62 Odwzorowanie Gaussa Krugera


4.6 Odwzorowanie Gaussa-Krügera (klasyczne)

(opracowane przez Gaussa w 1825 r., opublikowane przez Schreibera w 1866 r., rozwinięte i zmodyfikowane przez Krügera w 1912 r.)

Definicja:

Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to wiernokątne, poprzeczne, walcowe odwzorowanie elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, realizowane w wąskich pasach południkowych.

Spełnia następujące warunki:

Kształt siatki kartograficznej:

Obraz całej elipsoidy ma postać porozcinanych pasów południkowych. Ograniczenie obszaru

do wąskich pasów południkowych ma na celu minimalizację zniekształceń odwzorowawczych.

0x08 graphic

UTM - (Uniwersal Transverse Mercator, nazwę przyjęto na cześć twórcy odwzorowań równokątnych Mercatora; różni się od odwzorowania G-K jedynie skalą na południku środkowym m0 = 0.9996; realizowane w pasach 6-cio stopniowych)

Wzory odwzorowania Gaussa-Krügera (B,L X,Y)

Element łuku: 0x01 graphic
- na elipsoidzie,

0x01 graphic
- na płaszczyźnie

Uwaga: łuki odpowiadające równym przyrostom argumentów B i L nie są sobie równe.

Wprowadzimy szerokość izometryczną q:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

ażeby: 0x01 graphic

Szerokość izometryczna sprawia, że otrzymujemy równe wartości łuków południka i równoleżnika dla równych przyrostów dq i dL.

Skala odwzorowania: 0x01 graphic

Wykorzystując fakt, że dq i dL są różniczkami niezależnych zmiennych B i L można zapisać skalę jako funkcję zmiennych zespolonych:

0x01 graphic

Warunek równokątności odwzorowania oznacza, że skale są niezależna od azymutu elementów liniowych dS i ds (równe w każdym punkcie)

Wyrażenie opisujące skalę można zapisać:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

gdzie f - funkcja analityczna

Zakładając, że 0x01 graphic

warunkiem odwzorowania jest x=S - długość łuku południka osiowego tzn. odcięte muszą być równe długości łuku południka.

Po rozwinięciu w szereg Taylora funkcji f(q+il) względem il otrzymamy:

0x01 graphic
- długość łuku połud. osiowego do szerokości B.

Po oddzieleniu części rzeczywistej od urojonej i wprowadzeniu:

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

otrzymamy:

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic

0x01 graphic

Dla przejścia ze współrzędnych x,y na współrzędne B,L stosuje się następujące wzory:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

gdzie: B1 jest szerokością geodezyjną odpowiadającą współrzędnej x, którą oblicza się iteracyjnie po odwróceniu wzoru na długość łuku południka elipsoidy.

Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt równolegle do osi x.

0x08 graphic

Zbieżność południków γ mierzona jest od stycznej do obrazu południka.

We wszystkich punktach odwzorowania Gaussa - Krügera, leżących na północ od obrazu równika i na wschód od obrazu południka środkowego danego pasa, zbieżność południków jest, dodatnia.

Obierzmy na obrazie punkt P' o współrzędnych B, L oraz punkt P, o współrzędnych B, L + dl, przy założeniu, że dl jest wielkością nieskończenie małą. Punkty P' i P. leża zatem na obrazie równoleżnika o szerokości elipsoidalnej B.

0x08 graphic

Przyrosty współrzędnych prostokątnych dx, dy, będące wynikiem przejścia z punktu P' do P′1 wyrażają następujące wzory:

0x01 graphic
i 0x01 graphic

Różniczki te wykorzystujemy do obliczania zbieżności południków, gdyż po podzieleniu licznika i mianownika przez dl otrzymamy prosty wzór:

0x01 graphic

Kąt zbieżności południków wyrażony w funkcji odległości od południka środkowego (z dokładnością 0.001″ dla l = ±3.5°) wynosi:

0x01 graphic

Elementarne skale długości i pól

Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:

0x01 graphic

Jeden z elementów tego wzoru można przedstawić w postaci:

0x01 graphic

gdzie R jest średnim promieniem krzywizny w danym punkcie powierzchni elipsoidy obrotowej.

Gdy N4 zastąpimy R4, (co nie obniży dokładności obliczeń w wąskich pasach południkowych), otrzymamy praktyczny wzór do obliczenia elementarnej skali długości:

0x01 graphic

Elementarną skalę pól obliczymy jako kwadrat skali m:

0x01 graphic

Na skraju 6° pasa dla B=52° (czyli y=206 km) wystapią zniekształcenia (powiększenia) wynoszące:

W rozważaniach praktycznych dotyczących obszaru Polski można przyjąć, że linie równych skal długości (jednakowych zniekształceń) są równoległe do obrazu południka środkowego danego pasa. Dla obszarów rozciągniętych południkowo należy dodatkowo uwzględnić zmienność promienia R w zależności od szerokości elipsoidalnej B.

Odwzorowanie Gaussa-Krügera w położeniu siecznym

Odwzorowanie Gaussa-Krügera często realizowane jest w położeniu siecznym, co oznacza, że powierzchnia walca przecina powierzchnię elipsoidy wzdłuż linii przebiegających w przybliżeniu południkowo. Celem takiego postępowania jest zminimalizowanie zniekształceń:

Odwzorowanie sieczne charakteryzuje skala długości m0 na południku środkowym. Współrzędne 0x01 graphic
w odwzorowaniu siecznym oblicza się z wzoru:

0x01 graphic

zaś elementarna skala długości w dowolnym punkcie będzie równa: 0x01 graphic

Odpowiedni dobór skali na południku środkowym może spowodować, że maksymalne zniekształcenia (tj. identyczne co do wartości bezwzględnej lecz różne co do znaków) będą występowały na południku środkowym i na skraju pasa odwzorowawczego.

Współrzędne cechowane

Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane. Między współrzędnymi cechowanymi X,Y a współrzędnymi x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera (dla 3- i 6-stopniowych pasów) zachodzą następujące związki:

0x01 graphic

gdzie: c0 = 500 000 m,

L0 = długość geodezyjna południka środkowego w [°],

l - szerokość pasa odwzorowawczego w [°] (najczęściej 3° lub 6°),

dl =3° dla pasa 6-stopniowego i dl =0° dla pasa trzy-stopniowego

Zastosowanie odwzorowania Gaussa-Krügera w Polsce

  1. W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krugera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra”):

  1. W 1947 r. wprowadzono skurczone odwzorowanie G-K dla map 1:10000 i większych:

Od 1949 r. zmieniono skalę na południkach środkowych na m0=1.

  1. W 1952 r. wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K (układ „1942”):

  1. W 1965 r. we wprowadzanym układem współrzędnych „1965”, w jednej jego strefie (V-strefa katowicka) zastosowano odwzorowanie G-K:

  1. W 1992 r. wprowadzono nowy układ współrzędnych „1992”, w którym zastosowano kolejną wersję odwzorowania G-K:

Odwzorowanie to jest obowiązującym (Rozp.R.M. z dnia 8.08.2000) odwzorowaniem dla map w skalach 1:10000 i mniejszych,

  1. W 2000 r. wraz z utworzeniem nowego układu współrzędnych „2000”, wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K:

Odwzorowanie to jest obowiązującym odwzorowaniem dla mapy zasadniczej (Rozp.R.M. z dnia 8.08.2000),

0x08 graphic

Kartografia matematyczna. Odwzorowanie Gaussa-Krügera

1

X

Y

X

Y

Y

X

X

X

X

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
odwzorowanie Gaussa Krugera
7 Odwzorowanie Gaussa-Krugera - skrót, Kartografia matematyczna
Odwzorowanie Gaussa mercator, Geodezja, Matematyczne Podstawy Kartografii
pyt.20.Odwzorowanie Gaussa, geodezja inż, inż.pytania
ćw4 gaussa krugera
22. Wymień założenia odwzorowania wiernokątnego Gaussa powierzchni elipsoidy..., geodezja testy różn
Odwzorowania walcowe poprzeczne Gaussa, NAUKA
05 Odwzorowanie podstawowych obiektów rysunkowych
ei 03 2002 s 62
61 62
62
60 62
62 fora i katalogi
62 029

więcej podobnych podstron