Def:

Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x₁ x₂ ...x_n gdzie n,m∈N nazywamy układ równań w postaci a₁₁x₁+a₁₂x₂...a_1nx_n =b₁; a₂₁x₁+a₂₂x₂...a_2nx_n =b_2; a_m1x₁+a_m2x₂...a_mnx_n =b_m

gdzie a_ij; b_ij∈ R dla 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n

Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy ciąg (x₁,x₂...x_n) liczb rzeczewistych spełniajacych ten układ.

Uwaga:

Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej:

AX= B gdzie :

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A = a₂₁ a₂₂ ... a_{2n macierz główna układu}

_{am1 am2 ... amn}

x₁ b₁

kolumna niewiadomych X = x₂ B = b₂ kolumna wyrazów wolnych

x_n b_n

Układ równań, który nie ma równań nazywamy układem sprzecznym

UKŁADY CRAMERA

Def:

Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX =B, w którym macierz A jest macierzą nieosobliwą (A- macierz kwadratowa, DetA≠0)

TWIERDZENIE: Wzór CRAMERA

Układ Cramera AX=B ma jedno rozwiązanie: Rozwiązanie to jest określone wzorem:

1 detA₁

X= detA * detA₂ ; n oznacza stopień macierzy A

detA_n

Natomiast A_i oznacza macierz, której i-tą kolumną macierzy A zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B

n-równań n-niewiadomych

METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA DOWOLNYCH UKŁADÓW LINIOWYCH

Def:

Niech A, A', B,B' będą macierzami o wymiarach odpowiednio: m_n, k_n, m₁, k₁ ponadto niech: x₁ x₁

X= x_{2 ,} X' = x₂

: :

x_n x_n

Mówimy, że układy równań liniowych AX=B i A'X'=B' są równoważne jeśli zbiory ich rozwiązań są identyczne.

Def:

Macierz rozszerzona układu równań to AX=B macierz postaci:

AX= B gdzie :

a₁₁ a₁₂ ... a_1n b₁

A/B = a₂₁ a₂₂ ... a_2n b₂

a_m1 a_{m2 ...} a_mn b_n

Uwaga:

Podane poniżej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A/B] układu równań liniowych AX=B przekształcają go w układ równoważny.

Operacje dozwolone na macierzach

1. Zamiana między sobą wierszy

2. Mnożenie wiersz przez stałą różną od 0

3. Dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza wyraz po wyrazie

4. Skreślenie wiersza złożonego z samych zer

5. Skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych.

Dodatkowo otrzymuje się układ równoważny, jeżeli w macierzy A zamienimy miejscami dwie kolumny przy jednoczesnej zamianie niewiadomej

x₁ x_j x_i x_n x₁ x_i x_j x_{n niewiadome}

a₁₁ .... a_1j .... a_1i .... a_1n a₁₁ .... a_1i .... a_1j .... a_1n

: : : : : : : :

a_m1 .... a_mj .... a_mi .... a_mn a_m1 .... a_mi .... a_mj.... a_mn

METODA ELIMINACJI GAUSSA

Niech AX=B będzie układem równań liniowych, gdzie A jest macierzą wymiaru m*n

Wówczas układ ten rozwiązujemy następująco:

1. budujemy macierz rozszerzona układu postaci:

x₁ x₂ x_n

a₁₁ .... a₁₂ .... a_1n b₁

[A/B] = : : : :

a_m1 .... a_m2 .... a_mn b₂

2. Na macierzy rozszerzonej dokonujemy równoważnych przekształceń układu sprowadzając ją do postaci: parametry

x₁' x₂' x_n' x_r'₊₁ x_r'₊₂ x_r'_n

1 0 .... 0 S_1r+1 S_1r+2 ... S_1n z₁

: 1 : S_2r+1 S_2r+2 ... S_2n z₂ =

0 0 .... 1 S_r(n+1) S_r(n+2)...S_r(n) z_r

0 0 .... 0 0 0 ...0 z_r+1

Przy czym ostatni wiersz może nie pojawić się wcale albo wystąpi ze współczynnikiem

z_r+1≠0

Wówczas :

1. jeżeli z_r+1≠0 to układ AX=B jest sprzeczny

2. jeżeli ostatni wiersz macierzy [A'/B'] nie pojawi się i n=r to układ AX=B jest równoważny układowi Cramera (układ oznaczony).

3. Jeżeli ostatni wiersz macierzy [A'/B'] nie pojawi się i n>r to układ AX=B ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) przy czym r spośród niewiadomych oznaczamy symbolami x₁' x₂'... x_r' zależy od pozostałych

n - r niewiadomych oznaczonych symbolami x_r'₊₁ x_r'₊₂ x_r'_n

Uwaga:

1. Wiersz złożony z samych zer należy skreślić

2. Dwa wiersze równe lub proporcjonalne skreślamy jeden z nich

3. Brak elementu nie zerowego.

---