2 03

0x08 graphic
TRÓJKĄT PARALAKTYCZNY

Trójkąt paralaktyczny powstanie, jeżeli przez dowolne Ciało Niebieskie przeprowadzimy jednocześnie koło wierzchołkowe i koło godzinne (zawierające Zenit i Biegun Niebieski).

Trójkąt paralaktyczny wiąże ze sobą:

współrzędne horyzontalne (90°-h), A - wysokość
współrzędne równikowe (90°-δ), LHA - deklinacja
współrzędne obserwatora (90°-φ), (λ = LHA - GHA) - szerokość geograficzna

1. Ramiona trójkąta paralaktycznego

(90º-δ) odległość biegunowa - łuk koła godzinnego zawarty między CN a PN
(90º - h) odległość zenitalna - łuk koła wierzchołkowego zawarty między CN a Z
(90º - φ) - łuk górnego niebieskiego południka obserwatora zawarty między PN a Z

0x08 graphic

2. Kąty trójkąta paralaktycznego

Kąt o wierzchołku w PN jest Miejscowym kątem godzinnym (LHA) wyrażonym w systemie połówkowym

Kąt o wierzchołku w Z jest Azymutem (A) wyrażonym w systemie połówkowym

Kąt o wierzchołku w CN jest kątem paralaktycznym i nie ma swojego odpowiednika. Oznaczamy go literą q

0x08 graphic
3. Wzory do obliczania boków i kątów trójkąta paralaktycznego

Do elementów, które w trójkątach paralaktycznych obliczamy najczęściej, zaliczamy:

Wysokość (h) i Azymut (A) - przy obliczaniu astronomicznych linii pozycyjnych (alp).
Miejscowy kąt godzinny (LHA) - przy obliczaniu momentów zjawisk.

0x08 graphic
0x01 graphic

Wzory cosinusów boku

W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego boku równa się iloczynowi cosinusów pozostałych boków plus iloczyn sinusów tych boków pomnożony przez cosinus kąta leżącego między tymi bokami

cos(90°-h) = cos(90°-φ) * cos(90°-δ) + sin(90°-φ) * sin(90°-δ) * cos LHA

czyli sin h = sin φ * sin δ + cos φ * cos δ * cos LHA

sin δ = sin φ * sin h + cos φ * cos h * cos A

sin φ = sin δ * sin h + cos δ * cos h * cos q

Wzory cosinusów kąta

W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego kąta równa się minus iloczynowi cosinusów pozostałych kątów plus iloczyn sinusów tych kątów pomnożony przez cosinus boku leżącego między tymi kątami

cos A = - cos LHA * cos q + sin LHA * sin q * cos (90°-δ)

czyli sin A = - cos LHA * cos q + sin LHA * sin q * sin δ

sin LHA = - cos A * cos q + sin A * sin q * sin h

sin q = - cos A * cos LHA + sin A * sin LHA * sin φ

Wzory sinusów

W trójkącie sferycznym stosunek sinusów dwóch kątów równy jest stosunkowi sinusów boków leżących naprzeciwko tych kątów

sin A = sin (90°-δ)

sin LHA sin (90°-h)

czyli

sin A = cos δ

sin LHA cos h

Stąd: sin A = sin LHA * cos δ * 1 = sec h

cos h

sin A = sin LHA * cos δ * sec h Wzór ten służy do obliczania azymutów wyrażonych w systemie ćwiartkowym

0x08 graphic
Trojkąt paralaktyczny - (transformacje pomiędzy układami)

sina· sinβ = sinb · sinα

cosa = cosb·cosc + sinb·sinc·cosα

sina·cosβ = cosb·sinc - sinb·cosc·cosα

Transformacja (t,δ)  (A,h)

Trojkąt Z, B_N, G

α =180°-A ; a = 90°- δ

β = t ; b = 90°- h

c= 90°- φ

cosa = cosb·cosc + sinb·sinc·cosA

sinδ = sinh·sinφ - cosh·cosφ·cosA

Trojkąt B_N, Z, G

α = t ; a = 90°- h

0x08 graphic
β =180°-A ; b = 90°- δ

c= 90°- φ

cosa = cosb·cosc + sinb·sinc·cosA

sinh = sinδ·sinφ + cosδ·cosφ·cost

Transformacja (t,δ)  (A,h)

przybliŜony warunek na wschod (zachod) obiektu h=0 to

0x08 graphic

azymut wschodu (zachodu)

0x08 graphic
kąt godzinny wschodu

Zwroć uwagę, że w kulminacji gornej A=0° i t=0h

Transformacja (t, δ)  (, δ) t+ α = t = T* T*- czas gwiazdowy

WSPÓŁRZĘDNE RÓWNIKOWE-POŁUDNIKOWE

Kąt godzinny t : kąt pomiędzy płaszczyzną południka niebieskiego a płaszczyzną wyznaczoną przez Oś Świata i obiekt na niebie

Deklinacja ၤ : kąt pomiędzy kierunkiem do obiektu a płaszyczyzną równika niebieskiego

0x08 graphic

WSPÓŁRZĘDNE RÓWNIKOWE-RÓWNONOCNE

Deklinacja ၤ: kąt pomiędzy kierunkiem do danego obiektu na sferze niebieskiej a płaszczyzną równika niebieskiego

Rektascensja ၡ: kąt dwuścienny pomiędzy półpłaszczyzną wyznaczoną przez Oś Świata i punkt równonocy wiosennej (Punkt Barana) a półpłaszczyzną zwierająca Oś Świata i przechodzącą przez dane miejsce na sferze niebieskiej.

Trójkąt na sferze niebieskiej o ustalonych wierzchołkach: Zenit, Biegun, Obiekt
Łączy współrzędne horyzontalne z równikowo-południkowymi

Wierzchołki:

Zenit
Biegun Niebieski
gwiazda

Przeciwległe boki

90⁰-ၤ ( ၤ deklinacja · · · · )
90⁰-h ( h wysokość - - - )
90⁰-ၪ (ၪ szer. geogr. - · -)

Wskazać na związki zachodzące w trójkącie paralaktycznym z praktycznymi zadaniami w astronomii geodezyjnej i wyznaczeniu szerokości ϕ i długości λ punktu obserwacji oraz azymutu boku triangulacji poligonowej
Wyjaśnić istotę i znaczenie trójkąta paralaktycznego dla określenia współrzędnych ϕ, λ, α i Rola rachunku czasu w obserwacjach astronomicznych
Trójkąt paralaktyczny i rachuba czasu - znaczenie w określeniu współrzędnych i azymutu
Trójkąt paralaktyczny w odniesieniu do sieci poziomej
Omów trójkąt paralaktyczny jako podstawę wyznaczania azymutu astronomicznego boku osnowy podstawowej oraz wyznaczania szerokości i długości astronomicznej pktu osnowy podstawowej.
Wykorzystanie trójkąta paralaktycznego w wyznaczaniu długości i szerokości astronomicznej
Jakie elementy trójkąta paralaktycznego stosuje się przy wyznaczaniu azymutu astronomicznego triangulacji i szerokości astronomicznej pktu sieci podstawowej pionowej
Rozwiązanie trójkąta paralaktycznego

Trójkąt paralaktyczny

0x01 graphic

sin δ = sin φ ⋅ cos z - cos φ ⋅ sin z ⋅ cos A

cos δ ⋅ sin t = sin z ⋅ sin A

cos δ ⋅ cos t = cos φ ⋅ cos z + sin φ ⋅ sin z ⋅ cos A

sin z ⋅ sin A = cos δ ⋅ sin t

sin z ⋅ cos A = -cos φ ⋅ sin δ + sin φ ⋅ cos δ ⋅ cos t

cos z = sin φ ⋅ sin δ + cos φ ⋅ cos δ ⋅ cos t

W jaki sposób określa się szerokość φ, długość λ, i azymutu A w trójkącie paralaktycznym.
W jaki sposób określa się szerokość ϕ i długość λ oraz azymut w pomiarach astronomicznych w oparciu o trójkąt paralaktyczny?