EAIiE |
1. Tomasz Kutyła 2. Marcin Witkowski |
ROK I |
GRUPA III |
ZESPÓŁ 9 |
|||
Pracownia fizyczna |
Temat: Prawo Boyle'a-Mariotte'a i uniwersalna stała gazowa R. |
Nr ćwiczenia: 22 |
|||||
Data wykonania:
3.03.99 |
Data oddania:
|
Zwrot do popr.
|
Data oddania:
|
Data zaliczenia:
|
OCENA: |
Równanie stanu gazu doskonałego dane jest wzorem:
pV = nRT
gdzie:
p - ciśnienie gazu;
V - objętość;
n - liczba moli gazu;
R - uniwersalna stała gazowa.
Prawo Boyle`a-Mariotte'a:
Opisuje przemianę izotermiczną ( T = const ) gazu doskonałego. Z równania stanu gazu doskonałego otrzymujemy:
pV = const = nRT, czyli p1V1 = p2V2
Układ próżniowy ze zmienną objętością pozwala na łatwe sprawdzenie prawa Boyle'a-Mariotte'a dla powietrza w temperaturze pokojowej . Określoną ilość powietrza można wyodrębnić w jednym ze zbiorników , a następnie rozprężyć do opróżnionych z gazu zbiorników. Zgodnie z prawem Boyle'a-Mariotte'a zależność p(V) winna być dana przez hiperbolę , natomiast zależność p(1/V) przez linię prostą , przechodzącą przez początek układu współrzędnych .
Doświadczalne wyznaczenie uniwersalnej stałej gazowej R sprowadza się do pomiaru masy znanej objętości gazu . Pomiar masy gazu wykonać można przez ważenie zbiornika wypełnionego gazem i opróżnionego z gazu przez wypompowanie pompą próżniową . Uniwersalność stałej R można doświadczalnie potwierdzić przez powtórzenie tego samego pomiaru dla różnych gazów.
Próżnię wytwarza się poprzez mechaniczne usunięcie cząsteczek powietrza poza obszar naczynia ( pompy przepływowe: rotacyjna i dyfuzyjna ) .
Manometr mechaniczny dokonuje pomiaru różnicy ciśnień pomiędzy ciśnieniem zewnętrznym a ciśnieniem wewnątrz pojemnika wykorzystując odkształcenie elementu mechanicznego, które przenoszone jest na wskazówkę.
nachylenie charakterystyki p(1/V)
średnia wartość wyznaczanej stałej gazowej
liczba moli
m - zmierzona masa powietrza
- masa cząsteczkowa wyliczona na podstawie zawartości tlenu i azotu w powietrzu
Szybkość pompowania S oznacza objętość gazu usuniętego w jednostce czasu. Definiowana jest funkcja zależności ciśnienia wewnątrz opróżnianego pojemnika od czasu ( S = const ) oznaczane p(t). Korzystając z definicji szybkości pompowania i różniczkując prawo Boyle`a-Mariotte'a otrzymujemy dla pojemnika o pojemności V:
Całkując stronami:
Wyniki pomiarów:
-) warunki atmosferyczne :
ciśnienie : po=980 hPa , temperatura : T=294 K
-) dane układu pomiarowego :
objętość rurek : V0=0.24 dm3
objętość małych zbiorników : V1=1.24 dm3
objętość dużych zbiorników : V2=2.26 dm3
numery małych butli : 4 - 8
numery dużych butli : 1- 3
Numer Butli |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
czas pompowania t[s]
|
p= 0.5-0.2 hPa |
( p=0.5-0.05 dla butli nr 1 i 2 )
|
91 |
104 |
119 |
135 |
152 |
170 |
|
|
p=0.5-0.1 hPa |
220 |
326 |
212 |
244 |
276 |
321 |
347 |
385 |
Sprawdzanie prawa Boyle'a-Mariotte'a.
Nr butli |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
p [hPa] |
10 |
440 |
600 |
685 |
750 |
810 |
840 |
870 |
p [hPa] |
970 |
540 |
380 |
295 |
230 |
170 |
140 |
110 |
V [dm3] |
1,48 |
2,72 |
3,96 |
5,2 |
6,44 |
8,92 |
11,4 |
13,88 |
1/V [dm-3] |
0,676 |
0,368 |
0,252 |
0,192 |
0,155 |
0,112 |
0,0877 |
0,0721 |
a |
1435,6 |
1468,8 |
1504,8 |
1534 |
1481,2 |
1516,4 |
1596 |
1526,8 |
Wartość współczynnika a wyliczaliśmy ze wzoru:
Średnia wartość współczynnika a wynosi:
aśr=1507,95
Odchylenie standardowe
σ=48,33
Test χ2
Klasa |
Poniżej a-2σ |
a-2σ ; a-σ |
a-σ ; a |
a ; a+σ |
a+σ ; a+2σ |
Powyżej a+2σ |
Nd |
0 |
1 |
3 |
3 |
1 |
0 |
Pteor |
0,023 |
0,136 |
0,341 |
0,341 |
0,136 |
0,023 |
Nt |
0,184 |
1,088 |
2,728 |
2,728 |
1,088 |
0,184 |
(Nd-Nt)2/Nt |
0,184 |
0,00712 |
0,0271 |
0,0271 |
0,00712 |
0,184 |
Suma składników χ2 wynosi 0,06844. Ilość klas k=4, ilość stopni swobody l=k-1=3. Wartość krytyczna dla l=3 χ2kr=7,815. Więc χ2<χ2kr. Na tej podstawie stwierdzamy, że obserwowany rozkład nie różni się od normalnego na poziomie ufności 0,95.
Aby graficznie przedstawić liniową zależność p(1/V) skorzystaliśmy z metody najmniejszych kwadratów. Korzystając z otrzymanych wyników wyznaczyliśmy pewną stałą W
gdzie:
n - liczba pomiarów
Do tego wyznaczyliśmy współczynnik kierunkowy prostej oraz wyraz wolny
Błędy współczynników a i b wyznaczyliśmy przy pomocy wzorów
σ-odchylenie standardowe współczynnika a
σ-odchylenie standardowe współczynnika b
Prosta przedstawiająca zależność p(1/V) ma postać
p=1424*(1/V)+12,418
Wykres p(1/V) wygląda następująco:
Aby dokładniej zobaczyć, że wykres nie przecina początku układu współrzędnych narysowaliśmy bardziej szczegółowy wykres:
Na szczegółowym wykresie widać dobrze, że wykres przecina oś 0Y w punkcie ok. p=12 hPa.
Rysując wykresy rzeczywisty (na podstawie naszych pomiarów) i idealny (na podstawie rachunków) nie zauważyliśmy różnic na całym zakresie danych. Tylko w jednym małym przedziale jest widoczna różnica, co przedstawiamy poniżej:
wykres idealny
wykres rzeczywisty
Błąd pomiaru ciśnienia manometrem mechanicznym wynosi 50 hPa .
Wyznaczanie uniwersalnej stałej gazowej R
Objętość naczyńka do sprawdzania stałej gazowej V=105,033 0,0003 cm3
Ciśnienie atmosferyczne 980 hPa
Temperatura panująca w pracowni 294K
Stałą gazową wyznaczamy korzystając ze wzoru:
gdzie
=0,78*28,0134+0,21*31,9988=28,5702g/mol
Masa powietrza zawartego wewnątrz naczyńka m=0,114g.
Liczba moli n=0.004
Po podstawieniu otrzymanych wartości do wyżej wymienionego wzoru otrzymaliśmy wynik:
R=8,77431 J/K*mol
Przyczynki do błędów wynikające z pomiarów odpowiednich wielkości:
;
;
;
p=10 hPa ; V=0,0003 cm3 ; m=0,0001 g ; T=1 K
Całkowity błąd pomiaru uniwersalnej stałej gazowej R obliczamy z wzoru:
P [Pa] |
V [cm3] |
m [g] |
T [K] |
|
|
|
|
R
|
980 |
105,033 |
0,114 |
294 |
0,0895 |
2,51 E-5 |
-7,697 E-6 |
-0,0298 |
0,0944 |
Błąd pomiaru uniwersalnej stałej gazowej jest równy 0,0944 J/K*mol
Błąd tablicowy obliczamy ze wzoru:
RT=8,314 J/K*mol
Błąd tablicowy wynosi δT=5,54%
Wnioski
Przy odpompowaniu powietrza z układu napotkaliśmy na problem malejącej skuteczności pompy rotacyjnej.
Błędy które pojawiły się podczas sprawdzania prawa Boyle'a-Mariotte'a spowodowane są głównie przez słabą klasę dokładności manometru mechanicznego, którego używaliśmy do pomiaru różnicy ciśnień. Dokładność tego przyrządu pomiarowego jest rzędu 50 hPa. Na podstawie testu χ możemy stwierdzić, że rozkład otrzymanych przez nas wyników nie różni się w sposób istotny od rozkładu normalnego, czyli wykazaliśmy słuszność prawa Boyle'a-Mariotte'a na poziomie istotności 5%. Następnie sporządzając wykres na podstawie rachunków oraz wyników pomiarów, łatwo zauważyć liniową zależność p(1/V), przez co jeszcze bardziej potwierdziliśmy słuszność tego prawa.
Z pomiarów otrzymaliśmy wartość uniwersalnej stałej gazowej równą 8,8 0,1 J/K*mol. Wartość ta jest obarczona błędem 5,54% względem wartości tablicowej. Największy przyczynek do błędu wnosi pomiar ciśnienia, spowodowane jest to małą dokładnością skali barometru. Stosunkowo duży jest także błąd pomiaru temperatury, który wynika z słabej rozdzielczości skali termometru. Błędy wnoszone przez pomiar objętości i masy są znikome w porównaniu z błędami pomiaru ciśnienia i temperatury, gdyż te wielkości wyznaczone są z bardzo dużą dokładnością.