wektora
  

• wartość prędkości jako pochodna po czasie drogi przebytej wzdłuż toru:

- element długości łuku

Wektor prędkości to pochodna wektora wodzącego po czasie. Wektor prędkości chwilowej to granica właściwa ilorazu różniczkowego. Kierunek wektora prędkości dąży do kierunku stycznej do wykresu(drogi).

Znak przy prędkości wskazuje kierunek ruchu.

Przemieszczenie

• wektor przemieszczenia
  jako pochodna wektora prędkości chwilowej:

-wektor przyspieszenia jako wartość wektora

Składowe przyspieszenia: styczna i normalna:

Styczna:

Normalna:

2. Zbudować równanie ruchu dla klocka o masie m znajdującego się na gładkiej poziomej powierzchni, przymocowanego za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości k do pionowej ścianki w oparciu o zasadę zachowania energii mech.

A-amplituda

- faza początkowa
- częstość kołowa drgań

3. Ciało o masie m=0,1kg wykonuje ruch harmoniczny nietłumiony pod wpływem działania sprężyny o amplitudzie A=1,0m i okresie T=0,2s. Jaka jest maksymalna wartość siły działającej na to ciało podczas ruchu? Jaki jest współczynnik sprężystości k sprężyny?

4. Podać zasady zachowania dla układu N cząstek materialnych (zapisać odpowiednie wzory)

Zasada zachowania momentu pędu:

Szybkość zmian całkowitego momentu pędu
układu cząstek materialnych jest równa całkowitemu momentowi sił zewnętrznych

5. Cząstka porusza się w taki sposób, że jej położenie jest określone przez wektor
, gdzie stałe A=3 m/s i B= -1m/s². Wyznaczyć wektor prędkości i wektor przyspieszenia tej cząstki jako funkcje czasu oraz określić kształt toru cząstki.

Kształt paraboliczny na płaszczyźnie układu kartezjańskiego x,y,z

Zestaw 7

1.Przytoczyć zasady dynamiki Newtona cząstki materialnej.

I zasada - każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego po linii prostej dopóty, dopóki nie zostanie zmuszone za pomocą wywieranych odpowiednich sił, do zmiany tego stanu. A=0 gdy Fwyp=0

II zasada - przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do wypadkowej siły działającej na to ciało i ma kierunek zgodny z kierunkiem jej działania oraz dla danej siły przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

III zasada - każdej akcji towarzyszy zawsze równa co do wartości, lecz przeciwnie skierowana reakcja; inaczej, wzajemne oddziaływanie dwóch ciał jest zawsze równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane.

2.Siły zachowawcze, nie zachowawcze i żyroskopowe.

Zachowawcze - jeżeli podczas ruchu całkowita energia mechaniczna cząstki pozostaje stała to siły działające na cząstkę zachowują energię mechaniczną (zachowują wartość stałą podczas ruchu) działają w polu sił potencjalnych.

Nie zachowawcze jeśli praca wykonana przez tą siłę nad punktem materialnym który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru.Siła ta zależy od kształtu drogi łączącej te punkty. Dla tarcia jest nie zachowawcza.

siły żyroskopowe to siły proporcjonalne do prędkości przy czym spełniają warunek wzajemnej prostopadłości. Działanie sił żyroskopowych na punkt materialny nie zmienia jego Ek. Ek jest stała. Są zachowawcze.

1.siły są prostopadłe do prędkości (giroskopowe)

2.siły giroskopowe - prostopadłe do prędkości np. dośrodkowe i odśrodkowe

Siła Lorenza:

Gdy działają siły giroskopowe to zachowana jest energia kinetyczna ............

3.Związek siły z energią potencjalną w polu sił potencjalnych.

Energia potencjalna w polu sił potencjalnych jest to praca wykonana przez siły zewnętrzne przy przemieszczeniu cząstki materialnej z położenia Po do P(x,y,z)

E

Rozważmy zmiany energii przy dowolnie małym przyspieszeniu cząstki materialnej wzdłuż jednej z osi układów współrzędnych

x=x+
rozwiązując funkcje w szereg potęgowy

=

=

=

otrzymamy

Def. Energii potencjalnej w polu sił potencjalnych

F jest stałą z jaką działa pole na cząstkę.

4. W polu grawitacyjnym ziemskim wyrzucono kamień z prędkością początkową
pod pewnym kątem do poziomu. Zaniedbując opór powietrza znaleźć równanie wektora wodzącego w funkcji czasu
.

5. Cząstka materialna wykonuje ruch harmoniczny prosty nietłumiony wokół punktu x=0. W chwili t₀=0 ma przemieszczenie x₀=0,37 cm i prędkości v₀=0. Przy częstości ruchu v=0,25 s^-1 określić: okres T, częstość kołową ω, amplitudę A, maksymalną prędkość
i maksymalne przyśpieszenie.

Zestaw X

1.Zdefiniować następujące wielkości fizyczne (podając wzory): pęd cząstki, moment pędu cząstki, moment siły.

Pędem punktu materialnego nazywamy wektor
zdefiniowany jako iloczyn jego masy m oraz prędkości
. Pęd jest proporcjonalny do prędkości, zależy więc od układu odniesienia obserwatora. Układ ten zawsze musimy ustalić.

II zasada Newtona i zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą:

Jeżeli układ jest punktem materialnym o stałej masie to F=ma

Jeżeli siła F działa na pojedynczy punkt materialny znajdujący się w punkcie P, którego położenie względem początku O inercjalnego układu odniesienia reprezentuje wektor
to moment siły
względem układu O definiuje się następująco:

Kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez r i F, a zwrot związany jest z regułą prwej ręki dla iloczynu dwóch wektorów.

c) moment siły (związanej z obrotem o kąt ϕ)

Jeżeli punkt o masie m i pędzie p zmienia swoje położenie względem początku O inercjalnego układu odniesienia i przemieszcza się o wyznaczany wektor
to moment pędu definiujemy jako:

Moment pędu jest wektorem i jego wartość wynosi

Q jest to kąt między r i p kierunek jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez ri p a

2. Szybkość zmiany energii kinetycznej. Szybkość zmian energii potencjalnej w polu potencjalnym.

Połowę iloczynu masy ciała przez kwadrat jego prędkości nazywamy energią kinetyczną tegi ciała E_k=1/2*mV². Praca wykonana przez siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej

.......

Jeżeli zmiana energii kin. Jest równa pracy i wykorzystując zależność, że szybkość wykonywania pracy jest to moc P=F*V możemy stwierdzić, że szybkość zmian energii kinetycznej jest to moc:

. Podobne stwierdzenie odnosi się do energii potencjalnej:

3. Wektor środka masy. Prędkość środka masy. Przyspieszenie środka masy (dla układu N cząstek materialnych)

Środek masy układu punktów materialnych. Zależy tylko od mas tych punktów i od ich wzajemnego rozmieszczenia.

Wektor środka masy

4.Ciało rzucone poziomo do powierzchni ziemi z prędkością początkową Vo, porusza się po torze parabolicznym opisanym równaniami: x(t)=vt ,

y(t)=h-1/2gt² . Znaleźć wartość prędkości, przyspieszenia stycznego i normalnego w dowolnym punktcie toru.

5. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne nietłumione wzdłuż osi x wokół położenia równowagi x=0. Kołowa częstotliwość drgań cząstki
. W chwili t_o współrzędna cząstki wynosi x_o = 8m a jej prędkość V_o=12 m/s. Znaleźć amplitudę A drgań i fazę początkową

Wyznaczanie amplitudy fazy początkowej z warunków początkowych

x = Asin(ω_ot + ϕ_o)

t=0 x_(o) = x_o x_o = Asinϕ_o

V_(o) = V_o V_o = Aω_ocosϕ_o

x_o

--- = sinϕ_o

A V = Aω_ocos(ω_ot + ϕ_o)

V_o= Aω_ocosϕ_o

V_o

----- = cosϕ_o

Aω_o

x_oAω_o x_o ω_o

tgϕ_o = -------- = --------

A V_o V_o

x_o² V_o²

--- + ------ = sin²ϕ + cos²ϕ_o

A² A²ω_o

V_o²

x_o² + ----- = A² ⇒ A=√

ω_o²

Energia prostego ruchu harmonicznego.

E= E_k + Ep

mV²

E_k = ----- = m/2A²ω_o²cos²(ω_ot +ϕ_o)

2

k/m = ω_o²

E_k = ½kA²cos²(ω_ot +ϕ_o)

Jeżeli cos(ω_ot +ϕ_o) = 1 to

E_kmax = ½kA²

Ep = ½kx² = ½kA²sin²(ω_ot + ϕ_o)

Jeżeli sin(ω_ot +ϕ_o) = 1 to

Ep_max= ½kA²

E= E_k + Ep = ½kA²cos²(ω_ot + ϕ_o) + ½kA²sin²(ω_ot + ϕ_o)=

½kA²[cos²(ω_ot + ϕ_o) + sin²(ω_ot + ϕ_o)] = ½kA²

E_k = ½ kA²cos²(ω_ot + ϕ_o)

Ep = ½kA²sin²(ω_ot + ϕ_o)

ϕ_o=0

½kA²cos²ω_ot = ½kA²sin²ω_ot

cos²ω_ot = sin²ω_ot

sin²ω_ot

--------- = 1 ⇒ tgω_ot = 1

cos²ω_ot

tgω_ot = tgΠ/4

ω_ot = Π/4 ⇒ t = Π/4ω_o

---