WNT UWM

II r. TriL, sem. III

Rozwiązanie zadań z kolokwium Mechanika II - Dynamika z dnia 14.01.2005

Rozwiązania

Rys. do zadania 1	Rys. do zadania 2

Zadanie 1

Uwalniamy myślowo ciała od więzów, przykładamy reakcje i piszemy równania ruchu dla każdego z ciał.

Dla ciała o masie m

(1)

Ruch ciała odbywa się w dół i w tym samym kierunku działają: przyspieszenie p oraz siła ciężkości mg. Przeciwnie działa naciąg nici S.

Dla ciała o masie m₂

Tutaj przyjmujemy układ współrzędny z poziomą osią x, skierowaną zgodnie z ruchem ciała o masie m₂. Równanie ruchu jest następujące:

(2)

gdzie:

S₁ - to naciąg nici,

T₂ - to tarcie ,
, bo z bilansu sił w kierunku osi y dla ciała o masie m_2, wynika

(2a)

Dla ciała o masie

Równanie ruchu przyjmuje postać

(3)

gdzie:
.

Mamy 3 niewiadome: p, S, S₁ oraz 3 równania. Układ równań jest więc wystarczający do jego rozwiązania.

Z równania (1) mamy

(4)

Z równania (2), (2a) i (4) mamy

(5)

Z tego ostatniego

(6)

Biorąc teraz pod uwagę równanie (3)

i wykorzystując równanie (6), otrzymamy po przekształceniach przyspieszenie p

(7)

Mając p można z (1) znaleźć S

(8)

oraz z (3) naciąg S₁

(9)

Zadanie 2

Tutaj układamy bilans sił dla samochodu S na kierunek styczny do toru.

Siłę ciężkości można rozłożyć na dwie składowe:

• normalną do toru i równą
  ,

• oraz styczną do toru i równą

(1)

Ta ostatnia siła działa dośrodkowo po torze i przeciwdziała wyrzuceniu samochodu na zewnątrz toru.

Siłą odśrodkowa jest siła d'Alamberta Jej wartość to

(2)

zaś jej składowa na kierunek styczny do toru to

(2a)

Maksymalna prędkość wynika z równości sił

(3)

Jeżeli składowa
siły d'Alamberta przewyższy siłę F_s, to wówczas nastąpi poślizg samochodu.

Wykorzystując warunek (3) otrzymamy zależność na kąt

(4)

skąd
.

Zadanie 3

Dla rozwiązania tego zadania wykorzystujemy prawo zachowania energii mechanicznej dla punktu materialnego (wtedy nie ma energii ruchu obrotowego)w postaci

(1)

albo w postaci równoważnej

(2)

(między dwoma dowolnymi położeniami ciała o masie m, tzn. między punktami 1 oraz 2)

gdzie
- to energia kinetyczna punktu materialnego o masie m, zaś

to energia potencjalna tego punktu.

Rys. do zadania 3	Rys. do zadania 4

Jeżeli nie ma sił powodujących rozproszanie energii mechanicznej (np. sił tarcia) to stosujemy zależność (1) lub równoważną (2). W przypadku tarcia zależność (2) trzeba zmodyfikować do postaci

(3)

albo

(3a)

gdzie L - to praca sił tarcia .

Generalnie praca dowolnej siły F jest zdefiniowana jako iloczyn skalarny wektora siły F oraz drogi s.

(4)

Kąt
to kąt między obu wektorami. Jeżeli wektory te są równolegle, jak w rozpatrywanym przypadku, to
. W naszym przypadku pracę zatem opisuje zależność

(4a)

przy czym T - to siła tarcia. W naszym przypadku
, gdzie N to reakcja podłoża, czyli

x - to droga na długości której działa siła tarcia. W zadaniu przyjęto, iż jest ona styczna z równią.

Praca tarcia ma znak minus, bo siła tarcia działa przeciwnie do kierunku ruchu. Zależność (3a) zostanie użyta w tym zadaniu do wyznaczenia wysokości h.

Początkowa energia punktu materialnego jest równa

(5)

gdyż energia potencjalna jest równa zero. Odnosimy ja bowiem do położenia punktu m pokazanego na rysunku, dla którego wysokość referencyjną przyjęto jako
.

Energia mechaniczna rozważanego punktu w dowolnym położeniu x na równi (prawa strona równania (3a)) wynosi (przy uwzględnieniu pracy tarcia)

(6)

Wysokość punktu
można wyrazić jako

(7)

Maksymalna wysokość punktu to
. Zachodzi ona w sytuacji, gdy punkt materialny się zatrzyma a więc gdy jego prędkość jest równa
Wówczas równanie (6) przyjmie postać

(8)

Porównując teraz (5) i (8) otrzymujemy związek

(9)

z którego

(10)

Ponieważ

(11)

to stąd poszukiwana wysokość h punktu jest równa

(12)

Zadanie 4

Dla przypomnienia

1. Energia kinetyczna ciała sztywnego składa się, w przypadku ogólnym, z energii ruchu postępowego środka masy (człon pierwszy) oraz energii ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez środek ciężkości ciała (człon drugi)

(1)

gdzie : v_c - to prędkość środka masy, J_zc - to moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości ciała, zaś
- to prędkość kątowa.

2) Równania ruchu ciała sztywnego opisuje układ równań ruchu postępowego oraz obrotowego:

(2a)

(2b)

oraz

(3)

gdzie:

- p_cx oraz p_cy to są składowe przyspieszenia środka masy na kierunki x oraz y,

-
- to składowe sił zewnętrznych działających na ciało.

-
to przyspieszenie (bądź opóźnienie) kątowe,

• M_o - to moment sił zewnętrznych względem osi obrotu.

W zadaniu 4 mamy do czynienia tylko z ruchem obrotowym ciała, którego obroty maleją do zera po pewnym czasie. Równaniem ruchu obrotowego jest wobec tego równanie (3) w postaci

(3a)

Z kinematyki ruchu obrotowego wiemy, iż prędkość kątowa w ruchu opóźnionym opisana jest zależnością

(4)

W ruchu obrotowym, droga kątowa dana jest zależnością

(5)

Walec zatrzyma się (
) po pewnym czasie, który wynika z równań: (4), (4a) i (4cb.

(4a)

skąd

(4b)

Podstawiając czas (4b) do równania (5), przy warunku początkowym na drogę kątową w postaci 40 obrotów, co można zapisać w postaci drogi kątowej
, otrzymujemy równanie

(6)

skąd określić można opóźnienie kątowe

(7)

Z drugiej strony z równania (3a) opóźnienie kątowe jest dane jako

(8)

Wobec tego porównując (7) i (8) uzyskujemy równanie, z którego wyliczamy moment siły

(9)

W powyższej zależności moment bezwładności walca wyliczono ze znanego wzoru:

7

---